2021年辽宁省沈阳市中考数学真题（word版，含答案）

2021年辽宁省沈阳市中考数学试题

考试时间120分钟，满分120分

一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分）

1.  9的相反数是

A.              B.            C. 9               D. -9

2.  如图是由6个相同小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图

A.        B.        C.          D.

3.  据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据3270000用科学计数法表示为

A. 32.7×105       B. 0.327×107       C. 3.27×105       D. 3.27×106 

4.  下列计算正确的是

A.     B.    C.    D.

5.  如图，直线，被直线所截，若，∠1=70°，则∠2的度数是

A. 70°            B. 100°         C. 110°          D. 120°

6.  信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是

A. 众数是17     B. 众数是15     C. 中位数是17    D. 中位数是18

7.  如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，

则△ABC与△A1B1C1的周长比是

A. 1:2            B. 1:3              C. 1:4             D.

8.  一次函数的图象不经过

A. 第一象限        B. 第二象限      C. 第三象限        D. 第四象限

9.  下列说法正确的是

A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D. 若平均数相同的甲，乙两组数据，，则甲组数据更稳定

10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=，∠ACB=60°，连结OA，OB，则的长是

A.          B.          C.         D.

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式：=________

12. 不等式组的解集是________

13. 化简：=________

14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过A分别作AM⊥轴于点M，AN⊥轴于点N，若四边形AMON的面积为12，则的值是________

15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件。经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销量相应减少4件，那么将销售价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大

16. 如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD=1，P是线段DE上一点，且PD=DE，过点P作直线与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是________

三、解答题（共82分）

17.（本题6分）

计算：

18.（本题8分）

如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM=BC，DN=DC，连结AM，AN，延长AN交线段BC的延长线于点E。

（1）求证：△ABM≌△AND；

（2）若AD=4，则ME的长是________。

19.（本题8分）

某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A、B、C依次表示这三种型号），小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同。

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。

20.（本题8分）

学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中一共抽取了________名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是________度；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少学生的成绩评定为C等级。

21.（本题8分）

某校团体操表演队有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

22.（本题10分）

如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合），连结DE交⊙O于点C，连结CA，CB。若CA=CD，∠ABC=∠D，

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AB=13，CA=CD=5，则AD的长是________。

23.（本题10分）

如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线（≠0）经过点C（3，6），与轴交于点A，与轴交于点B。线段CD平行于轴，交直线于点D，连结OC，AD。

（1）填空：=________，点A的坐标是（____，____）；

（2）求证：四边形OADC是平行四边形；

（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止。设两个点的运动时间均为秒，

①当时，△CPQ的面积是________；

②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时的值。

24.（本题12分）

在△ABC中，AB=AC，△CDE中，CE=CD（CE≥CA），BC=CD，∠D=，

∠ACB+∠ECD=180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD。

（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD=________，∠ABP=________（用含的代数式表示）；

（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；

（3）若∠ABC=60°，BC=，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，

当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD的中点，请直接写出GM的长。

25.（本题12分）

如图，面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0），抛物线与轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连结PC。

（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；

（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点，

①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在轴上方时，过点Q作直线垂直于AQ，直线交直线于点F，点G在直线上，且AG=AQ时，请直接写出GF的长。

2021辽宁沈阳中考数学试题参考解答

一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分）

二、填空题

提示：16. 如图，KM==，

AN=AC-NC==，，

GN=，HN==，

GH=GN±HN=。

点D有可能在BC边上，也可能在BC的延长线上。

三、解答题

17. 

