高中数学高考第8讲 二次函数与幂函数 达标检测（教师版）

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A．B．C．，D．
【分析】根据题意列方程求出函数的解析式，再求该函数的单调递减区间．
【解答】解：根据幂函数的图象过点，
得，解得，
所以函数，；
所以函数的单调递减区间为．
故选：．
2．（2019秋•路南区校级期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，分析函数的对称轴以及开口方向，结合函数单调性的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数为二次函数，其对称轴为，开口向上，
若其在区间上是增函数，则有，
解可得：；
故选：．
3．（2020春•诸暨市校级期中）若不等式的解集为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】对进行分类讨论，当时，恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出不等关系式，求解即可得答案，最后求两种情况的并集即可．
【解答】解：不等式的解集为，
①当，即时，不等式为恒成立，
故符合题意；
②当，即时，不等式的解集为，即不等式的解集为，
则，解得，
故符合题意．
综合①②可得，实数的取值范围是，．
故选：．
4．（2020•五华区校级模拟）函数满足，且，则与的大小关系是
A．与有关，不确定B．
C．D．
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得、的值，则有，，由指数的性质分情况讨论的值，比较和的大小，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数满足，则有，即，
又由，则，
，，
若，则有，而在上为减函数，此时有，
若，则有，此时有，
若，则有，而在上为增函数，此时有，
综合可得，
故选：．
5．（2019秋•崇川区校级月考）已知函数，，，且最大值为（a），则实数的取值范围为
A．，B．，，C．，D．，
【分析】由题意知，函数的对称轴，结合二次函数的对称性可知，要使得在，，最大值为（a），则，即可解出答案．
【解答】解：因为函数，对称轴，
又因为函数，，，且最大值为（a），
所以，即，
，
解得，或．
又因为，，所以，
故选：．
6．（2019秋•贵州期末）已知函数，若对于任意的实数，，，，时，恒成立，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【分析】先确定函数的最大值与最小值，根据对定义域内的任意实数、、、，不等式恒成立，可得，从而可求实数的取值范围
【解答】解：函数，
，
时，；时，，
对定义域内的任意实数、、不等式恒成立，
，
，
实数的取值范围是，．
故选：．
7．（2019秋•鄞州区校级期中）设二次函数，若函数与函数有相同的最小值，则实数的取值范围是
A．，，B．，C．，D．，
【分析】用排除法来做，先取，可得，，成立；再取；可得，成立，再取可得选项．
【解答】解：当时，的最小值为0；的最小值也为0；
故排除；
时，最小值为；令，则；的最小值也为；排除；
时，最小值为；令，则；的最小值为；最小值不相同不成立，故排除；
故选：．
8．（多选）（2019春•日照期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为
A．B．C．D．
【分析】二次函数图象是抛物线，根据抛物线的性质可以得到系数、、的关系．
【解答】解：由抛物线的开口向下知，
与轴的交点在轴的正半轴上得；
因为二次函数的图象与轴有2个不同交点，
所以，△，
因此选项正确；
因为对称轴为，
所以，，即，，
因此不正确；
又因为图象过点，且对称轴为，
所以，图象与轴的另一个交点是；
把点代入解析式得：，
故选项不正确；
把，代入解析式得：，和，
两式相加并整理得：，即，，故正确；
故选：．
9．（多选）（2019秋•徐州期末）下列关于幂函数的性质，描述正确的有
A．当时函数在其定义域上是减函数
B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数
D．当时函数有一个零点0
【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于，时幂函数在和是减函数，在其定义域上不是减函数，错误；
对于，时幂函数，其图象是一条直线，去掉点，错误；
对于，时幂函数在定义域上是偶函数，正确；
对于，时幂函数在上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，正确．
故选：．
10．（多选）（2019秋•滨州期末）已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的最小值为
B．函数在上单调递增
C．函数为偶函数
D．若方程在上有4个不等实根，，，，则
【分析】由二次函数的性质，可判断选项，真假，根据奇偶性定义，可判断选项真假，作出的图象，结合对称性，可判断选项真假．
【解答】解：二次函数在对称轴处取得最小值，且最小值（1），故选项正确；
二次函数的对称轴为，其在上有增有减，故选项错误；
由得，，显然为偶函数，故选项正确；
令，方程的零点转化为与 的交点，
作出图象如右图所示：
图象关于 对称，当 与 有四个交点时，
两两分别关于对称，所以，
故选项正确．
故选：．
11．（2020•浦东新区三模）已知，则的最大值是 ．
【分析】由已知结合二次函数的性质即可直接求解．
【解答】解：因为，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，则的最大值是 1．
故答案为：1
12．（2019秋•无锡期末）已知幂函数的图象过点，则 ，由此，请比较下列两个数的大小： ．
【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较 与的大小．
【解答】解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，
所以．
故答案为：，．
13．（2019秋•青浦区期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【分析】由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解．
【解答】解：由题意可知，二次函数的对称轴，
由在区间上是增函数，
结合二次函数的性质可知，．
故答案为，
14．（2020春•浙江期中）已知函数，若对于任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ．
【分析】直接利用不等式的性质和不等式组的解法的应用求出结果．
【解答】解：函数，若对于任意，，都有成立，
只需满足：即可，
整理得：，解得，即．
故的取值范围是．
故答案为：
