高中数学高考第06讲 二次函数与幂函数 （练）解析版

第06讲  二次函数与幂函数 【练基础】1．(2021·山东省淄博模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2【答案】C【解析】因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝.2．(2021·河南省焦作模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.【答案】C【解析】∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，∴解得a>.3．(2021·河北沧州模拟)若幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)的图象如图所示，则(　　)A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1【答案】C【解析】由图知幂函数f(x)为偶函数，且<1，排除B，D；当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；选C.4．(2021·湖北省襄阳模拟)已知α∈，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是(　　)A．－1,3  B.，3C．－1，，3  D.，，3【答案】B【解析】因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈.又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈.5．(2021·河北模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为(　　)A．－   B．－C．－   D．0【答案】A【解析】当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)＝(x2＋3x＋2)＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，且最小值为－，故选A.6．(2021·吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜c＜b  B．a＜b＜cC．b＜c＜a  D．b＜a＜c【答案】A【解析】由点(2,8)在幂函数f(x)＝xn的图象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函数．因为0＜＜＜1＜ln π，所以f＜f＜f(ln π)，即a＜c＜b.7．(2021·浙江温州模拟)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(　　)A．0   B．1C．2   D．4【答案】C【解析】设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c，t≥k，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即有k的最大值为2.故选C.8．(2021·广东省实验中学模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，则(　　)A．a＞0,4a＋b＝0  B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0  D．a＜0,2a＋b＝0【答案】B【解析】因为f(1)＝f(3)，则直线x＝2为对称轴，故－＝2，则4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a＜0.【练提升】1．(2021·重庆市万州三中模拟)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　)A．恒大于0  B．恒小于0C．等于0  D．无法判断【答案】A【解析】∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，∴幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴解得m＝2，则f(x)＝x2015.∵函数f(x)＝x2015在R上是奇函数，且为增函数，由a＋b>0，得a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.2．(2021·河北省正定中学模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是(　　)A．②④　　　　　　　　　   B．①④C．②③   D．①③ 【答案】B【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.3．(2021·山西省朔州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，若对任意实数x1，x2都有f≥，则f(x)的图象可能是(　　)【答案】C【解析】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，则b＝0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有f≥，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a＜0，即排除B.故选C.4．(2021·辽宁省丹东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)A.   B.C.   D.【答案】B【解析】因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.5．(2021·黑龙江省大庆模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.【答案】【解析】设g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.设不等式g(x)≤0的解集为a≤x≤b.则Δ＝(2－k)2－4≥0，解得k≥4或k≤0，又因为函数f(x)＝x2＋2x＋1，且f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]恒成立；所以(1，m]⊆[a，b]，所以a≤1，b≥m，所以g(1)＝4－k<0，解得k>4，m的最大值为b，所以有b＝5.即x＝5是方程g(x)＝0的一个根，代入x＝5，解得k＝.6．(2021·浙江省诸暨中学模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围． 【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．7．(2021·江苏省华罗庚中学模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围． 【解析】(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⇒⇒当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⇒⇒故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.∴m≤2或m≥6.故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．8．(2021·安徽省安庆模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2bx＋c，设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M.(1)若b＝2，试求出M；(2)若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值． 【解析】(1)当b＝2时，f(x)＝－x2＋4x＋c在区间[－1，1]上是增函数，则M是g(－1)和g(1)中较大的一个，又g(－1)＝|－5＋c|，g(1)＝|3＋c|，则M＝.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x－b)2＋b2＋c|，(ⅰ)当|b|>1时，y＝g(x)在区间[－1，1]上是单调函数，则M＝max{g(－1)，g(1)}，而g(－1)＝|－1－2b＋c|，g(1)＝|－1＋2b＋c|，则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4，可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时，函数y＝g(x)的对称轴x＝b位于区间[－1，1]之内，此时M＝max{g(－1)，g(1)，g(b)}，又g(b)＝|b2＋c|，①当－1≤b≤0时，有f(1)≤f(－1)≤f(b)，则M＝max{g(b)，g(1)}≥(g(b)＋g(1))≥|f(b)－f(1)|＝(b－1)2≥；②当0<b≤1时，有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M＝max{g(b)，g(－1)}≥(g(b)＋g(－1))≥|f(b)－f(－1)|＝(b＋1)2>.综上可知，对任意的b、c都有M≥.而当b＝0，c＝时，g(x)＝在区间[－1，1]上的最大值M＝，故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为.