高中数学高考第6节 指数与指数函数 教案

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1．根式
(1)n次方根的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up20(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：aeq \s\up18(-\f(m,n))＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
eq \O([常用结论])
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.( )
(2)(－1)eq \s\up20(\f(2,4))＝(－1)eq \s\up20(\f(1,2))＝eq \r(－1).( )
(3)函数y＝ (a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝________.
eq \r(2) [由题意知eq \f(1,2)＝a2，所以a＝eq \f(\r(2),2)，
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up20(x)，所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up18(-1)＝eq \r(2).]
2．化简eq \r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.
[答案] －2x2y
3．已知，则a，b，c的大小关系是________．
考点1 指数幂的运算
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
考点2 指数函数的图象及应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)(0,1) [(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.
(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．]
[母题探究]
1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．
(0，＋∞) [作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)．
]
2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1] [作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]
应用指数函数图象的技巧
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
A B
C D
A [f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合条件的图象只有A.]
2．函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
(0,1) [因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,1－b＜0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,b＞1，))故ab∈(0,1)．]
3．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有________(填序号)．
③④ [作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．]
考点3 指数函数的性质及应用
指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
比较指数式的大小
(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
(2)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))0.1的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．M＜N D．M＞N
(1)A (2)D [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
(2)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))0.1＜1，所以M＞N.故选D.]
指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)．
解简单的指数方程或不等式
(1)已知函数f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,10)))，若－eq \f(1,6)≤f(x)≤0，则实数x的取值范围是________．
(2)方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．
(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) (2)x＝lg23 [(1)∵f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,10)))，
∴a＋eq \f(1,5)＝－eq \f(3,10)，即a＝－eq \f(1,2).
∴f(x)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4x＋1).
∵－eq \f(1,6)≤f(x)≤0，
∴－eq \f(1,6)≤eq \f(1,4x＋1)－eq \f(1,2)≤0，
∴eq \f(1,3)≤eq \f(1,4x＋1)≤eq \f(1,2)，
∴2≤4x＋1≤3，
即1≤4x≤2，
∴0≤x≤eq \f(1,2).
(2)当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0.
∴(2x－3)(2x＋4)＝0，
∴2x＝3，即x＝lg23.
当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0.
令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．
由求根公式得t＝eq \f(1±\r(1＋40),2)均不符合题意，故x＜0时，方程无解．]
(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)．
(2)af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．
(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．
与指数函数有关的复合函数的单调性
函数f(x)＝的单调减区间为________．
(－∞，1] [设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(u)在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以f(x)的减区间为(－∞，1]．]
[逆向问题]
已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(－∞，4] [令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．]
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
指数函数性质的综合应用
(1)函数f(x)＝a＋eq \f(b,ex＋1)(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 3，\f(1,2)))，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
(2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．
(1)A (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞)) [(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋eq \f(b,2)＝0①，函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 3，\f(1,2)))，则f(ln 3)＝a＋eq \f(b,4)＝eq \f(1,2)②.结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－eq \f(2,ex＋1).因为ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜eq \f(2,ex＋1)＜2，所以－1＜1－eq \f(2,ex＋1)＜1，即函数f(x)的值域为(－1,1)．
(2)从已知不等式中分离出实数a，得a＞－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up20(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(x))).因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up20(x)和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(x)在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up20(x)≥eq \f(1,4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(x)≥eq \f(1,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up20(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(x)≥eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，从而得≤－eq \f(3,4).故实数a的取值范围为a＞－eq \f(3,4).]
指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．
1.函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
C [设t＝x2＋2x－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(t).
因为0＜eq \f(1,2)＜1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(t)为关于t的减函数．
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(t)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]
2．已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x＜0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
eq \f(1,2) [当a＜1时，41－a＝21，所以a＝eq \f(1,2)；当a＞1时，代入可知不成立，所以a的值为eq \f(1,2).]
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．
(－3,1) [当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(a)－7＜1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＜8，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(a)＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up18(-3)，
∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0.
当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为eq \r(a)＜1.
∴0≤a＜1，综上，a的取值范围为(－3,1)．]
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数