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    (新高考)高考数学一轮复习讲义第2章§2.6指数与指数函数(含详解)

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    §2.6 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.知识梳理1.根式(1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)式子eq \r(n,a)叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.(3)(eq \r(n,a))n=a.当n为奇数时,eq \r(n,an)=a,当n为偶数时,eq \r(n,an)=|a|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a,a≥0,,-a,a<0.))2.分数指数幂正数的正分数指数幂, SKIPIF 1 < 0 =eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,n>1).正数的负分数指数幂, SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,n>1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈R).4.指数函数及其性质(1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.(2)指数函数的图象与性质常用结论1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq \r(4,-44)=-4.( × )(2)2a·2b=2ab.( × )(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ )(4)若am0,且a≠1),则m0且a≠1)的图象恒过定点________.答案 (1,3)3.已知a= SKIPIF 1 < 0 ,b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ,则a,b,c的大小关系是________.答案 c SKIPIF 1 < 0 >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0,即a>b>1,又c= SKIPIF 1 < 0 <eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0=1,∴c0,b>0)=________.答案 eq \f(8,5)解析 原式= SKIPIF 1 < 0 =eq \f(8,5).(2)若 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =3(x>0),则 SKIPIF 1 < 0 =________.答案 eq \f(1,3)解析 由 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =3,两边平方,得x+x-1=7,再平方得x2+x-2=47,∴x2+x-2-2=45. SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (x-1+x-1)=3×(7-1)=18.∴ SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,3).教师备选(2022·杭州模拟)化简 SKIPIF 1 < 0 (a>0,b>0)的结果是(  )A.eq \f(b,a) B.eq \f(a,b) C.eq \f(a2,b) D.eq \f(b2,a)答案 B解析  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =ab-1=eq \f(a,b).思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练1 (1)已知a>0,则 SKIPIF 1 < 0 化为(  )A. SKIPIF 1 < 0  B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0  D. SKIPIF 1 < 0 答案 B解析 原式= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .(2)计算: SKIPIF 1 < 0 -eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))0+eq \r(4,3-π4)+ SKIPIF 1 < 0 =________.答案 π+8解析 原式= SKIPIF 1 < 0 -1+|3-π|+23=4-1+π-3+8=π+8.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列等式可以成立的是(  )A.a=b=0 B.a1,故A错误,B正确.C,D选项中,指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x在R上单调递减,故0<eq \f(b,a)<1,故C,D错误.思维升华 (1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(  )答案 A解析 由图象可知,b<-1,00使x+a0时有y1=e-x∈(0,1),而y=x+a∈(a,+∞),∴当a<1时,∃x>0,使得ex(x+a)<1成立.题型三 指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例3 (1)(2022·永州模拟)若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,则a,b,c的大小关系是(  )A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.a>c>b答案 B解析 ∵函数y=0.3x在R上是减函数,∴0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,又∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,0.3<0.7,∴0<0.30.3<0.70.3,∴01.20=1,∴c>b>a.(2)(2020·全国Ⅱ)若2x-2y<3-x-3-y,则(  )A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0答案 A解析 设函数f(x)=2x-3-x.因为函数y=2x与y=-3-x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x-3-x<2y-3-y,即f(x)0,所以A正确,B不正确.因为|x-y|与1的大小关系不能确定,所以C,D不正确.命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(  )A.[2,4] B.(-∞,0)C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴1≤4x-3·2x+3≤7.∴-1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.(2)当00且a≠1)有解,则实数a的取值范围是______.答案 (4,+∞)解析 依题意,当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))时,y=ax与y=eq \f(1,x)有交点,作出y=eq \f(1,x)的图象,如图,所以 SKIPIF 1 < 0 解得a>4.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是________.答案 (-∞,4]解析 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2),+∞))上单调递增,在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(m,2)))上单调递减.而y=2t是增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有eq \f(m,2)≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].教师备选1.(多选)下列各式比较大小正确的是(  )A.1.72.5>1.73 B. SKIPIF 1 < 0 C.1.70.3>0.93.1 D. SKIPIF 1 < 0 答案 BCD解析 ∵y=1.7x为增函数,∴1.72.5<1.73,故A不正确; SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数,∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;∵1.70.3>1,而0.93.1∈(0,1),∴1.70.3>0.93.1,故C正确;∵y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x为减函数,∴ SKIPIF 1 < 0 ,又y= SKIPIF 1 < 0 在(0,+∞)上单调递增,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)=ex-eq \f(1,ex),若f(a-2)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是______.答案 [-2,1]解析 因为f(x)=ex-eq \f(1,ex),定义域为R,f(-x)=e-x-eq \f(1,e-x)=eq \f(1,ex)-ex=-f(x),所以f(x)=ex-eq \f(1,ex)为奇函数.又因为f(x)=ex-eq \f(1,ex)在R上为增函数,所以f(a-2)+f(a2)≤0⇒f(a-2)≤-f(a2)⇒f(a-2)≤f(-a2),即a-2≤-a2,a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.跟踪训练3 (1)设m,n∈R,则“m1”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m-n>1,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m-n>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0,∴m-n<0,∴m1”的充要条件.(2)已知函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 ,若f(x)有最大值3,则a的值为________.