(新高考)高考数学一轮复习讲义第8章§8.13圆锥曲线压轴小题突破培优课(含详解)

§8.13　圆锥曲线压轴小题突破题型一　圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题例1　(1)(2022·济南联考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|eq \o(PF1,\s\up6(——→))＋eq \o(PF2,\s\up6(——→))|＝|eq \o(PF1,\s\up6(——→))－eq \o(PF2,\s\up6(——→))|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中00)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，则p＝________.答案　eq \f(3,16)解析　设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),2p)))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设过点M的直线方程为x＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(x\o\al(2,0),2p)))＋x0，①与y2＝4x联立得y2＝4teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(x\o\al(2,0),2p)))＋4x0，即y2－4ty＋eq \f(2tx\o\al(2,0),p)－4x0＝0，②由题意知Δ＝16t2－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2tx\o\al(2,0),p)－4x0))＝0，即2pt2－xeq \o\al(2,0)t＋2px0＝0，则t1＋t2＝eq \f(x\o\al(2,0),2p)，t1·t2＝x0(t1，t2分别表示l1，l2斜率的倒数)，由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，当t＝t1时，y1＝2t1，当t＝t2时，y2＝2t2，∵△MPQ的重心为Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴eq \f(x\o\al(2,0),2p)＋y1＋y2＝eq \f(x\o\al(2,0),2p)＋2(t1＋t2)＝eq \f(x\o\al(2,0),2p)＋2×eq \f(x\o\al(2,0),2p)＝eq \f(3x\o\al(2,0),2p)＝eq \f(9,2)，③而x1＋x2＝t1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－\f(x\o\al(2,0),2p)))＋x0＋t2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－\f(x\o\al(2,0),2p)))＋x0＝2(teq \o\al(2,1)＋teq \o\al(2,2))－eq \f(x\o\al(2,0),2p)(t1＋t2)＋2x0＝2[(t1＋t2)2－2t1t2]－eq \f(x\o\al(2,0),2p)(t1＋t2)＋2x0＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(4,0),4p2)－2x0))－eq \f(x\o\al(4,0),4p2)＋2x0＝eq \f(x\o\al(4,0),4p2)－2x0.∴x0＋x1＋x2＝eq \f(x\o\al(4,0),4p2)－x0＝3，④联立③④得p＝eq \f(3,16).思维升华　圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．跟踪训练2　(1)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则(　　)A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1|F1F2|＝2，所以M的轨迹是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1在第一象限内的部分，如图所示．因为I是△MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，所以eq \f(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|·r,2)＝eq \f(|F1F2|·yM,2)，所以r＝eq \f(yM,3)，所以S1＝eq \f(|F1F2|·r,2)＝eq \f(yM,3)，又因为G是△MF1F2的重心，所以OG∶GM＝1∶2，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,3)·eq \f(|F1F2|·yM,2)＝eq \f(yM,3)，所以S1＝S2.(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．答案　eq \f(3,2)解析　设OA 所在的直线方程为y＝eq \f(b,a)x ，则OB 所在的直线方程为y＝－eq \f(b,a)x，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＝2py，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2pb,a)，,y＝\f(2pb2,a2)，))所以点A 的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2))) ，抛物线的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).因为F是△OAB的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，所以－eq \f(b,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a))))＝－1⇒eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4).所以e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(9,4)，解得e＝eq \f(3,2).题型三　圆锥曲线在生活中的应用例3　(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为(　　)A．－eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)答案　B解析　由已知可得A(x0,2)在第一象限，将点A的坐标代入双曲线方程可得xeq \o\al(2,0)－eq \f(4,2)＝1，解得x0＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，2)，又由双曲线的方程可得a＝1，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(3)，则F2(eq \r(3)，0)，所以|AF2|＝2，且点A，F2都在直线x＝eq \r(3)上，又|OF1|＝|OF2|＝eq \r(3)，所以tan∠F1AF2＝eq \f(|F1F2|,|AF2|)＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，所以∠F1AF2＝60°，设∠F2AM的角平分线为AN，则∠F2AN＝(180°－60°)×eq \f(1,2)＝60°，所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，所以直线的斜率为tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－eq \f(9,16)，则椭圆的离心率为(　　)图1　　　　　　　　　图2A.eq \f(3,4) B.eq \f(\r(7),4) C.eq \f(9,16) D.eq \f(\r(3),2)答案　B解析　若内层椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为eq \f(x2,ma2)＋eq \f(y2,mb2)＝1(m>1)，∴A(－ma,0)，B(0，mb)，设切线AC为y＝k1(x＋ma)，切线BD为y＝k2x＋mb，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋ma，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))整理得(a2keq \o\al(2,1)＋b2)x2＋2ma3keq \o\al(2,1)x＋m2a4keq \o\al(2,1)－a2b2＝0，由Δ＝0知(2ma3keq \o\al(2,1))2－4(a2keq \o\al(2,1)＋b2)(m2a4keq \o\al(2,1)－a2b2)＝0，整理得keq \o\al(2,1)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(1,m2－1)，同理eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k2x＋mb，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))可得keq \o\al(2,2)＝eq \f(b2,a2)·(m2－1)，∴(k1k2)2＝eq \f(b4,a4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,16)))2，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(9,16)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(\r(7),4).思维升华　圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．