高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5 3　平面向量的数量积课件PPT

第五章　平面向量、复数§5.3　平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.主干梳理　基础落实题型突破　核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULI JICHULUOSHI主干梳理 基础落实11.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作 ，则_________就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是_______.∠AOB[0，π]2.平面向量的数量积|a||b|·cos θ|a|cos θ|b|cos θ|b|cos θ3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2＝0a·b＝0|a||b|1.两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？提示　不一定.当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0).2.平面向量数量积运算常用结论有哪些？提示　(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.a与b同向时，a·b＝|a||b|.a与b反向时，a·b＝－|a||b|.微思考1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .(　　)(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量.(　　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)题组一　思考辨析×√×√题组二　教材改编√√所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.4.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为______.－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.题组三　易错自纠5.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.解析　在△ABC中，由余弦定理得TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究题型一　平面向量数量积的简单应用多维探究命题点1　平面向量的模例1　(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝______.解析　将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.命题点2　平面向量的夹角例2　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于√解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，命题点3　平面向量的垂直例3　(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.解析　由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因为a，b为单位向量，且夹角为45°，(1)求解平面向量模的方法思维升华(2)求平面向量的夹角的方法③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练1　(1)(2020·唐山模拟)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝ ，则|e1－e2|＝_____.1(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为√解析　设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，√整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，例4　(1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A.(－2,6) B.(－6,2) C.(－2,4) D.(－4,6)题型二　平面向量数量积的综合运算师生共研解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，√[高考改编题]　已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则 的取值范围是______.解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，(0,4)(2)(2019·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝ ，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则 ＝_____.－1解析　方法一　在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，方法二　在△ABD中，由余弦定理可得则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝在△ABE中，易得AE＝BE＝2，向量数量积综合应用的方法和思想(1)坐标法.把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法.适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.思维升华√√方法二　如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，题型三　平面向量的实际应用多维探究命题点1　平面几何中的向量方法例5　已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).命题点2　向量在物理中的应用例6　若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ ，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的大小；解　∵三个力平衡，∴F1＋F2＋F3＝0，(2)F3与F1夹角的大小.解　方法一　设F3与F1的夹角为θ，方法二　设F3与F1的夹角为θ，由余弦定理得用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤思维升华跟踪训练3　(1)点P是△ABC所在平面上一点，若 则点P是△ABC的A.外心 B.内心　　C.重心 D.垂心同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心.√(2)一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F＝(4，－5)，则F对该物体做的功为_____.解析　∵A(20,15)，B(7,0)，23极化恒等式拓展视野一、极化恒等式1.极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ＝二、极化恒等式的应用1.求数量积例1　设向量a，b满足 ，则a·b等于A.1 B.2 C.3 D.5√2.求最值例2　如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则 的最大值是_____.2解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，当且仅当O，N，M三点共线时取等号.3.求模长例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是√D为线段AB的中点，KESHIJINGLIAN3课时精练12345678910111213141516√2.设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√解析　由数量积定义得a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0，π]，∴θ＝0，∴a∥b；反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0或π，a·b＝±|a|·|b|.123456789101112131415163.设向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于A.3 B.2 C.－2 D.－3√解析　由题意得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，又∵(a－λb)⊥c，c＝(2,1)，∴(a－λb)·c＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0，∴λ＝3.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x,4－2y)＝(0,8)，123456789101112131415165.(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是A.(a·b)c－(c·a)b＝0B.|a|－|b|