新高考数学一轮复习教案第2章第4节 指数与指数函数(含解析)
展开1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化,凸显数学运算的核心素养.
2.与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用,凸显直观想象的核心素养.
3.与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用,凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.
[理清主干知识]
1.根式
(1)根式的概念
若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)a的n次方根的表示
xn=a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x= \r(n,a) 当n为奇数且n>1时,,x=±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
2.有理数指数幂
3.指数函数的图象和性质
4.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1.(指数型函数图象)函数y=2x+1的图象是( )
答案:A
2.(指数幂的运算)计算:π0+2-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) SKIPIF 1 < 0 =________.
答案:eq \f(11,8)
3.(根式的意义)若eq \r(2a-12)=eq \r(3,1-2a3),则实数a的取值范围为________.
解析:eq \r(2a-12)=|2a-1|,eq \r(3,1-2a3)=1-2a.
因为|2a-1|=1-2a.故2a-1≤0,所以a≤eq \f(1,2).
答案:eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2)))
4.(函数过定点)函数f(x)=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
解析:令x-2=0,得x=2.此时a0+1=2,∴定点为(2,2).
答案:(2,2)
5.(指数函数的值域)函数y=3x2-2x的值域为________.
解析:设u=x2-2x,则y=3u,u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=3u≥3-1=eq \f(1,3),所以函数y=3x2-2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞)).
答案:eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞))
二、易错点练清
1.(化简eq \r(n,an)(a∈R)时忽略n的范围)计算 eq \r(3,1+\r(2)3)+ eq \r(4,1-\r(2)4)=________.
答案:2eq \r(2)
2.(错误理解指数函数的概念)若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=________.
答案:2
3.(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________.
答案:2或eq \f(1,2)
考点一 指数幂的化简与求值
[典例] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是( )
A.1 B.a
C.a SKIPIF 1 < 0 D.a SKIPIF 1 < 0
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 ))0+2-2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 )) SKIPIF 1 < 0 -(0.01)0.5=________.
[解析] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))=eq \f(a3,a SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 )=a SKIPIF 1 < 0 =a SKIPIF 1 < 0 .故选D.
(2)原式=1+eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) SKIPIF 1 < 0 -eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) SKIPIF 1 < 0 =1+eq \f(1,4)×eq \f(2,3)-eq \f(1,10)=1+eq \f(1,6)-eq \f(1,10)=eq \f(16,15).
[答案] (1)D (2)eq \f(16,15)
[方法技巧]
1.指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
2.化简指数幂常用的技巧
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))-p=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))p(ab≠0);
(2)a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))m,aeq \f(n,m)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))n(式子有意义);
(3)1的代换,如1=a-1a,1=a SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 等;
(4)乘法公式的常见变形,如(a SKIPIF 1 < 0 +b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 -b SKIPIF 1 < 0 )=a-b,(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )2=a±2a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 +b,(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 ∓a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 +b SKIPIF 1 < 0 )=a±b.
[针对训练]
1.化简eq \f(a SKIPIF 1 < 0 ·b-1 SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ,\r(6,a·b5))(a>0,b>0)的结果是( )
A.a B.ab
C.a2b D.eq \f(1,a)
解析:选D 原式=eq \f(a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ,a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 )=a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,a).
2.已知14a=7b=4c=2,则eq \f(1,a)-eq \f(1,b)+eq \f(1,c)=________.
解析:由题设可得2 SKIPIF 1 < 0 =14,2 SKIPIF 1 < 0 =7,2 SKIPIF 1 < 0 =4,则2 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(14,7)=2,
∴2 SKIPIF 1 < 0 =2×4=23,∴eq \f(1,a)-eq \f(1,b)+eq \f(1,c)=3.
答案:3
3.若x>0,则(2x SKIPIF 1 < 0 +3 SKIPIF 1 < 0 )(2x SKIPIF 1 < 0 -3 SKIPIF 1 < 0 )-4x SKIPIF 1 < 0 (x-x SKIPIF 1 < 0 )=________.
