高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 （讲）解析版 试卷

第04讲  函数的单调性与最值【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算【课标解读】1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.【备考策略】1.确定函数的最值（值域）2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.【核心知识】知识点一  函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二   函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【特别提醒】1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].【高频考点】高频考点一   确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（    ）A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.【方法技巧】确定函数单调性的方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．【举一反三】（2021·陕西省咸阳中学模拟）求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．【解析】　f(x)＝＝画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．【变式探究】（2021·四川省遂宁中学模拟）函数f (x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)A． B．和[2，＋∞)C．(－∞，1]和   D．和[2，＋∞)【答案】B　【解析】y＝|x2－3x＋2|＝如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．高频考点二   确定含参函数的单调性(区间)例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．【解析】(方法一：定义法)设－1<x1<x2<1，f (x)＝a＝a，则f (x1)－f (x2)＝a－a＝.因为－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)，函数f (x)在(－1,1)上单调递增．(方法二：导数法)f ′(x)＝＝＝－.当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；【变式探究】（2021·安徽蚌埠模拟）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．【解析】函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－<－.又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，得a(x1＋x2)－>0，从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．高频考点三   解函数不等式例3.（2021·河北承德模拟）定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)A．[－1,2)   B．[0,2)C．[0,1)   D．[－1,1)【答案】C　【解析】因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C。【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．【举一反三】（2021·湖南省娄底市二中模拟）已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)【解析】由已知可得解得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．【变式探究】（2021·湖北省黄冈模拟）已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．【答案】(－， －2)∪(2, )　【解析】因为函数f (x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2.由f (x2－4)<2得f (x2－4)<f (1)．所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.高频考点四   利用函数的单调性求参数取值范围例4.（2021·河南省许昌模拟）函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为________．【答案】[4,8)　【解析】由题意，函数f (x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上分别单调递增，且f (x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得4≤a<8.【方法技巧】利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．【举一反三】（2021·山东省日照模拟）若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．【答案】[4，8)【解析】因为f(x)是定义在R上的增函数，故y＝ax和y＝x＋2均为增函数，所以a>1且4－>0，即1<a<8.又由图象(图略)可得，该函数还必须满足a1≥×1＋2，即a≥4.综上，a的取值范围为4≤a<8.【变式探究】（2021·江西省吉安三中模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数是上的增函数，则，解得，即实数的取值范围是，故选B。高频考点五  函数的最值（值域）例5.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)A.    B.    C.    D．π【答案】C【解析】∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin，∴当x－∈，即x∈时，y＝sin单调递增，f(x)＝－sin单调递减，∴是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆，∴a≤，即amax＝.【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【变式探究】（2021·河南新乡模拟）当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．【答案】【解析】由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.所以所求函数的最小值为. 【举一反三】（2021·福建省福鼎市一中模拟）已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【答案】C【解析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝故h(x)有最小值－1，无最大值．