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2.3 简谐运动的回复力和能量高二物理同步精品讲义（人教版选择性必修第一册）（教师版）
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这是一份2.3 简谐运动的回复力和能量高二物理同步精品讲义（人教版选择性必修第一册）（教师版），共27页。
2.3 简谐运动的回复力和能量
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课程标准
课标解读
1.通过实例分析，理解回复力的概念及性质。
2.通过对弹簧振子模型的分析，理解简谐运动的规律(位移、回复力、加速度、速度的变化规律)。
3.通过阅读教材内容，能够定性说明简谐运动的能量转化。
1.掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念
2.知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况.
3.理解简谐运动在一次全振动过程中，位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．
知识精讲
知识点01 回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．
(2)方向：指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．
【即学即练1】(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )
A． 简谐运动的回复力不可能是恒力
B． 做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C． 简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D． 做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
【答案】AB
【解析】根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
知识点02 简谐运动的能量
水平弹簧振子，振子在A、B之间做往复运动，在一个周期内振子的能量表：
过程
弹力做功(正、负)
能量转化
说明
A→O
正功
弹性势能转化为动能
不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒
O→B
负功
动能转化为弹性势能
B→O
正功
弹性势能转化为动能
O→A
负功
动能转化为弹性势能
【即学即练2】(多选)做简谐运动的物体向平衡位置运动时，速度越来越大的原因是( )
A． 回复力对物体做了正功
B． 物体惯性的作用
C． 物体的加速度与速度同向
D． 物体的势能转变为动能
【答案】ACD
【解析】速度越来越大的原因是回复力与物体的运动方向一致，回复力使物体产生的加速度与速度方向相同，对物体做了正功，物体的势能转化为动能，但总能量保持不变，与物体的惯性无关，本题选A、C、D.能力拓展
考法01研究简谐运动的能量
1．弹簧振子在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化，经过平衡位置时，动能最大，势能最小，经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
2．弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒，所以振幅保持不变．
3．简谐运动忽略阻力造成的损耗，即没有能量损失，因此简谐运动是一种理想化的振动状态．
【典例1】(多选)如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中( )
A． 物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B． 弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C． 弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D． 物体的最大动能应等于mgA
【答案】AC
【解析】物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，F－mg＝ma，a＝g，故F＝2mg，A正确；根据物体和弹簧总的机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变，B错误；物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg×2A＝2mgA，C正确；当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep′不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek＝mgA－Ep′，即Ek小于mgA，D错误．
考法02简谐运动中各物理量的变化规律
1．简谐运动中，位移、回复力、加速度三者的变化周期相同，变化趋势相同，均与速度的变化趋势相反，平衡位置是位移、回复力和加速度方向变化的转折点．
2．最大位移处是速度方向变化的转折点．
3．在一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化．
水平弹簧振子在A、B之间做往复运动，振子的运动情况表．
振子的运动
位移
加速度(回复力)
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→A
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
A
最大
最大
0
0
最大
A→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
【典例1】(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A． 物体在0.2 s时刻与0.4 s时刻的速度相同
