高中数学高考第2部分 高考22题逐题特训 专题1 12＋4分项练2 数　列(1)

(二)数　列1.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　)A.16  B.8  C.4  D.2答案　C解析　设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.2.(2019·榆林模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9等于(　　)A.24  B.32  C.40  D.72答案　C解析　∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24，∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4，∴a5＋S9＝10a5＝40.3.(2019·肇庆检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，则S8等于(　　)A.－20  B.－18  C.－10  D.－8答案　D解析　等差数列{an}的公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，可得a＝a1a4，即为(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，则S8＝8×(－8)＋×8×7×2＝－8.4.(2019·河南百校联盟考试)已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}的前12项之和为(　　)A.－144  B.80  C.144  D.304答案　D解析　∵a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40，∴d＝－8，∴an＝40－8n.∴|an|＝|40－8n|＝∴前12项之和为＋＝80＋224＝304.5.(2019·毛坦厂中学联考)已知等差数列{an}满足a3＝3，a4＋a5＝a8＋1，数列{bn}满足bnan＋1an＝an＋1－an，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对于任意的a∈[－2,2]，n∈N*，不等式Sn<2t2＋at－3恒成立，则实数t的取值范围为(　　)A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)   B.(－∞，－2]∪[1，＋∞)C.(－∞，－1]∪[2，＋∞)   D.[－2,2]答案　A解析　由题意得a4＋a5＝a8＋a1＝a8＋1，则a1＝1，等差数列{an}的公差d＝＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n.由bnan＋1an＝an＋1－an，得bn＝－＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝1－，则不等式Sn<2t2＋at－3恒成立等价于1－<2t2＋at－3恒成立，而1－<1，∴问题等价于对任意的a∈[－2,2]，n∈N*,2t2＋at－4≥0恒成立.设f(a)＝2t2＋at－4，a∈[－2,2]，则即解得t≥2或t≤－2.6.(2019·淄博实验中学诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于(　　)A.128  B.256  C.512  D.1 024答案　B解析　∵Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1.n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，∴an＋1＝2an.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×28＝1×28＝256.7.(2019·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于(　　)A.－  B.0  C.  D.答案　A解析　因为an＋1＝(n∈N*)，所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…，故此数列的周期为3.所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－.8.《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是(　　)A.72.705尺   B.61.395尺C.61.905尺   D.73.995尺答案　B解析　因为每节竹间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，所以{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b1，b2，b3，…，b30，所以{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是S30＝＋＝61.395(尺).9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为(　　)A.12  B.9  C.6  D.18答案　D解析　因为S3－S2＝a3，所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，设等比数列{an}的公比为q，则a1＝，由于{an}的各项为正数，所以q>1.a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3)＝＝3≥18，当且仅当q－1＝2，即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.10.已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为(　　)A.[1,2)   B.(1，e)C.   D.答案　C解析　由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.由xn＝，得＝1＋，＝….令Fn＝，则当n≥2时，＝>1，故数列{Fn}是递增数列，∴≥.∵当x>0时，ln(1＋x)<x，∴ln<，则ln＝ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝＋＋…＋＝<＝，∴…<，故≤<，故选C.11.(2019·成都模拟)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋a3＋…＋an>a1a2a3…an的最大正整数n的值为(　　)A.10  B.11  C.12  D.13答案　C解析　∵正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3，∴q2＋q＝6.∵q>0，解得q＝2或q＝－3(舍)，∴a1＝，∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝，∴>×整理可得，n>(n－1)，∴1<n≤12，经检验n＝12满足题意.12.(2019·烟台模拟)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]＝3，[－1.2]＝－2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn>2 018的最小整数，则n0的值为(　　)A.305  B.306  C.315  D.316答案　D解析　由题意，an＝[log2n]，当n＝1时，可得a1＝0，(1项)当21≤n<22时，可得a2＝a3＝1，(2项)当22≤n<23时，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4项)当23≤n<24时，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8项)当24≤n<25时，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16项)……，当2k≤n<2k＋1时，可得(2k项)当n＝2k＋1－1时，前n项和Sn＝1×21＋2×22＋…＋k×2k，2Sn＝1×22＋2×23＋…＋k×2k＋1，两式相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k×2k＋1，所以Sn＝(k－1)×2k＋1＋2.由Sn>2 018，得k≥8.当k＝7时，Sn＝1 538<2 018；当k＝8时，Sn＝3 586>2 018，所以取k＝7，且2 018－1 538＝480，所以n0＝＋＋1＝316.13.(2019·全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.答案　4解析　设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.14.(2019·北京朝阳区模拟)天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.答案　243　3 402解析　第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以an＝9＋(n－1)×9＝9n，所以a27＝9×27＝243，前27项和为S27＝＝＝3 402.15.(2019·东北三省四市模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则＝________.答案　n2－n解析　∵a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴＝＋＝＋－，由累加法得，＝，∴＝为等差数列，∴＝·＝n2－n.16.(2019·钟祥模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数数列{an}满足Sn＝，n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项和，则＝________.答案　20解析　由题意可知Sn>0，当n>1时，Sn＝，化简可得S－S＝1，当n＝1时，S＝a＝1，因为数列{an}为正数列，所以a1＝1，所以数列{S}是首项和公差都是1的等差数列，即S＝n，所以Sn＝，又n>1时，2(－)＝<<＝2(－)，记S＝＋＋…＋，一方面，S>2[－＋…＋－1]＝2(－1)>20，另一方面，S<1＋2[(－)＋…＋(－1)]＝1＋2(－1)＝21，所以20<S<21，即[S]＝20.