解析:因为x>0,所以原式=(2x SKIPIF 1 < 0 )2-(3 SKIPIF 1 < 0 )2-4x SKIPIF 1 < 0 ·x+4x SKIPIF 1 < 0 ·x SKIPIF 1 < 0 =4x SKIPIF 1 < 0 -3 SKIPIF 1 < 0 -4x SKIPIF 1 < 0 +4x SKIPIF 1 < 0 =4x SKIPIF 1 < 0 -33-4x SKIPIF 1 < 0 +4x0=-27+4=-23.
答案:-23
考点二 指数函数的图象及应用
[典题例析]
(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是( )
(2)(多选)已知实数a,b满足等式2 020a=2 021b,下列四个关系式中成立的关系式是( )
A.0C.a=b D.a(3)函数y=|3x-2|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是________.
[解析] (1)由函数f(x)的图象可知,b<-1<0∴g(x)=ax+b的图象是递减的.又g(0)=a0+b=1+b<0,∴g(x)的图象与y轴交于负半轴,故选A.
(2)在同一平面直角坐标系中作出y=2020x与y=2 021x的图象如图所示.设2 020a=2 021b=t.
当t>1时,0当t=1时,a=b=0,C正确.
当0
[答案] (1)A (2)ACD (3)(-∞,-2]
[方法技巧]
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(3)有关参数取值范围问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
[针对训练]
1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
解析:选A 由f(x)=1-e|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,排除B、D.又e|x|≥1,所以f(x)的值域为(-∞,0],排除C,故选A.
2.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0解析:选D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以03.若函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是________.
解析:作出函数g(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|1-x|的图象如图所示,由图象可知0
考点三 指数函数的性质及应用
考法(一) 与指数函数有关的函数单调性问题
[例1] 若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=eq \f(1,9),则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
[解析] 由f(1)=eq \f(1,9),得a2=eq \f(1,9),解得a=eq \f(1,3)或a=-eq \f(1,3)(舍去),即f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|2x-4|.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,
所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B.
[答案] B
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用.
考法(二) 比较指数式大小
[例2] 已知f(x)=2x-2-x,a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))-eq \f(1,4),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,7)))eq \f(1,5),c=lg2eq \f(7,9),则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )
A.f(b)
[方法技巧] 比较指数幂大小的常用方法
考法(三) 解指数方程或不等式
[例3] 设函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-7,x<0,,\r(x),x≥0,))若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
[解析] 当a<0时,不等式f(a)<1可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a-7<1,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a<8,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a
所以0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1).
[答案] C
[方法技巧]
简单的指数方程或不等式的求解问题
解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
考法(四) 与指数函数有关的函数最值问题
[例4] (1)(2021·昆明模拟)已知集合A={x|(2-x)·(2+x)>0},则函数f(x)=4x-2x+1-3(x∈A)的最小值为( )
A.4 B.2
C.-2 D.-4
(2)若函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) SKIPIF 1 < 0 有最大值3,则a=________.
[解析] (1)由题知集合A={x|-2
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(12a-16,4a)=-1,))解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
[答案] (1)D (2)1
[方法技巧]
解决形如y=a2x+b·ax+c(a>0,且a≠1)型函数最值问题,多利用换元法,即令t=ax,转化为y=t2+bt+c的最值问题,注意根据指数函数求t的范围.
[针对训练]
1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.b解析:选C 因为函数y=0.6x在R上单调递减,所以b=0.61.51,所以b2.(多选)对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,且a≠1),下面给出四个命题,其中真命题是( )
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)在R上不具有单调性
C.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
D.当0解析:选ACD ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,A是真命题;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当03.函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \r(x-x2)的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))
解析:选D 令x-x2≥0,得0≤x≤1,所以函数f(x)的定义域为[0,1],因为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t是减函数,所以函数f(x)的增区间就是函数y=-x2+x在[0,1]上的减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1)),故选D.
