高中数学高考仿真卷04-决胜2020年高考数学（理）实战演练仿真卷（解析版）

决胜2020年高考数学（理）实战演练仿真卷04

（满分150分，用时120分钟）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)     

1、设(为虚数单位），其中是实数，则等于(   )

A．5 B． C． D．2

1.【答案】A

【解析】由，得，

∴，解得，∴．故选A．

2、如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过 (　　)

A．第一象限        B．第二象限

C．第三象限        D．第四象限

2.【答案】C

【解析】由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－＞0，在y轴上的截距－＞0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．

3、如图，若依次输入的x分别为、，相应输出的y分别为y1、y2，则y1、y2的大小关系是（   ）

A．y1＝y2   B．y1>y2        C．y1<y2  D．无法确定

3.【答案】C

4、命题p：函数最小值是2；命题q：若，则.下列说法正确的是(    )

A．p或q为真 B．p且q为真

C．p或q为假 D．非p为真

4.【答案】A

【解析】由时，得（当且仅当，即时取等号），

命题为真命题；

当，，满足，但，故命题是假命题．

或为真；且为假；非为假．故选：．

5、设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0．022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为  (　　)

附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0．682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0．954 4．

A．12 076             B．13 174 

C．14 056              D．7 539

5.【答案】B

【解析】由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0．022 8，

所以P(－1<X<3)＝1－0．022 8×2＝0．954 4，

因为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0．954 4，

所以1－2σ＝－1，故σ＝1，

所以P(0<X<1)＝P(0<X<2)＝0．341 3，

故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×  (1－0．341 3)＝13 174，故选B．

6、已知，则 (    )

A.       B.        C.        D.

6.【答案】B

【解析】由解得 ，

所以 代入.

7、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log (2x－5))>f(log38)的解集为(　　)

A．   B．   C．   D．

7. 【答案】C

【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(log (2x－5))>f(log38)化为|log (2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或<x<。故选C。

8、西部某县将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组， 分配到两所小学支教， 若要求女生不能单独成组， 且每组最多5人， 则不同的分配方案共有(　　)

A．36种  B．68种  C．104种  D．110种

8.【答案】C

【解析】分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C－1)A＝68(种)；第二类有(C－C)A＝36(种)，所以共有68＋36＝104种不同的方案．故选C．

9、函数的图像与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数

列，要得到函数的图像，只需将函数的图像（   ）

A．向左平移个单位长度         B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度         D．向左平移个单位长度

【答案】C

【解析】由题意的周期为，所以.

故，从而只需将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象.

10、(2019·湘潭模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(　　)

A.       B.      C.     D.

10.【答案】B　

【解析】[由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B.]

11.已知函数，则关于的不等式的解集为(   )

A． B． C．  D．

11.【答案】C

【解析】因为，

所以，

因此，

因此关于的不等式，可化为；

又单调递增，单调递增，

所以在上递增；

所以有，解得：.故选C。

12.已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（   ）

A．4         B．8       C.         D．

12.【答案】A

【解析】由，得，，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由，，即，，得，，所以，由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，所以.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（每题5分，共20分，将最终结果填在答题纸上.） 

13、已知＝(3，24)，＝(12，6)，则与向量共线的单位向量坐标为_____________．

13.【解析】∵=(3，24)，＝(12，6)，

∴＝－＝(9，－18)，

∴＝＝9.

∴与向量共线的单位向量为＝或－＝

14、已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是          ．

14.【答案】

【解析】可行域的三个顶点为，目标函数仅在点取得最小值，意味着在另两个顶点处目标函数的值大于或等于目标函数在点处的值.

即，解得

15、《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）。在如图所示的堑堵中，，，，则阳马的外接球的表面积是           。

15.【答案】B

【解析】

将阳马补为一个棱长为的长方体

则长方体的体对角线

,.故选

16、若对于曲线（为自然数对数的底数）的任意切线，总存在曲线的切线，使得，则实数的取值范围为　    ．

16.【答案】

【解析】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1

∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），

由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，

∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，

要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，

总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，

则，解得﹣1≤a≤2．故答案为：[－1,2]

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17、(本小题满分12分)已知数列的前项和满足：且

（1）求数列的通项公式;

（2）记，记数列的前项和，证明 .

17.【解析】(1) 由且，得，解得

故                                             

当n=1时，                                     

当时，                         

且当n=1时上式仍成立，                       

（2）         

∴在上单调递增，从而.

18. (本小题满分12分)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．

(Ⅰ)求证：EG∥平面ADF；

(Ⅱ)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

18.【解析】：依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(0，0，2)，G(－1，0，0)．

(Ⅰ)证明：＝(2，0，0)，＝(1，－1，2)．

设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，

则 即

不妨设z1＝1，可得n1＝(0，2，1)，又＝(0，1，－2)，可得·n1＝0，又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF．

(Ⅱ) 由AH＝HF，得AH＝AF．

因为＝(1，－1，2)，所以＝＝，

进而有H，从而＝，

因此cos〈，n2〉＝＝－．

所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为．

19、(本小题满分12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；

　　(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2＝，

19.【解析】 (1)第二种生产方式的效率更高．

理由如下：

(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多．关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同．故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．

以上给出了4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

(2)由茎叶图知m＝＝80．

(3)K2＝＝10＞6．635，

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

20、（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20.【解析】（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为(1,0)，则椭圆C过点

则解得

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点满足条件，设，则

由,得.                     

∴,即，.      

此时,∴

,,

=，

.

∴存在点,使得.                      

21. (本小题满分12分)已知函数.

（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；

（2）若过点可作曲线的三条切线，证明：.

21.【解析】（1）解：，

依题可得：，即对恒成立.

设，则，解得，所以.

（2）证明：设过点与曲线相切的直线与曲线的切点为，

因为，

所以切线方程为，

代入点，得，

整理得：，

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同根.

令，

则在，上单调递增，在上单调递减.

因为方程有三个不同根，

所以的图像与轴有三个交点，则

故.

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、选修4─4：坐标系与参数方程选讲．（本小题满分分）

在平面直角坐标系中,以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为(t为参数）.直线与曲线分别交于两点.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值.

22.【解析】：（1）由，得，

所以曲线的直角坐标方程为，即.

由直线的参数方程得直线的普通方程为.

（2）将直线的参数方程化为标准参数方程，将其代入，化简并整理，得.

因为直线与曲线分别交于两点，所以，解得、由一元二次方程根与系数的关系，得，.

又因为，所以.因为点的直角坐标为，且在直线上，

所以，

解得，此时满足，且，故.

23、选修4—5;不等式选讲.（本小题满分分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.

23.【解析】因为，所以，

（1）当时，，

所以由，可得或或，

解得或，故不等式的解集为.

（2）因为，

令，则由题设可得：

由，得

因为，

所以，故，从而，即，

又已知，故实数的取值范围是.