高中数学高考第3章 §3 7　利用导数研究函数零点课件PPT

这是一份高中数学高考第3章 §3 7　利用导数研究函数零点课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了教师备选，思维升华，由题意知，令f′x0，又g1＝0，当a＝1时，课时精练，∴a＝1b＝3e等内容，欢迎下载使用。

数形结合法研究函数零点
例1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2).(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
已知函数f(x)＝xex＋ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(x＋2)ex，令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞).当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝ ，无极大值.
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数.
令f(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f(x)<0；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示.
函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数.
∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论：
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
∴x＝1也是φ(x)的最大值点，
结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.
利用函数性质研究函数零点
例2　已知函数f(x)＝x－aln x(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间；
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝x－aln x可得
由f′(x)>0可得x>a；由f′(x)<0可得0(2)求函数g(x)＝ x2－ax－f(x)的零点个数.
令g′(x)＝0可得x＝1或x＝a，
当a>1时，g(x)在(1，a)上单调递减，所以g(1)>g(a)，所以g(a)<0，所以g(x)有一个零点，当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)有一个零点，当0g(x)只有一个零点，综上所述，g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.
已知函数f(x)＝xsin x＋cs x，g(x)＝x2＋4.(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
f′(x)＝sin x＋xcs x－sin x＝xcs x.
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点.
h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cs x，∵h(－x)＝x2＋4－4xsin x－4cs x＝h(x)，∴h(x)为偶函数.又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点.下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cs x＝x(x－4sin x)＋4(1－cs x).
当x∈[4，＋∞)时，x－4sin x>0,4(1－cs x)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)无零点；当x∈(0,4)时，h′(x)＝2x－4xcs x＝2x(1－2cs x)，
又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin 4－4cs 4>0，
综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有且仅有三个零点.
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.
f′(x)＝x2－6x－3.
(2)证明：f(x)只有一个零点.
因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，
当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.
综上所述，f(x)只有一个零点.
构造函数法研究函数的零点
例3　(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝ (x>0).(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
当00，函数g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞).
因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
由(1)知g(x)＝x2＋3x＋2＋kex－1＝x2＋3x＋1＋kex，
当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(－2,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，又当x→－∞时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)<0，
作出函数h(x)的简图如图，
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋ .(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).令f′(x)>0，解得x<0或x>ln 2；令f′(x)<0，解得0(2)当a＝ 时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围.
当x＝1时，方程成立.
KESHIJINGLIAN
1.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；
f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围.
g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，∴－e2.已知函数f(x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；
∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝xex，则h′(x)＝(x＋1)ex>0在(0，＋∞)上恒成立.∴函数h(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，
则h(x)>h(0)＝0，∴k＋1≤0，即k≤－1，故实数k的取值范围是(－∞，－1].
(2)当k＝0时，证明：函数f(x)无零点.
∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故m＝－ln m，当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴函数f(x)无零点.
3.(2022·安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R).(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
由f(x)＝ln x－aex＋1，知x∈(0，＋∞).当a＝1时，f(x)＝ln x－ex＋1，
显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减.
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，所以x0是f(x)＝ln x－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点.
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减.
g(x)>0且g(x)→0，
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由.
因为x∈(0，π)，所以sin x>0，
设g(x)＝x2－a－2sin x，则g′(x)＝2x－2cs x，
设h(x)＝g′(x)＝2x－2cs x，此时h′(x)＝2＋2sin x>0，
综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增.又因为g(0)＝－a<0，所以当g(π)＝π2－a>0，即a<π2时，函数g(x)在区间(x0，π)上有唯一零点，当g(π)＝π2－a≤0，即a≥π2时，函数g(x)在区间(0，π)上无零点，