专题31随地转动模型、万有引力与抛体运动、卫星参量的比较-高三物理一轮复习重难点逐个突破

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考点一 随地转动模型
把地球看做均匀球体，在地球上任意位置万有引力大小相等且重力和向心力是万有引力的两个分力.
1．忽略地球自转时向心力为0，则mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”．
2．考虑自转时，注意两个特殊位置 1）两极：
2）赤道：
强调：对赤道上的物体重力和支持力平衡，当赤道上的物体对地面的压力为零时 ，如果地球自转角速度ω继续增大，地球将从赤道开始解体，此时的角速度也就是地球稳定转动的临界角速度。
1．(多选)假如地球的自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是( )
A．放在赤道上的物体的万有引力不变 B．放在两极上的物体的重力不变
C．放在赤道上的物体的重力减小 D．放在两极上的物体的重力增加
【答案】ABC
【解析】
地球自转速度增大，则物体随地球自转所需向心力增大。
A．地球的质量和半径都没有变化，故对赤道上物体的万有引力大小保持不变，故A正确；
BD．地球绕地轴转动，在两极点，物体转动半径为0，转动所需向心力为0，此时物体的重力与万有引力相等，故自转速度增大两极点的重力保持不变，故B正确，D错误；
C．赤道上的物体重力和向心力的合力等于物体受到的万有引力，因万有引力不变，自转速度增大时所需向心力增大，故物体的重力将减小，故C正确。
2．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A．eq \f(GMT2,GMT2－4π2R3)B．eq \f(GMT2,GMT2＋4π2R3)
C．eq \f(GMT2－4π2R3,GMT2)D．eq \f(GMT2＋4π2R3,GMT2)
【答案】A
【解析】
物体在南极静止时受到的支持力等于万有引力Geq \f(Mm,R2)；设物体在赤道水平面上静止时所受到的支持力为F，则有Geq \f(Mm,R2)－F＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，解得F＝Geq \f(Mm,R2)－eq \f(4π2mR,T2)。所受到的支持力之比为eq \f(GMT2,GMT2－4π2R3)，选项A正确。
3.已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN,假设地球是质量分布均匀的球体,半径为R。则地球的自转周期为( )
A.T=2πB.T=2π C.T=2π D.T=2π
【答案】A
【解析】在北极,物体所受的万有引力与支持力大小相等,在赤道处,物体所受的万有引力与支持力的差值提供其随地球自转的向心力,由题意可得ΔN=mR()2,解得T=2π,选项A正确。
4.(多选)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率,如果超出了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球,地球半径为R,地球北极表面附近的重力加速度为g,引力常量为G,地球质量为M,则地球的最大自转角速度ω为( )
A.2πGMR3 B.GMR3 C.gR D.2πRg
【答案】BC
【解析】
设地球赤道上有一质量为m的物体,要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动,则物体与地球之间的万有引力等于向心力,有GMmR2=mω2R,解得ω=GMR3,A项错误,B项正确;在地球北极表面附近有GMm'R2=m'g,则GM=gR2,代入上式可得ω=gR,C项正确,D项错误。
5.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】
脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3。
6.（2022·黑龙江·肇东市第一中学高三阶段练习）(多选)由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C.地球的半径为
D.地球的密度为
【答案】B、C、D
【解析】
因地球表面两极处的重力加速度大小为g0,则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0,选项A错误;因在地球的两极G=mg0,则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F=G=mg0,选项B正确;在赤道上:G-mg=mR,联立解得:R=,选项C正确;地球的密度为ρ=,联立解得:ρ=,选项D正确。
考点二 星球表面物体的一个近似关系
以地球为例，地球表面上物体的重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)
7．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( )
A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G)
C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)
【答案】A
【解析】解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，又V＝eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，A项正确．
8.(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】B
【解析】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(mM,R2)，可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,Req \\al( 2,火))∶Geq \f(M月m玉兔,Req \\al( 2,月))＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B。
考点三 万有引力与抛体运动的结合
常见的抛体运动都发生在天体的表面，所以万有引力与抛体运动的综合问题常选择Geq \f(Mm,R2)＝mg 及抛体运动有关规律，天体表面的重力加速度g是两者联系的桥梁（ Geq \f(Mm,R2)＝mg中R为天体的半径，g为天体表面的重力加速度）。
9.(多选)宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(2hv02,L2) B．月球的质量m月＝eq \f(2hR2v02,GL2)
C．月球的自转周期T＝eq \f(2πR,v0) D．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv02,2πGL2)
【答案】AB
【解析】
根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝eq \f(1,2)g月t2，联立解得g月＝eq \f(2hv02,L2)，选项A正确；由mg月＝eq \f(Gmm月,R2)，解得m月＝eq \f(2hR2v02,GL2)，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv02,2πGL2R)，选项D错误．
10.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
【答案】AD
【解析】
设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝eq \f(2v0,g)，因此得eq \f(g′,g)＝eq \f(t,5t)＝eq \f(1,5)，选项A正确，B错误；由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(gR2,G)，则eq \f(M星,M地)＝eq \f(g′R星2,gR地2)＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,80)，选项C错误，D正确．
11．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ.
【答案】(1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
【解析】
(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
则h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2h,t2).
(2)因不考虑月球自转的影响，则有Geq \f(Mm,R2)＝mg月，月球的质量M＝eq \f(g月R2,G)＝eq \f(2hR2,Gt2).
(3)月球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3h,2πRGt2).