4.若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:从已知不等式中分离出实数a,得a>-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.因为函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x和y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上都是减函数,所以当x∈(-∞,1]时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x≥eq \f(1,4),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥eq \f(1,2),所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥eq \f(1,4)+eq \f(1,2)=eq \f(3,4),从而得-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤-eq \f(3,4).故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),+∞)).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,4),+∞))
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
1.(2021·昆明模拟)能说明“已知f(x)=2|x-1|,若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,则在[0,2]上,f(x)min≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)=________.(填出一个函数即可)
解析:易知函数f(x)=2|x-1|在x∈[0,2]上的最小值是1,取g(x)=x-eq \f(1,2),作出f(x),g(x)在[0,2]上的图象如图所示,满足f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,但g(x)=x-eq \f(1,2)在[0,2]上的最大值是eq \f(3,2),不满足f(x)min≥g(x)max,所以g(x)=x-eq \f(1,2)能说明题中命题是假命题.
答案:x-eq \f(1,2)(答案不唯一)
2.已知a,b,c,m都是正数,am=bm+cm,当m取何值时,长分别为a,b,c的三条线段能构成三角形?
解:由于am=bm+cm,且a,b,c,m都是正数,所以a>b>0且a>c>0.因此要使长分别为a,b,c的三条线段能构成三角形,则只要b+c>a即可.
注意到f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))x在R上单调递减.
若m=1,则b+c=a,显然此时不能构成三角形;
若m>1,则f(m)
若0
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+2m-1(m∈R,且m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,3),0)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3),0))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞)) D.(-∞,0)
解析:选B ∵f(x)=3x+2m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴∃x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),∴3-x0+2m-1=-3x0-2m+1,∴4m=-3-x0-3x0+2.构造函数g(x)=-3-x-3x+2,x∈[-1,1],令t=3x,则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3),3)),则g(x)可转化为h(t)=-eq \f(1,t)-t+2,易知h(t)=-eq \f(1,t)-t+2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1))上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴y=h(t)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),0)).又m≠0,∴-eq \f(4,3)≤4m<0,∴-eq \f(1,3)≤m<0.
2.已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=g(x) 在[a,b]上同时递增或同时递减时,[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若[1,2]为函数y=|2x+t|的“不动区间”,则实数t的取值范围为________.
解析:因为函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=f(-x)=|2-x+t|.因为[1,2]为函数y=|2x+t|的“不动区间”,所以函数y=|2x+t|和函数g(x)=|2-x+t|在[1,2]上的单调性相同.又因为y=2x+t和y=2-x+t的单调性相反,所以(2x+t)(2-x+t)≤0在[1,2]上恒成立,即2-x≤-t≤2x在[1,2]上恒成立,得-2≤t≤-eq \f(1,2).
答案:eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2,-\f(1,2)))
3.对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中的药物浓度y(单位)与时间t(时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0,k,a,b为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
(1)口服药物后________小时血液中药物浓度最高;
(2)这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度f(n)如下表:
一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药的时间是________.(时间以整点为准)
解析:(1)药物浓度y(单位)与时间t(时)的关系为y=k(e-at-e-bt),对于某一种药物k=4,a=1,b=2,代入可得y=4(e-t-e-2t)=-4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2t)-\f(1,et)))=-4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,et)))2-\f(1,et)+\f(1,4)))+1=-4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,et)-\f(1,2)))2+1,
所以当eq \f(1,et)-eq \f(1,2)=0,即t=ln 2时取得最大值.
(2)由题可知,病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,则第二次服药时间在11:00.
第一次服药7个小时后药物浓度为0.116 3,此时为第二次服药后4个小时,药物浓度为0.468 0,而0.116 3+0.468 0=0.584 3>0.5;
第一次服药8个小时后的药物浓度为0.072 0,此时为第二次服药后5个小时,药物浓度为0.301 0,而0.072 0+0.301 0=0.373 0<0.5.
综上可知,若使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,则第三次服药时间为第一次服药后的7个小时,即为15:00.
答案:(1)ln 2 (2)15:00
4.已知函数f(x)=2-x,给出下列结论:
①若x>0,则f(x)>1;
②对于任意的x1,x2∈R,x1-x2≠0,必有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0;
③若0
其中所有正确结论的序号是________.
解析:f(x)=2-x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
对于①,当x>0时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x∈(0,1),故①错误.
