高中数学高考第2讲　第1课时　利用导数研究函数的单调性 试卷

第2讲　导数的应用一、选择题1.函数f(x)＝xln x，则(　　)A.在(0，＋∞)上递增  B.在(0，＋∞)上递减C.在上递增   D.在上递减解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0<x<，故选D.答案　D2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是(　　)A.    B.(π，2π)C.    D.(2π，3π)解析　y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈时，恒有xcos x>0.答案　C3.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)A.充分不必要条件   B.必要不充分条件C.充要条件    D.既不充分也不必要条件解析　f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案　A4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案　B5.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A.(1，2]    B.(4，＋∞]C.[－∞，2)    D.(0，3]解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.答案　A二、填空题6.函数f(x)＝的单调递增区间为________.解析　函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1.答案　(1，＋∞)7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.解析　f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有即解得a≥.答案　8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________.解析　对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－.所以实数a的取值范围是.答案　三、解答题9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.解　(1)∵f(x)＝xea－x＋bx，∴f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.由题意得即解得a＝2，b＝e.(2)由(1)得f(x)＝xe2－x＋ex，由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增，∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，∴f′(x)>0在R上恒成立.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).10.设函数f(x)＝x3－x2＋1.(1)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解　(1)由已知得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立.所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－2).11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)A.f(1)<ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017f(0)C.f(1)>ef(0)，f(2 017)<e2 017f(0)D.f(1)<ef(0)，f(2 017)<e2 017f(0)解析　令g(x)＝，则g′(x)＝′＝＝<0，所以函数g(x)＝在R上是单调减函数，所以g(1)<g(0)，g(2 017)<g(0)，即<，<，故f(1)<ef(0)，f(2 017)<e2 017f(0).答案　D12.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A.[－1，1]    B.C.    D.解析　∵f(x)＝x－sin 2x＋asin x，∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋.由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.令t＝cos x，t∈[－1，1]，则－t2＋at＋≥0，在t∈[－1，1]上恒成立.∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.令g(t)＝4t2－3at－5，则解之得－≤a≤.答案　C13.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________.解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.答案　(0，1)∪(2，3)14.已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，当a>0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；当a＝0时，f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g′(x)＝0在区间(t，3)上有变号零点.由于g′(0)＝－2，∴当g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即m<－5且m<－9，即m<－9；由g′(3)>0，即m>－，所以－<m<－9，即实数m的取值范围是.