15．（2019秋•钦州期末）若函数在区间，上不是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【分析】化简的解析式，利用二次函数的性质得出的单调性，从而得出单调区间端点与区间，的关系，从而得出的范围．
【解答】解：．
（1）若，当时，在，上单调递减，不符合题意；
（2）若，在在上单调递减，在上单调递增，
若在，上不是单调函数，则，即；
（3）若，则在上单调递减，在上单调递减，在，上单调递增，
若在，上不是单调函数，则，即．
综上，的取值范围是，，．
故答案为：，，．
16．（2019秋•西宁期末）已知函数是幂函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（3）判断函数在上的单调性，并证明你的结论．
【分析】（1）根据函数是幂函数，列方程求出的值，可以写出函数；
（2）利用奇偶性的定义判断并证明函数为偶函数；
（3）利用单调性的定义判断并证明在上是单调减函数．
【解答】解：（1）因为函数是幂函数，
则，解得，所以．
（2）函数为偶函数．
证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，
因为对于定义域内的任意，都有，
所以函数为偶函数．
（3）在上单调减函数；
证明如下：在上任取，，不妨设，
则，
由，得，且，，
所以，即时，；
所以在上单调递减．
17．（2020春•海淀区校级期末）设函数．
（Ⅰ）若，且为奇函数，求的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当，时，是单调函数，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程，求出，的值即可．
（Ⅱ）求出函数解析式，结合二次函数的单调性与对称轴之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ），，得，
，
若为奇函数，则，得．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，，，则，
则，
当，时，是单调函数，
则对称轴或，
得或．
即实数的取值范围是，，．
18．（2019秋•南通期末）已知函数．
（1）若函数在，上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在，上有最大值为3，求实数的值．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得的开口方向以及对称轴方程，进而结合函数单调性的定义分析可得答案；
（2）根据题意，由二次函数的性质可得函数在或处取得最大值，据此分情况讨论即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数，为二次函数，其开口向上且对称轴，
当在，上单调递增时，，解得，
当在，上单调递减时，，解得，
综上，，，．
（2）由题意，函数在或处取得最大值，
当（1）时，解得，此时3为最小值，不合题意，舍去；
当（2）时，解得，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，．
19．（2019秋•屯溪区校级月考）已知函数．
（1）若函数在，单调递减，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数，，不等式恒成立时的取值集合记为，，且，求实数的取值范围．
【分析】（1）分类讨论的取值范围，时为一次函数，时为二次函数，根据对称轴限定取值范围进而求解；
（2）转化思想，令（a），问题转化为（a）对任意实数，恒成立，进而求解．
【解答】解：（1）①当时，，显然满足；
②；
③，
综上：．
（2）令（a）
问题转化为（a）对任意实数，恒成立，，即，
由知：
当时：，即满足；
当时，
综上：．
20．（2019秋•上高县校级期末）若二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使函数，，的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意，设，分析可得，即可得，进而可得，分析可得、的值，即可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论可得，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设，由，
，
，必有，解可得；
（2）由（1）可得，，
①当时，在，上单增，；
②当时，在，上单减，在，上单增，，
解得，
又，故
③当时，在，上单减，（2），
解得，不合题意．
综上，存在实数符合题意．
[B组]—强基必备
1．（2020春•宝山区校级期末）已知函数在时有最大值1，，并且，时，的取值范围为，则 ．
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得、的值，即可得，进而可得，解可得，分析可得在，上单调递减，据此可得，，即有、是方程的两个根，又有，求出方程的根，分析可得、的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在时有最大值1，
则有，即，
且，解可得，
则，
又有，时，的取值范围为，
则，解可得，
在，上单调递减，
则有，，
即有、是方程的两个根，
，
其根为1、、，
又有，
则，，
则；
故答案为：．
2．（2019秋•辛集市校级月考）已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，求在区间，上的最小值．
【分析】（Ⅰ）由的对称轴方程以及图象过点，求出、的值，从而写出的解析式；
（Ⅱ）化函数为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出在区间，上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）的对称轴方程为，
；
又的图象过点，
，；
的解析式为．
（Ⅱ）函数
，
画出函数图象，如图；
当时，；
当时，；
当时，．
综上，．
3．（2019秋•温州期末）已知，，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若的最大值为，求的取值范围．
【分析】（1）分三种情况，，，讨论函数的单调性．
（2）结合第一问单调性分情况确定最值，让其等于，求出的取值范围，再求的取值范围．
【解答】（1）①当时，，在，单调递减，
②当时，即时，在，单调递减，
③当时，即时，
在，递增，在，递减
综上所述，当时，在，单调递减；
当时，在，递增，在，递减
（2）①当时，在，递减，
，（2），
（2），
（2），
，（2），
．
得，．
②当时，在，递增，在，递减，
又，（2），，
（2），（2），
（2），同时，
，
，，（2），
，
，
又，
，
又，
，
且可得在，递增，
所以，．
综上所述，，．