B． 物体在0.6 s时刻与0.4 s时刻的速度方向相反
C． 0.7 s～0.9 s时间内物体的加速度在减小
D． 0.9 s～1.1 s时间内物体的速度减小
【答案】AB
【解析】物体在0.2 s时刻与0.4 s时刻的速度相同，A项正确；物体在0.6 s时刻与0.4 s时刻的运动方向相反，B项正确；0.7 s～0.9 s时间内正在远离平衡位置，所以速度减小，加速度增大，C项错误；0.9 s～1.1 s时间内靠近平衡位置，速度增大，加速度减小，D项错误．所以A、B正确．分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．对于做简谐振动的物体下列说法错误的是（ ）
A．加速度变小时，速度变大 B．速度变小时，位移变大
C．位移变小时，回复力变大 D．回复力变小时，速度变大
【答案】C
【解析】A．简谐运动的物体，加速度变小则说明位移变小，物体正在靠近平衡位置，平衡位置处速度最大，则物体速度变大，A正确；
B．简谐运动的物体，速度变小，说明物体在远离平衡位置，则物体的位移变大，B正确；
C．由回复力公式可知，位移变小则回复力变小 ，C错误；
D．回复力变小时，则位移减小，位移减小物体正在靠近平衡位置，则速度变大，D正确。
故选C。
2．关于物体的简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．位移减小时，加速度和速度都一定减小
B．位移方向可能与速度方向相反
C．回复力方向总是与加速度方向相反
D．回复力逐渐增大，速度一定增大
【答案】B
【解析】A．位移减小时，恢复力减小，加速度减小，但速度增大，故A错误；
B．物体从最大位移处向平衡位置运动的过程中，位移方向和速度方向相反，故B正确；
C．根据牛顿第二定律，回复力方向总是与加速度方向相同，故C错误；
D．回复力逐渐增大，说明物体在向最大位移处运动，则速度逐渐减小，故D错误。
故选B。
3．做简谐振动的物体，当振子的位移为负值时，以下说法中正确的是（ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为正值，但加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，但加速度一定为负值
【答案】C
【解析】由加速度与位移关系
可知，加速度一定为正值，此时可能靠近平衡位置，可能远离平衡位置，故速度可能正值、可能负值，C正确。
故选C。
4．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （ ）
A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B．时，弹簧振子的位移为
C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
【答案】D
【解析】A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误；
B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误；
C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；
D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
故选D。
5．一个小球与弹簧连接套在光滑水平细杆上，在间做简谐运动，点为的中点。以点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所示。下列结论正确的是（ ）
A．小球振动的频率是
B．时，小球在位置
C．小球在通过位置时，速度最大
D．如果小球的振幅增大，则振动周期也增大
【答案】C
【解析】A．由图可知，小球振动的频率为
A错误；
B．时，小球在负向最大位移处，则小球在A位置，B错误；
C．小球在通过位置时，加速度为零，因此速度最大，C正确；
D．小球振动的周期与振幅无关，D错误；
故选C。
6．某弹簧振子简谐运动图像如图所示，t1~t2时间内振子（ ）
A．速度增大
B．加速度增大
C．回复力增大
D．机械能增大
【答案】A
【解析】由图可知，在t1~t2时间内振子从正向最大位移向平衡位置运动，故速度增大，加速度和回复力减小，机械能不变。
故选A。
7．如图所示，弹簧振子在B、C两点间做机械振动，O为平衡位置，A为间的一点，则（ ）
A．振子在位置B、C时的速度最大 B．振子从B向O运动时加速度逐渐增大
C．振子经过位置O时动能最大 D．振子每次经过位置A时速度都相等
【答案】C
【解析】A．振子在位置B、C时的速度为零，加速度最大，故A错误；
B．从B向O运动时弹簧弹力减小，加速度减小，故B错误；
C．振子经过位置O时加速度为零，速度最大，动能最大，故C正确；
D．振子每次经过位置A时速度大小相等，方向不同，故D错误。
故选C。
8．某一个在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，其位移x与时间t的关系曲线如图所示．若规定向下为正方向，则
A．振子的振幅为5m
B．振子的振动频率为5Hz
C．第2s末振子的速度最大，并且方向竖直向下
D．第5s末振子的加速度最大，弹簧的弹性势能最大
【答案】D
【解析】质点的振幅等于振子位移的最大值，由图读出，振幅为 A=5cm，故A错误；由图知，振子的周期 T=4s，则频率为 f=1/T=0.25Hz，故B错误；第2s末振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，由斜率表示速度，知此时振子的速度为负，说明速度方向竖直向上．故C错误；第5s末振子的位移最大，由a=-kx/m知加速度最大，弹簧的形变量最大，其弹性势能最大，故D正确．
故选D．
点睛：本题简谐运动的图象能直接读出振幅和周期．对于质点的速度方向，可以根据斜率读出．速度大小可根据质点的位移确定．
二、多选题
9．关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的是（ ）
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程
【答案】AD