对于②,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上单调递减,所以(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,故②正确.
对于③,eq \f(fx,x)表示f(x)图象上的点与原点连线的斜率,由f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象可知,当0
对于④,由f(x)的图象可知,eq \f(fx1+fx2,2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1+x2,2))),故④正确.
综上所述,所有正确结论的序号是②④.
答案:②④
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1.函数y=ln(2x-1)的定义域是( )
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
解析:选C 由2x-1>0,得x>0,所以函数的定义域为(0,+∞).
2.函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x-x2的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) D.(0,2]
解析:选A 设t=2x-x2,则t≤1,所以y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t,t≤1,所以y∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞)),故选A.
3.化简4a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ))的结果为( )
A.-eq \f(2a,3b) B.-eq \f(8a,b)
C.-eq \f(6a,b) D.-6ab
解析:选C 原式=-6a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 =-6ab-1=-eq \f(6a,b).
4.已知函数f(x)=4+2ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是( )
A.(1,6) B.(1,5)
C.(0,5) D.(5,0)
解析:选A 由于函数y=ax的图象过定点(0,1),当x=1时,f(x)=4+2=6,故函数f(x)=4+2ax-1的图象恒过定点P(1,6).
5.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
解析:选A 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
二、综合练——练思维敏锐度
1.(2021·衡水模拟)已知ab=-5,则a eq \r(-\f(b,a))+b eq \r(-\f(a,b))的值是( )
A.2eq \r(5) B.0
C.-2eq \r(5) D.±2eq \r(5)
解析:选B 由题意知ab<0,a eq \r(-\f(b,a))+b eq \r(-\f(a,b))=a eq \r(-\f(ab,a2))+b eq \r(-\f(ab,b2))=a eq \r(\f(5,a2))+b eq \r(\f(5,b2))=aeq \f(\r(5),|a|)+beq \f(\r(5),|b|)=0.故选B.
2.已知0A.ba B.aa
C.ab D.bb
解析:选C ∵0aa,ba
3.函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) SKIPIF 1 < 0 的值域为( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
解析:选D 由eq \f(2,x+1)≠0,得y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) SKIPIF 1 < 0 ≠1,又y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞),故选D.
4.函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是( )
解析:选C 两个函数分别为指数函数和二次函数,其中二次函数过点(0,-1),故排除A、D;二次函数的对称轴为直线x=eq \f(1,a-1),当01时,指数函数递增,eq \f(1,a-1)>0,B不符合题意,故选C.
5.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,记a=f(lg0.53),b=f(lg25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.c解析:选C 函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,则m=0,故f(x)=2|x|-1,a=f(lg0.53)=2|lg0.53 |-1=2lg23-1=2,b=f(lg25)=2 lg25-1=4,c=f(0)=20-1=0.所以c6.(2021·安徽皖江名校模拟)若ea+πb≥e-b+π-a,则有( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
解析:选D 令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,则f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D.
7.(多选)已知函数f(x)=eq \f(2x-1,2x+1),下面说法正确的有( )
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,eq \f(fx1-fx2,x1-x2)<0
解析:选AC 对于选项A,f(x)=eq \f(2x-1,2x+1),定义域为R,则f(-x)=eq \f(2-x-1,2-x+1)=eq \f(1-2x,1+2x)= -f(x),则f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;对于选项B,计算f(1)=eq \f(2-1,2+1)=eq \f(1,3),f(-1)=eq \f(\f(1,2)-1,\f(1,2)+1)=-eq \f(1,3)≠f(1),故f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;对于选项C,f(x)=eq \f(2x-1,2x+1)=1-eq \f(2,1+2x),令1+2x=t,t∈(1,+∞),则f(x)=g(t)=1-eq \f(2,t),易知1-eq \f(2,t)∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于选项D,易知函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-eq \f(2,t)在t∈(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可知f(x)=1-eq \f(2,1+2x)在R上单调递增,故∀x1,x2∈R,且x1≠x2,eq \f(fx1-fx2,x1-x2)>0,故D错误.故选A、C.
8.化简:(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(-6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(-3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))=_______.