跟踪训练3　(1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于(　　)A.eq \r(2)∶eq \r(3) B．1∶eq \r(2)C．1∶3 D．1∶eq \r(3)答案　C解析　由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2，因为 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(|F1M|,|F2M|)＝eq \f(\f(1,2)|PF1||PM|sin∠F1PM,\f(1,2)|PF2||PM|sin∠F2PM)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(　　)A．1 B．2 C．3 D．2.5答案　A解析　清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，代入双曲线方程y2－x2＝1，得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，要使清洁钢球到达底部，即r≤1.课时精练1．(2022·遵义模拟)双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为(　　)A．(－1,0) B．(0,0)C．(1,0) D．(2,0)答案　D解析　设交点为D(x,0)，用面积法 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(\f(1,2)|F1D|·h,\f(1,2)|F2D|·h)，化简可得角平分线定理eq \f(|DF1|,|PF1|)＝eq \f(|DF2|,|PF2|)，由双曲线定义知|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2.2．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq \f(a3,T2)＝k，k＝eq \f(GM,4π2)，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取eq \r(10)≈3.1，则冥王星的公转周期约为(　　)A．157年 B．220年C．248年 D．256年答案　C解析　设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝\f(GM,4π2)，,\f(a\o\al(3,2),T\o\al(2,2))＝\f(GM,4π2)，))两式相除并化简得Teq \o\al(2,2)＝eq \f(a\o\al(3,2),a\o\al(3,1))×Teq \o\al(2,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60,1.5)))3×1＝6 400×10，所以T2＝80eq \r(10)≈80×3.1＝248(年)．3．(2022·东三省四市联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)·|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|，则实数a的值为(　　)A．±2 B．±eq \r(2)C．±eq \r(3) D．±eq \r(6)答案　D解析　由|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|得，(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)))2＝3(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))2，又O为圆x2＋y2＝4的圆心，则|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝2，所以eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝2，所以|eq \o(OA,\s\up6(→))||eq \o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝2，即cos∠AOB＝eq \f(1,2)，所以∠AOB＝eq \f(π,3)，所以△AOB为等边三角形，则O到直线x＋y＝a的距离为d＝eq \r(3)，即d＝eq \f(|－a|,\r(12＋12))＝eq \r(3)，解得a＝±eq \r(6).4．(2022·郑州模拟)已知A，B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)答案　B解析　设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)，不妨令y0>0，A(－a,0)，B(a,0)，则k1＝eq \f(y0,x0＋a)，k2＝eq \f(－y0,x0－a)，显然有－a0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(6)答案　A解析　不妨设渐近线的方程为y＝－eq \f(b,a)x，因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，将直线OM，MF1的方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)x＋c，))可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又F1(－c,0)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c))),2)，\f(ab,2c)))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋c2,2c)，\f(ab,2c)))，又P点在双曲线上，所以eq \f(a2＋c22,4a2c2)－eq \f(a2,4c2)＝1，解得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的离心率为eq \r(2).7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x10，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　)A．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\o\al(2,1))＋eq \f(1,e\o\al(2,2))＝eq \r(2)B．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\o\al(2,1))＋eq \f(1,e\o\al(2,2))＝2C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))答案　BD解析　如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1，当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋aeq \o\al(2,1)＝2c2，由离心率的公式可得eq \f(1,e\o\al(2,1))＋eq \f(1,e\o\al(2,2))＝2，故B正确；当|F1F2|＝4|MF2|时，可得n＝eq \f(1,2)c，即a－a1＝eq \f(1,2)c，可得eq \f(1,e1)－eq \f(1,e2)＝eq \f(1,2)，由0eq \f(1,2)，即10)中，A(a,0)，渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，设右焦点为F(c,0)，由eq \o(AQ,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AQ,\s\up6(→))·eq \o(FB,\s\up6(→))⇔eq \o(AQ,\s\up6(→))·(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BF,\s\up6(→)))＝0，即eq \o(AQ,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))＝0，即eq \o(AQ,\s\up6(→))⊥eq \o(AF,\s\up6(→))，直线l：x＝a，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设B(x0，y0)，则eq \o(BQ,\s\up6(→))＝(a－x0，b－y0)，eq \o(FQ,\s\up6(→))＝(a－c，b)，因为eq \o(BQ,\s\up6(→))＝4eq \o(FQ,\s\up6(→))，则(a－x0，b－y0)＝4(a－c，b)，解得x0＝4c－3a，y0＝－3b，即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上，则有eq \f(4c－3a2,a2)－eq \f(－3b2,b2)＝1，即(4e－3)2＝10，解得e＝eq \f(3±\r(10),4)，因为e>1，则e＝eq \f(3＋\r(10),4).10．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．答案　(x－14)2＝－eq \f(36,5)y　eq \f(140,13)解析　设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)，代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40，所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y，由图知抛物线C1经过点A(20，－5)，则(20－14)2＝－2p′×(－5)，解得p′＝eq \f(18,5)，所以C1：(x－14)2＝－eq \f(36,5)y.点A即桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：(x－14)2＝－eq \f(36,5)y的交点坐标，设A(x，y)，7