【解析】A．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，选项A正确；
B．回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，选项B错误；
C．一次全振动，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，选项C错误；
D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，选项D正确。
故选AD。
10．弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，把小钢球从平衡位置向左拉一段距离，放手让其运动，从小钢球第一次通过平衡位置时开始计时，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在t0时刻弹簧的形变量为4 cm
B．钢球振动半个周期，回复力做功为零
C．钢球振动一个周期，通过的路程等于10 cm
D．钢球振动方程为y＝5sin πt cm
【答案】ABD
【解析】A．弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，位于平衡位置时弹簧的形变量为零，由图知t0时刻在平衡位置的右侧距离平衡位置为4cm处，则弹簧的形变量等于4cm，故A正确；
B．经过半个周期后，振子的速度大小相等，动能变化为零，根据动能定理知回复力做功为零，故B正确；
C．钢球振动一个周期，通过的路程
s＝4A＝4×5 cm＝20 cm
故C错误；
D．由振动图像可以看出钢球的振动周期T＝2s，振幅A＝5cm，角频率
ω＝＝πrad/s
则钢球振动方程为
y＝A sin ωt＝5sinπt cm
故D正确。
故选ABD。
11．振子在振动过程中有以下说法，其中正确的是（ ）
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【答案】ABD
【解析】B．振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，故B正确；
D．在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，故D正确；
A．到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，故A正确；
C．振幅的大小与振子所处的位置无关，故C错误。
故选ABD。
12．关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（ ）
A．等于在平衡位置时振子的动能
B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能
C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和
D．位移越大振动能量也越大
【答案】ABC
【解析】A．由于平衡位置的弹性势能为零，所以总能量就等于平衡位置的动能。故A正确；
B．在最大位移处，动能全部转化成弹性势能。故B正确；
CD．简谐运动过程中机械能守恒，振子动能与弹簧弹性势能之和。故C正确；D错误。
故选ABC。
13．如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
【答案】CD
【解析】A．振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，故A错误；
B．振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，故B错误；
CD．振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故CD正确。
故选CD。
三、填空题
14．如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________。（均选填“正”“负”“增大”或“减小”）
【答案】正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
【解析】[1][2]由题意，振子从B运动到O的过程中，振子位于平衡位置右侧，且到O的距离越来越近，所以位移方向为正，大小逐渐减小。
[3][4]振子所受回复力由弹簧弹力提供，方向为负，且由于弹簧伸长量减小，所以回复力大小逐渐减小。
[5][6]振子速度方向为负，与回复力同向，所以大小逐渐增大。
[7][8]振子动能逐渐增大，势能逐渐减小。
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
B．从A向O运动的过程中速度方向向右，逐渐增大
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．在振动过程中，小球的机械能守恒
【答案】B
【解析】A．弹簧振子定受到重力，杆对球有向上的支持力，弹簧对小球有弹力，提供回复力，A错误；
B．从A向O运动的过程中速度方向向右，弹簧对小球的弹力向右，小球做加速运动，B正确；
C．简谐运动的回复力F = - kx，振子由A向O运动过程中，位移减小，回复力减小，C错误；
D．在振动过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，D错误。
故选B。
2．如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k=10N/m，振子的质量为0.5kg，白纸移动速度为2m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep=ky2，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（ ）
A．该弹簧振子的振幅为1m
B．该弹簧振子的周期为2s
C．该弹簧振子的最大加速度为10m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2m/s
【答案】C
【解析】A．该弹簧振子的振幅为0.5m，选项A错误；
B．该弹簧振子的周期为
选项B错误；
C．该弹簧振子的最大加速度为
选项C正确；
D．由能量关系可知
