2023通辽开鲁县一中高二上学期期末考试数学试题含解析

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命题人： 2023、01
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，使得”
B 若，则
C. 若函数在上具有单调性，则
D. “”是“”充分不必要条件
4. 以下说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2
B. 的最小值为2
C. 最小值为2
D. 若正实数a，b满足a+b=1，则的最小值为4
5. 已知的内角所对的边分别为，则的面积为（ ）
A. B. C. 27D. 36
6. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 40B. 70C. 90D. 100
7. 设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A. B. 若面积为，则周长的最小值为12
C. 当，时，D. 若，，则面积为
9. 已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
10. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A. 8B. C. D. 与有关
12. 设双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，是在第一象限的一点，满足，，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
二、填空题
13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________.
14. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.
15. 一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A，B，C，D选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是______．
16. 数列满足，其前项和为若恒成立，则的最小值为________________________．
三、解答题
17. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为2，求证：.
18. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）求的取值范围．
19. 已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
20. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
21. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求证：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.