12.在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面后，需经过多次弹跳才能停下来。假设着陆器第一次落到火星表面被弹起后，到达最高点的高度为h，此时它的速度方向是水平的，速度大小为v0。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为R的均匀球体，不计火星表面的大气阻力。求：
(1)火星表面的重力加速度g；
(2)着陆器第二次落到火星表面时速度v的大小。
【答案】(1)eq \f(4π2r3,T2R2) (2) eq \r(v02＋\f(8π2r3h,T2R2))
【解析】
(1)在火星表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，
对该卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm′,r2)＝m′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，
联立解得火星表面的重力加速度g＝eq \f(4π2r3,T2R2)。
(2)着陆器第二次落到火星表面时，有
vy2＝2gh，v＝eq \r(v02＋vy2)，
联立解得v＝ eq \r(v02＋\f(8π2r3h,T2R2))。
考点四 环绕模型之卫星的参量比较
1.行星绕恒星或卫星绕中心天体的匀速圆周运动称之为环绕模型
2.环绕模型的动力学特征：

因为万有引力提供向心力，所以所有地球卫星轨道的圆心一定是地球的球心.
卫星的正常运行满足“高轨低速大周期”的特点.
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2),m\f(v2,r)→v＝ \r(\f(GM,r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝ \r(\f(4π2r3,GM))))高轨低速大周期
5.万有引力公式中的r是m和M间的距离，向心力中的r是轨道半径，在环绕模型中两者相等，卫星的高度是卫星到中心天体表面的距离，不要把卫星的轨道半径算成是其离地的高度，而是要加上中心天体的半径.
6.三种卫星
1)近地卫星: 在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s
2)地球同步卫星
轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
角速度一定：与地球自转的角速度相同。
高度一定：据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3)极地卫星:运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
7.同步卫星、近地卫星、一般卫星及赤道上的物体的运动比较：注意两两把握联系点——同步卫星与赤道上的物体角速度相等；同步卫星与近地卫星同属卫星模型；近地卫星与赤道上的物体的轨道半径相等；比较赤道上的物体与一般卫星的速度加速度关系，需要将同步卫星补充进来作为一个比较的桥梁；赤道上的物体的运动不能用万有引力提供向心力来分析.
13.(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
【答案】ABD
【解析】
因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝eq \f(GMm,r2)，则b所需向心力最小，A对；由eq \f(GMm,r2)＝mr(eq \f(2π,T))2得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对；由eq \f(GMm,r2)＝man，得an＝eq \f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对．
14.如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是eq \r(2)∶1 B．a、b的周期之比是1∶2eq \r(2)
C．a、b的角速度大小之比是3eq \r(6)∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【答案】C
【解析】
两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向．
由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))＝eq \r(\f(3R,2R))＝eq \r(\f(3,2))，故A错误；
由eq \f(GMm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2得eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(r13,r23))＝eq \f(2,3)eq \r(\f(2,3))，故B错误；
由eq \f(GMm,r2)＝mrω2得eq \f(ω1,ω2)＝eq \r(\f(r23,r13))＝eq \f(3\r(6),4)，故C正确；
由eq \f(GMm,r2)＝man得eq \f(an1,an2)＝eq \f(r22,r12)＝eq \f(9,4)，故D错误．
15.如图所示，有关人造地球卫星轨道的正确说法有( )
A．a、b、c均可能是卫星轨道 B．卫星轨道只可能是a
C．a、b均可能是卫星轨道 D．b可能是同步卫星的轨道
【答案】C
【解析】
人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心是地球的地心，所以凡是人造地球卫星，轨道面必定经过地球中心，所以a、b均可能是卫星轨道，c不可能是卫星轨道，故A、B错误，C正确；同步卫星的轨道必定在赤道平面内，所以b不可能是同步卫星的轨道，故D错误．
16. （2019·全国Ⅲ卷 ）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金A. a金>a地>a火B. a火>a地>a金
C. v地>v火>v金D. v火>v地>v金
【答案】A
【解析】
AB．由万有引力提供向心力可知轨道半径越小,向心加速度越大,故知A项正确，B错误；
CD．由得可知轨道半径越小,运行速率越大,故C、D都错误．
17．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的( )
A．速率变大，周期变小 B．速率变小，周期不变
C．速率变大，周期变大 D．速率变小，周期变小
【答案】A
【解析】
根据Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，故半径减小，速率增大；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故半径减小，周期减小，A正确．
18.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
【答案】D
【解析】
东方红二号卫星是同步卫星，其角速度和赤道上的物体角速度相等，由
及可得；由及r119.有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是( )
A.a的向心加速度大于b的向心加速度
B.四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vd
C.在相同时间内d转过的弧长最长
D.d的运动周期可能是30 h
【答案】D
【解析】
因为a、c的角速度相同，根据a＝ω2r，因a离地心的距离小于c离地心的距离，所以a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，因b的轨道半径小于c的轨道半径，所以b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，知a的速度小于c；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，因b的轨道半径最小，d的轨道半径最大，所以b的速度大于c，c的速度大于d，则vb＞vc＞vd，vb＞vc＞va，故B错误；因b的速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知因d的轨道半径大于c的轨道半径，d的周期大于c，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。
20.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，近地卫星的速度为v2，地球半径为R.则下列关系式正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,R2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R) C.eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r)) D.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r,R)
【答案】BC
【解析】
因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，根据公式a＝ω2r，则有eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)，故A错误，B正确；对于地球同步卫星和近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到meq \f(v2,r)＝eq \f(GM,r2)m，所以eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))，故C正确，D错误．