可得该弹簧振子的最大速度为
选项D错误。
故选C。
3．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么（ ）
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球和弹簧组成的系统的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
【答案】A
【解析】D．小球运动过程中，电场力和弹簧弹力都要做功，故对于弹簧和小球组成的系统，电势能和弹性势能以及动能的总量守恒，故D错误；
B．小球做简谐运动，振幅等于偏离平衡位置的最大距离，在平衡位置，有
解得振幅
故B错误；
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为2倍振幅，即
故A正确；
C．小球运动过程中有电场力做功，系统机械能不守恒，故C错误。
故选A。
4．一列简谐横波沿直线由质点a向质点b传播，a、b两质点平衡位置之间的距离为10．5 m，其振动图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．质点a的振动方程为
B．该波的波长可能是8．4m
C．该波的波速可能是10．5m/s
D．该波由a传到b所经历的时间可能是7s
【答案】D
【解析】试题分析：由图可知，则质点a的振动方程为，选项A错误；设ab距离为x．由图象知，t=0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形，得到，（n=0，1，2，、）得，可知8．4 m不是波长的可能值，选项B错误；波速，因n是整数，v不可能等于10．5m/s．故C错误．周期T=4s，由a传播到b的时间，n为整数，则该波由a传到b所经历的时间可能是7 s，故选项D正确．故选D．
考点：机械波的传播
5．如图所示为某弹簧振子在0~5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（ ）
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为负
C．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
【答案】D
【解析】A．振幅是位移的最大值的大小，故振幅为8 cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4 s，故A错误；
B．第2 s末振子的速度为零，故B错误；
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，振子做减速运动，故C错误；
D．第3 s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大，且方向为正，故D正确。
故选D。
6．钓鱼可以修身养性、陶冶情操，有助于提高人们的生活乐趣，而鱼漂是钓具里面必不可少的。某鱼漂的示意图如图所示、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。某鱼咬钩后将鱼漂向下拉了一下，使点到达水面，但鱼随后脱钩，鱼漂便上下运动，上升到最高处时，点到达水面。假设水面静止，鱼漂在、间的横截面积不变不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．鱼漂的上下运动不一定是简谐运动
B．点过水面时，鱼漂有向下方向的最大加速度
C．点到达水面时，鱼漂具有向上的最大位移
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
【答案】B
【解析】A．鱼漂在O位置时，受到重力等于浮力，合力为0，处于平衡，当鱼漂位移为x时，受到的合外力为
所以，鱼漂的上下运动是简谐运动，A错误；
B．鱼漂运动是简谐运动，点N过水面时，合力向下指向平衡位置，有向下方向的最大加速度，B正确；
C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的最大位移，C错误；
D．鱼漂由下往上运动时，速度先增大再减小，D错误；
故选B。
7．如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（ ）
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
【答案】D
【解析】物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐振动所需的回复力，由
可知，摩擦力随时间变化，其大小和方向都变化，故D正确，ABC错误。
故选D。
8．如图所示，质量为m1的物体A置于质量为m2的物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。则下列说法正确的是（ ）
A．A的运动不是简谐运动，B是简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．当振幅为A时，A的静摩擦力大小为kA
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功
【答案】B
【解析】A．以AB为系统，其合外力为
x是弹簧的形变量，所以两物体均做简谐运动。A错误；
B．对整体由牛顿第二定律得
对A，有
联立解得
B正确；
C．由选项B可知，当振幅为A时，A的静摩擦力大小为
C错误；
D．当A远离平衡位置时，B对A的静摩擦力做负功，当A靠近平衡位置时，B对A的静摩擦力做正功。D错误。
故选B。
二、多选题
9．如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（ ）
A．0时刻弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．时间段，回复力冲量为0
D．时间段，小球动能与重力势能之和减小
【答案】AD
【解析】AB．取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，而时刻弹簧弹力为0，位移为，有
可得劲度系数为
0时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为，则弹力为