==

18. 解：（1）菱形ABCD中，∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，

而BM=BC，DN=DC，∴BM=DN，

△ABM和△ADN中，∵AB=AD，∠B=∠D，BM=DN，

∴△ABM≌△ADN（SAS）；

（2）当AD=4时，BM=DN=DC=×4=3，则MC=NC=1，

∵AD∥CE，∴△ECN∽△ADN，∴，∴EC=AD=，

∴ME=MC+EC=。

19.（1）；

（2）如下表：

由表知：他们选择同一型号的概率为。

20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；

（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；

（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；

（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，

以此估计全校2000人中评为C的可能有

2000×30%=600，即可能有600人。

21. 解：设增加了行，则共有（）行，（）列，

根据题意：， ，

∵，∴，

答：增加了3列。

22.  提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；

DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，

所以∠1+∠2=90°，所以AD是切线；

（2）勾股定理求出BC=12，

作CG⊥AD，△ACG与△BAC相似，对应边成比例，

则AG=，则AD=2AG=。

23.（1）直线过点C（3，6），那么，∴，

直线与轴的交点为A（5，0）；

（2）∵CD∥OA，而点C纵坐标为6，∴设D（，6），

∵直线过点D（，6），∴，

则D（8，6），CD=5，

而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，

∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；

（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为，

S□OADC=OA·=5×6=30，则S△COD=S□OADC=15，

分别作点C，D到轴的垂线段CE和DF，则E（3，0），F（8，0），CE=DF=6，

AE=2，OF=8，在Rt△ACE和Rt△ODF中，分别求得AC=，OD=10；

①当时，OP=DQ=1，PQ=OD-OP-DQ=10-1-1=8，

S△CPQ==；

②记OD和AC的交点为G，则OD和AC互相平分于点G，

而OP=DQ，∴GP=GQ，∴四边形CPAQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

当□CPAQ是矩形时，只要PQ=AC=，

∵OP=DQ=（0≤≤10），∴PQ=|OP+DQ-OD|=，

，也就是，或

∴，（均满足0≤≤10）。

24.（1）点D在线段BC延长线上，则∠ECD=180°-2，

∠ABC=∠ACB=∠E+∠D=2∠D=，∠PBD=∠D=，

则当点A和E在BD同侧时，∠ABP=，

则当点A和E在BD异侧时，∠ABP=3；

（2）如图2，∵CE=CD，∴∠E=∠1=，

△DEC中，∠ECD与∠E+∠1互补，即∠ECD+2=180°，

另一方面，∠ACB+∠ECD=180°，∴∠ACB=2，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2；

连结BD，∵CB=CD，PB=PD，

∴点C，P都在线段BD的垂直平分线上，

∴直线PC就是线段BD的中垂线，

∴点B，D关于直线PC对称，

又∵P和C都在直线PC上，∴BC和DC，BP和DP，它们关于直线PC对称，

则△PBC与△PDC关于直线PC对称，∴∠2=∠1=，

∴∠3=∠ABC-∠2=2-=，则∠3=∠2，∴BP平分∠ABC；

（3）∠ABC=60°时，△ABC为等边三角形，

BP⊥DE，PB=PD，△BPD是等腰直角三角形，

由（2），直线PC是线段BD的中垂线，则点G是BD的中点，且PG平分∠BPD，∴∠BPC=45°，

记BP与AC的交点为H，

由（2），BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，

则△PCH是等腰直角三角形，PH=CH=AC=，

BH=BC=， BP=BH+PH=+=，

∴GM=BP=

25. （1）∵抛物线与轴交于点C（0，3），∴，

而点B（3，0）在抛物线上，∴，

∴所求抛物线为，或者，∴P（1，4）；

（2）求得直线BC：，其与抛物线对称轴的交点为D（1，2），

则PD=2，点C到PD的距离为1，∴S△PCD=1，

记点Q（，），则点Q到轴的距离为，

求得A（-1，0），则AB=4， ∵S△QAB=2 S△PCD=2，也就是，

∴=1， ∴，而Q（，）在直线上，

∴Q1（2，1），Q2（4，-1）①；

②如图，点Q在轴上方时，QH=1，AH=3，

则AQ=；

AQ∥GF，四边形AKFQ是矩形，

GF=KF±GK=±GK，

M（0，），N（0，），MN=；

Rt△MNR∽Rt△AQH，，

，AK=MR=，

Rt△AGK中，AG=AQ=，GK2=AQ2-AK2=10-=

GK=，则GF=，

∴GF的长是，。