课时跟踪训练 （九） 简谐运动的回复力和能量

课时跟踪训练（九）  简谐运动的回复力和能量

A级—双基达标

1．下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)

A．回复力是指使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供

B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力

C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移的方向相同

D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反

解析：选B　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，可以是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，故A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，故D错误。

2．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时，受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　　)

A．20 m/s2，向右  B．20 m/s2，向左

C．40 m/s2，向右  D．40 m/s2，向左

解析：选D　加速度方向指向平衡位置，因此在平衡位置右侧40 cm时，加速度方向向左。由力和位移的大小关系可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，则加速度a＝＝40 m/s2，D正确。

3．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内(　　)

A．振子的速度逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子正在向平衡位置运动

D．振子的速度方向与加速度方向一致

解析：选B　振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度逐渐增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误。

4．如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)

A．在t＝0.1 s时，由于位移为0，所以振动能量为0

B．在t＝0.2 s时，振子具有最大势能

C．在t＝0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值

D．在t＝0.4 s时，振子的动能最大

解析：选B　弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，振幅不变，A错；在t＝0.2 s时位移最大，振子具有最大势能，B对；弹簧振子的振动能量不变，在t＝0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，C错；在t＝0.4 s时振子的位移最大，动能为0，D错。

5．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(　　)

解析：选A　根据简谐运动的特征：a＝－，可知，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度，则此时振子的位移为负向最大，计时起点时，振子处在平衡位置，故A正确。

6．[多选]一质点做简谐运动的振动方程是x＝2sincm，则(　　)

A．在0～0.02 s内，速度与加速度方向始终相同

B．在t＝0.02 s时，质点具有正向最大加速度

C．在t＝0.025 s时，质点的速度方向与加速度方向均沿x轴正方向

D．在t＝0.04 s时，回复力最大，速度方向沿x轴负方向

解析：选BC　简谐运动的振动方程x＝Asin(ωt＋φ0)，对比题干信息可知，圆频率为ω＝50π rad/s，则周期为T＝＝0.04 s。t＝0时，x＝2 cm，t＝0.02 s＝，则在0～0.02 s内，质点从一侧最大位移处运动到另一侧最大位移处，速度与加速度方向先相同后相反，A选项错误；在t＝0.02 s时，x＝－2 cm，位移为负向最大，根据加速度与位移的关系可知，在t＝0.02 s时，质点具有正向最大加速度，B选项正确；因t＝0.025 s＝0.625T，则质点正从负向最大位移处向平衡位置靠近，质点的速度方向与加速度方向均沿x轴正方向，C选项正确；在t＝0.04 s＝T时，质点回到正向最大位移处，回复力最大，速度为0，D选项错误。

7.[多选]如图所示的弹簧振子在做简谐运动，O为平衡位置，A、B为最大位移处，下列说法正确的是(　　)

A．振子在O点时，弹性势能最小

B．振子在A、B两点时，弹性势能相等

C．振子在O点时，弹性势能与重力势能之和最小

D．振子在A、B两点时，弹性势能与重力势能之和相等

解析：选CD　弹簧不形变时弹性势能最小，而平衡位置处弹簧已形变，故A错误；在B处弹簧形变量最大，故弹性势能最大，B错误；振子在O点时动能最大，由机械能守恒知势能最小，故C正确；振子在A、B两点的动能均为0，故势能相等，D正确。

8．[多选]如图所示，两长方体木块甲和乙叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，甲与乙之间的最大静摩擦力为f，乙与劲度系数为k的水平轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使甲和乙在振动过程中不发生相对滑动，则(　　)

A．它们的最大加速度不能大于

B．它们的最大加速度不能大于

C．它们的振幅不能大于f

D．它们的振幅不能大于f

解析：选AD　当甲和乙在振动过程中恰好不发生相对滑动时，甲、乙间静摩擦力达到最大。此时甲、乙到达最大位移处。根据牛顿第二定律得：以甲为研究对象：最大加速度a＝，以整体为研究对象：kA＝(M＋m)a，联立两式得，最大振幅A＝，故选项A、D正确。

9.如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将滑块从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，静止释放后滑块在A、B间滑动，则：

(1)滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块加速度多大？

(2)滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)

解析：(1)由于简谐运动的加速度a＝＝－x，故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点，加速度大小a＝x＝×0.05 m/s2＝24 m/s2。

(2)在平衡位置O点滑块的速度最大。

根据机械能守恒，有Epm＝mv，

故vm＝＝ m/s≈1.1 m/s。

答案：(1)A点或B点　24 m/s2　(2)O点　1.1 m/s

B级—选考提能

10．如图所示，质量为M的物块钩在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在B、C间做简谐运动，振幅为A。在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面，第二次是当M运动到最大位移处C处时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则(　　)

A．A1＝A2＝A  B．A1<A2＝A

C．A1＝A2<A  D．A2<A1＝A

解析：选B　振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能不变，故振幅不变，即A2＝A；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为0，放上小物块后，系统的机械能减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能总量减小，故弹簧的最大伸长(压缩)量减小，即振幅减小，所以A1<A，故A1<A2＝A，B正确。

11.如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态。现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时(　　)

A．压力传感器的读数是0

B．压力传感器的读数是mg

C．压力传感器的读数是2mg

D．压力传感器的读数是mg

解析：选D　设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对A列平衡方程：mg＝kx0①

施加力F后，A的平衡方程为

F＋mg＝k(x＋x0)②

又由于F＝mg③

由①②③得kx＝mg，撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力F回＝k(x＋x0)－mg＝kx

当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，可见物块A所受弹簧弹力恰好为0，以物块B为研究对象，受力分析知压力传感器对物块B的支持力为mg，故压力传感器的读数是mg，故选项D正确。

12.如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g。

(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；

(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

(3)求弹簧的最大伸长量。

解析：(1)物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力作用。处于三力平衡状态，根据平衡条件可知，kΔx＝mgsin α

弹簧的伸长量Δx＝

弹簧长度L′＝L＋Δx＝L＋。

(2)根据简谐运动的动力学特征可知，回复力满足F＝－kx

设物块相对于平衡位置的位移为x，取沿斜面向下为正方向，建立x轴，原点在平衡位置。

此时弹簧伸长量为x＋Δx

合力提供回复力，F合＝mgsin α－k(x＋Δx)

其中kΔx＝mgsin α

联立以上各式可得，F合＝－kx

则物块做简谐运动。

(3)根据简谐运动的对称性，压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放。

开始时的压缩量为L，振幅A＝＋Δx＝＋

其最大伸长量x＝A＋Δx＝＋＋＝＋

答案：(1)L＋　(2)见解析　(3)＋