高中数学高考第1讲　绝对值不等式(1)

第1讲　绝对值不等式

1.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.

(1)解不等式f(x)＞2；

(2)求函数y＝f(x)的最小值.

解　(1)法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.

原不等式可化为：

或或

即或或

∴x＜－7或x＞.

∴原不等式的解集为.

法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝

画出f(x)的图象，如图所示.

求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.

由图象知f(x)＞2的解集为.

(2)由(1)的法二图象知：当x＝－时，

知：f(x)min＝－.

2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.

(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；

(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

证明　(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤

|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；

|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋

|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.

(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋

|cos γ|，

而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

3.(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.

(1)求的最小值；

(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.

解　(1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.

(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，

故|2＋x|＋|2－x|≤.

由(1)可知，的最小值为4.

∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.

解不等式得－2≤x≤2.

故实数x的取值范围为[－2，2].

4.(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).

(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.

解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，

①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.

②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.

③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).

(2)不等式f(x)≥3，

即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，

∵当x∈R时，

恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，

∴a＋8≤3，即a≤－5，

∴a的最大值为－5.

5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.

(1)求M；

(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.

(1)解　f(x)＝

当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，

得x≤，故1≤x≤；

当x<1时，

由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.

所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}.

(2)证明　由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤.因此N＝，

故M∩N＝.

当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是

x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤.

6.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.

(1)解不等式：|g(x)|＜5；

(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.

解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，

所以－7＜|x－1|＜3，

解不等式得－2＜x＜4，

所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.

(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，

又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，

解得a≥－1或a≤－5，

所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.