解析:(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(-6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(-3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-3a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))=4a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 =4a1·b0=4a.
答案:4a
9.若函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a的值为________.
解析:当0当a>1时,f(x)=ax-1在[0,2]上为增函数,又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2],所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0=0,,f2=a2-1=2,,a>1,))解得a=eq \r(3),所以实数a的值为eq \r(3).
答案:eq \r(3)
10.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:∵(m2-m)·4x-2x<0在(-∞,-1]上恒成立,∴(m2-m)
11.设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求实数a的值.
解:令t=ax(a>0,且a≠1),
则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).
①当0此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,\f(1,a)))上为增函数.
所以f(t)max=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+1))2-2=14.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+1))2=16,解得a=-eq \f(1,5)(舍去)或a=eq \f(1,3).
②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a),a)),
此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a),a))上是增函数.
所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,
解得a=3或a=-5(舍去).
综上得a=eq \f(1,3)或3.
12.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,因为x∈[-3,0],所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),1)).
故y=2t2-t-1=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(1,4)))2-eq \f(9,8),t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),1)),
故值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(9,8),0)).
(2)设2x=m>0,关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,
等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解,
记g(m)=2am2-m-1,
当a=0时,解为m=-1<0,不成立.
当a<0时,开口向下,对称轴m=eq \f(1,4a)<0,过点(0,-1),不成立.
当a>0时,开口向上,对称轴m=eq \f(1,4a)>0,过点(0,-1),必有一个根为正.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
13.已知定义域为R的函数f(x)=eq \f(-2x+b,2x+1+a)是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即eq \f(-1+b,2+a)=0,解得b=1,
所以f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+a).
又由f(1)=-f(-1)知eq \f(-2+1,4+a)=-eq \f(-\f(1,2)+1,1+a),解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+2)=-eq \f(1,2)+eq \f(1,2x+1),
由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).
因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而Δ=4+12k<0,解得k<-eq \f(1,3).
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,3))).
三、自选练——练高考区分度
1.已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
解析:选D 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图所示.
因为af(c)>f(b),
结合图象知,0
所以0<2a<1.
所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以f(c)<1,所以0
又因为f(a)>f(c),
所以1-2a>2c-1,
所以2a+2c<2,故选D.
2.(多选)若实数x,y满足5x-4y=5y-4x,则下列关系式中可能成立的是( )
A.x=y B.1
故当x=y=0或1时,f(x)=g(y),所以5x-4y=5y-4x成立,故A正确;
当1
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,0,1))
解析:选BC 根据题意知f(x)=eq \f(ex,1+ex)-eq \f(1,2)=eq \f(1,2)-eq \f(1,1+ex),定义域为R.∵g(1)=[f(1)]=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(e,1+e)-\f(1,2)))=0,g(-1)=[f(-1)]=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e+1)-\f(1,2)))=-1,∴g(1)≠g(-1),g(1)≠-g(-1),∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数,A错误;∵f(-x)=eq \f(e-x,1+e-x)-eq \f(1,2)=eq \f(1,1+ex)-eq \f(1,2)=-f(x),∴f(x)是奇函数,B正确;由复合函数的单调性知f(x)=eq \f(1,2)-eq \f(1,1+ex)在R上是增函数,C正确;∵ex>0,∴1+ex>1,∴-eq \f(1,2)
正分数指数幂:a SKIPIF 1 < 0 =eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1)
负分数指数幂:a SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,a SKIPIF 1 < 0 )=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1)
0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)
(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)
y=ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R);值域为(0,+∞)
函数图象过定点(0,1),即当x=eq \a\vs4\al(0)时,y=eq \a\vs4\al(1)
当x>0时,恒有y>1;
当x>0时,恒有0
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
单调性法
取中间
不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底
值法
不同底、不同指数的指数函数比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,然后得出大小关系
图解法
根据指数函数的特征,在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象,借助图象比较大小
n
1
2
3
4
f(n)
0.954 5
0.930 4
0.693 2
0.468 0
n
5
6
7
8
f(n)
0.301 0
0.189 2
0.116 3
0.072 0
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