高中数学高考第5讲　第1课时　高效演练分层突破

[基础题组练]1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)A．(±，0)  B．(0，±)C．(±，0)或(±，0)  D．(0，±)或(±，0)解析：选B．因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B．2．(2019·高考北京卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)A．a2＝2b2  B．3a2＝4b2 C．a＝2b  D．3a＝4b解析：选B．由题意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以4b2＝3a2.故选B．3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜144)的(　　)A．长轴长相等  B．短轴长相等C．离心率相等  D．焦距相等解析：选D．曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)A．＋y2＝1　　　　  B．＋＝1C．＋＝1  D．＋＝1解析：选D．由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D．5．(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)A．  B．C．  D．3解析：选A．如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A．6．若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，故椭圆的离心率e＝＝.答案：7．(2020·贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．(2020·浙江台州月考改编)已知P为椭圆＋＝1上一个动点，直线l过圆(x－1)2＋y2＝1的圆心与圆相交于A，B两点，则·的最大值为________，最小值为________．解析：由(x－1)2＋y2＝1可得圆心O1(1，0)，由＋＝1得椭圆右焦点的坐标为(1，0)．因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝－＝||2－1.因为3－1≤||≤3＋1，所以3≤||2－1≤15，所以·的最大值为15，最小值为3.答案：15　39．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S＝|yP|×2c＝×4×6＝12.10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.[综合题组练]1．(综合型)设椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为(　　)A．　　　 B．　　　C．　　　 D．解析：选B．如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)A．＋y2＝1  B．＋＝1C．＋＝1  D．＋＝1解析：选B．由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B．3. (创新型)(2020·江西吉安一模)如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________．解析：设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为R，所以椭圆的半焦距为 ＝，则e＝＝＝.答案：4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．解析：通解：由椭圆C：＋＝1，得c＝＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝＝＝2，所以|MF2|·h＝|F1F2|·yM，即×4×2＝×8×yM，解得yM＝，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，)．优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝，故点M的坐标为(3，)．答案：(3，)5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)．因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.6．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.由②③得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．