答案 1解析 令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x),∵f(x)有最大值3,∴g(x)有最小值-1,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,,\f(3a-4,a)=-1,))解得a=1.课时精练1.(2022·佛山模拟)已知a= SKIPIF 1 < 0 ,b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ,则(  )A.c SKIPIF 1 < 0 =b,因为b= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则b>c.综上所述,a>b>c.2.若函数f(x)=ax-b的图象如图所示,则(  )A.a>1,b>1 B.a>1,01 D.00,a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍,则a的值是(  )A.eq \f(1,2)或eq \r(2) B.eq \f(1,2)或2C.eq \f(1,2) D.2答案 B解析 当a>1时,函数单调递增,f(x)max=2f(x)min,∴f(2)=2f(1),∴a2=2a,∴a=2;当00且a≠1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(  )答案 ABD解析 由图可得a1=2,即a=2,y=a-x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x单调递减,且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x,x≥0,,2-x,x<0))为偶函数,结合指数函数图象可知C错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确.6.(多选)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为(  )A.eq \f(1,3) B.2C.3 D.eq \f(1,2)答案 AC解析 令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a),a)),又函数y=(t+1)2-2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a),a))上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).当00,b>0,则 SKIPIF 1 < 0  =______.答案  1解析  SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =1.8.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,a≤x<0,,-x2+2x,0≤x≤4))的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.答案 [-3,0)解析 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2a),-1)),所以eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2a),-1))[-8,1],即-8≤-eq \f(1,2a)<-1,即-3≤a<0.所以实数a的取值范围是[-3,0).9.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b·a=6,,b·a3=24.))所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x-m≥0恒成立,即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上恒成立.又因为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上均单调递减,所以y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(-∞,1]上也单调递减,所以当x=1时,y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x有最小值eq \f(5,6),所以m≤eq \f(5,6),即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(5,6))).10.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围.解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,∴k=2,经检验k=2符合题意,所以k=2.(2)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),∵f(1)<0,∴a-eq \f(1,a)<0,又a>0,且a≠1,∴00可化为f(m2-2)>f(-m),∴m2-2<-m,即m2+m-2<0,解得-2(1-a)bB.(1-a)b> SKIPIF 1 < 0 C.(1+a)a>(1+b)bD.(1-a)a>(1-b)b答案 D解析 因为0b,b>eq \f(b,2),所以 SKIPIF 1 < 0 <(1-a)b,(1-a)b< SKIPIF 1 < 0 ,所以A,B均错误;又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C错误;因为0<1-b<1-a<1,所以(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以D正确.12.(多选)(2022·南京模拟)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值可以是(  )A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.2答案 AB解析 ①当a>1时,由图象得0<2a<1,∴01,∴此种情况不存在;②当00,∴ex+1>1,∴0<eq \f(2,ex+1)<2,∴-2<-eq \f(2,ex+1)<0,∴f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(1,2))),∴[f(x)]为-2或-1或0.14.(2022·宁波模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是________.答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3),0))解析 ∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),∴ SKIPIF 1 < 0 +m-1=- SKIPIF 1 < 0 -m+1,∴2m=- SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 +2,构造函数y=- SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 +2,x0∈[-1,1],令t= SKIPIF 1 < 0 ,t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),3)),y=-eq \f(1,t)-t+2=2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t+\f(1,t)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1))上单调递增,在(1,3]上单调递减,∴t=1取得最大值0,t=eq \f(1,3)或t=3取得最小值-eq \f(4,3),y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(4,3),0)),∴-eq \f(4,3)≤2m<0,∴-eq \f(2,3)≤m<0.15.(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增,且对∀x∈R,有f(f(x)-2x)=3,则f(log43)=________.答案 eq \r(3)+1解析 根据题意,对∀x∈R,有f(f(x)-2x)=3,又∵f(x)是定义在R上的增函数,∴在R上存在常数a使得f(a)=3,∴f(x)=2x+a,∴f(a)=2a+a=3,解得a=1,∴f(x)=2x+1,∴f(log43)= SKIPIF 1 < 0 +1=eq \r(3)+1.16.(2022·上海模拟)已知函数f(x)=2x+a·2-x(a为常数,a∈R).(1)讨论函数f(x)的奇偶性;(2)当f(x)为偶函数时,若方程f(2x)-k·f(x)=3在x∈[0,1]上有实根,求实数k的取值范围.解 (1)∵函数f(x)=2x+a·2-x的定义域为x∈R,又∵f(-x)=2-x+a·2x,∴①当f(-x)=f(x),即2-x+a·2x=2x+a·2-x时,可得a=1,即当a=1时,函数f(x)为偶函数;②当f(-x)=-f(x),即2-x+a·2x=-(2x+a·2-x)=-2x-a·2-x时,可得a=-1,即当a=-1时,函数f(x)为奇函数.(2)由(1)可得,当函数f(x)为偶函数时,a=1,即f(x)=2x+2-x,f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2,由题可得,(2x+2-x)2-2-k(2x+2-x)=3⇔(2x+2-x)2-k(2x+2-x)-5=0,令t=2x+2-x,则有t2-kt-5=0,∵x∈[0,1],∴2x∈[1,2],根据对勾函数的性质可知,2x+2-x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2))),即t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2))),方程t2-kt-5=0在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2)))上有实数根,则k=eq \f(t2-5,t)=t-eq \f(5,t),令φ(t)=t-eq \f(5,t),∴φ(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2)))上单调递增,且φ(2)=-eq \f(1,2),φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))=eq \f(1,2),∴-eq \f(1,2)≤k≤eq \f(1,2),∴实数k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2))). a>100时,y>1;当x<0时,01;当x>0时,0
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