高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题1 12＋4分项练5 解析几何(1)

(五)解析几何
1.(2019·成都诊断)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，
化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，
圆心坐标为C(－1，a)，半径为.
如图，

由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直.
则＝－，即a＝3.
2.(2019·毛坦厂中学联考)已知F1，F2两点是中心为原点的双曲线C的焦点，F1(0,5)，P是该双曲线上一点，||PF1|－|PF2||＝6，则该双曲线的渐近线为(　　)
A.3x±5y＝0 B.5x±3y＝0
C.4x±3y＝0 D.3x±4y＝0
答案　D
解析　由题意知，该双曲线焦点在y轴上，
c＝5,2a＝6，即a＝3，
∴b＝＝4，
则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
3.(2019·抚顺模拟)已知斜率为－1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x＝2 B.x＝1 C.x＝－2 D.x＝－1
答案　D
解析　由题意，直线AB：y＝－x＋并代入y2＝2px，
并整理得：y2＋2py－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－2p，∴＝－p＝－2，解得p＝2.
所以该抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
4.(2019·南昌适应性测试)若椭圆Γ：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，A，F分别为椭圆的左、右焦点，B 为右顶点，过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C，则cos∠ACB等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为椭圆的离心率为，所以a＝3c，b＝2c，
因为过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C，
所以得点C，即C，
从而A(－c,0)，B(3c,0)，
在△ABC中，|AC|＝c，|BC|＝c，|AB|＝4c，
cos∠ACB＝＝.
5.设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为x＝my＋.
由y2＝4x得p＝2，
因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，
所以x2＝2，则y＝4x2＝4×2＝8，
所以y2＝－2，
由得y2－4my－4＝0，
由根与系数的关系，得y1y2＝－4，
所以y1＝，
由y＝4x1，得x1＝.
过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′(图略)，
过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，
易知△CBB′∽△CAA′，
所以＝＝.
又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，
所以＝＝.
6.(2019·凯里模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　延长AF交椭圆于点B，
设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′.
根据题意|AF|＝＝a，|AF|＝2|FB|，
所以|FB|＝，
根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝.
在△AFF′中，由余弦定理得
cos∠F′AF＝＝，
在△AF′B中，由余弦定理得
cos∠F′AB＝＝，
所以＝，解得a＝c，
所以椭圆离心率为e＝＝.
7.(2019·凯里模拟)已知A为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点，P为双曲线右支上一点，若点P关于双曲线中心O的对称点Q满足kAP× kAQ＝，则双曲线的离心率为(　　)
A.＋1 B. C. D.－1
答案　B
解析　设P(x，y)，Q(－x，－y)，A(a,0)，
因为kAP× kAQ＝，
所以·＝·＝＝，
因为－＝1，
所以y2＝(x2－a2)，
所以＝，
所以a＝2b，所以a2＝4b2＝4(c2－a2)，
所以5a2＝4c2，所以e＝.
8.(2019·汉中质检)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点C，若|BC|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A.12 B.14 C.16 D.28
答案　C
解析　抛物线y2＝8x，p＝4，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，如图：

由抛物线的定义可知：|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，
∵BN∥x轴，∴＝，
∵|BC|＝|BF|，
∴有＝，
解得|BF|＝8－4.
∴|CF|＝|CB|＋|BF|＝4.
∵AM∥x轴，所以＝，
∴＝，
∴|AF|＝8＋4，所以|AB|＝16.
9.已知点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆2＋(y－4)2＝1上，则|PQ|的最小值为(　　)
A.－1 B.－1
C.2－1 D.－1
答案　A
解析　设抛物线上点的坐标为P(m2，m).
圆心与抛物线上的点的距离的平方
d2＝2＋(m－4)2＝m4＋2m2－8m＋.
令f(m)＝m4＋2m2－8m＋，
则f′(m)＝4(m－1)(m2＋m＋2)，
由导函数与原函数的关系可得函数f(m)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数f(m)的最小值为f(1)＝，由几何关系可得|PQ|的最小值为－1＝－1.
10.(2019·东北三省三校模拟)已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点.当△AOB的面积取得最大值时，|AB|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由
得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AB|＝
＝＝.
又O到直线AB的距离d＝，
则△AOB的面积S＝d·|AB|
＝≤＝，
当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，
△AOB的面积取得最大值.
此时|AB|＝＝.
11.(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0,1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0,1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
答案　A
解析　方法一　设椭圆焦点在x轴上，
则04，f′(t)>0；2≤t