高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题6 第1讲 函数的图象与性质(小题)(1)

第1讲　函数的图象与性质(小题)热点一　函数的概念与表示1.高考常考定义域易失分点：(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.2.高考常考分段函数易失分点：(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化.例1　(1)(2019·宣城联考)函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为(　　)A.(－1,3] B.(－1,0)∪(0,3]C.[－1,3] D.[－1,0)∪(0,3]答案　B解析　由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得x∈(－1,0)∪(0,3].(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________.答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析　∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,x－1≤0，))即00，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.综上，x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).跟踪演练1　(1)(2019·黄冈调研)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为(　　)A.(－1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) C.(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案　C解析　∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，即－20，,x≠0，))∴f(x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞).令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝eq \f(1,x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋1)，当－10时，g′(x)0，))得x≠±eq \f(1,e)且x≠0，则函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).∵f(－x)＝eq \f(1－ln|－x|,1＋ln|－x|)·sin(－x)＝－eq \f(1－ln|x|,1＋ln|x|)·sin x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除D.又1>eq \f(1,e)，且f(1)＝sin 1>0，故可排除B.02＝eq \f(1,b)，∴f(x)＝loga(a－x＋1)＋eq \f(1,2)x，f′(x)＝eq \f(－a－x·ln a,a－x＋1ln a)＋eq \f(1,2)＝eq \f(ax－1,2ax＋1)，若00时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(a)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b))).综上，一定有b＝eq \f(1,2)且f(a)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))).12.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－14或x0，))则满足f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是____.答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))解析　由题意知，可对不等式分x≤0,0eq \f(1,2)三段讨论.当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq \f(1,2)>1，解得x>－eq \f(1,4)，∴－eq \f(1,4)eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋2x－eq \f(1,2)>1，显然成立.综上可知，x>－eq \f(1,4).16.已知函数f(x)是奇函数，当x0且a≠1)对∀x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))恒成立，则实数a的取值范围是________.答案　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))解析　由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax(a>0且a≠1)对∀x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))恒成立，即当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知01时，f(x)为增函数，且f(x)>a2－7a＋14，当x≤1时，f(x)＝－x2＋ax＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq \f(a2,4)，对称轴为x＝eq \f(a,2)，若eq \f(a,2)