故A正确，B错误；
C．时间段，振子从平衡位置沿负方向振动回到平衡位置，回复力一直沿正向，由可知回复力冲量不为0，故C错误；
D．时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和减小，故D正确；
故选AD。
10．如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O点对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法不正确的是（ ）
A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置
B．小球从B点运动到A点的过程中，动能一定先增大后减小
C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点
D．小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量
【答案】AB
【解析】AC．小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设该电场力大小为F0，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，设O1、O点的间距为x0，弹簧劲度系数为k，则
取水平向右为正方向，当小球从O1点向右运动的位移为x时，回复力
所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，A错误C正确；
B．因为不知道A点与平衡位置O1点的位置关系，所以不能确定小球从B运动到A的过程中，动能如何变化，B错误；
D．小球做简谐运动的过程中，小球的动能和电势能及弹簧的弹性势能之和守恒，小球从B点运动到A点，弹簧的弹性势能不变，所以小球动能的增加量一定等于电势能的减少量，D正确。
故选AB。
11．一弹簧振子做简谐运动时的振动图象如图所示，由图象可知（ ）
A．振子运动的周期为2s B．第1.5s末振子位移为正
C．在第2s末，振子的速度的方向为负 D．在第3s末，振子的加速度最小
【答案】BC
【解析】A．由图知，振子运动的周期为T=4s。故A错误；
B．第1.5s末振子位移为正，故B正确；
C．在第2s末，振子的位移为0，说明振子经过平衡位置，向负方向振动，故C正确；
D．在第3s末，振子到达最大位移处，其加速度最大。故D错误。
故选BC。
12．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在A、两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．时，振子的速度方向向左
B．时，振子在点右侧处
C．到的时间内，振子的速度逐渐增大
D．到的时间内，振子的加速度逐渐增大
【答案】ACD
【解析】A．由图可知，时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，故A正确；
B．时，振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，应在O点右侧大于6cm处，故B错误；
C．到的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，故C正确；
D．到的时间内，振子远离平衡位置运动，加速度逐渐增大，故D正确。
故选ACD。
13．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化图象如图乙所示。下列判断正确的是（ ）
A．时，振子的速度方向向右
B．振子做简谐运动的表达式为
C．和时，振子的加速度大小相同，方向相反
D．从到的时间内，振子的速度先增大后减小
【答案】BD
【解析】A．时，振子位移为正并且在减小，所以振子的速度方向向左。A错误；
B．振子的角速度为
振子做简谐运动的表达式为
B正确；
C．由振动图像可知，和时振子的位移的大小不相等，所以加速度大小不相等。C错误；
D．由图像可知，从到的时间内，振子由正向最大位移到负向最大位移，所以其速度先增大后减小。D正确。
故选BD。
14．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于重力和浮力的合力
B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒
C．位移满足函数式x＝4sin （cm）
D．在t1~t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大
【答案】ACD
【解析】A．玻璃管振动过程中，受到重力和水的浮力，这两个力的合力充当回复力，故A正确；
B．玻璃管在振动过程中，水的浮力对玻璃管做功，故振动过程中，玻璃管的机械能不守恒，故B错误；
C．由于振动周期为0.5 s，故
ω＝＝4πrad/s
由图乙可知振动位移的函数表达式为
x＝4sin（cm）
故C正确；
D．由图乙可知，t1~t2时间内玻璃管在靠近平衡位置，故位移减小，加速度减小，速度增大，故D正确。
故选ACD。
三、解答题
15．如图所示，一个轻质弹簧与一个质量为m=0.2 kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k=50 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向左压缩0.2m到B点，此时外力对弹簧振子做功为10 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
（1）振子在A点的位移大小。
（2）振子在A点的加速度大小。
（3）振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
【答案】(1)0.2m；(2)50m/s2；(3)O，10m/s
【解析】(1)振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，OA=OB=0.2m，所以振子在A点位移大小是0.2m。
(2)在A点，弹簧弹力为
由牛顿第二定律可知，振子在A点的加速度大小为
(3)振子在平衡位置时，弹簧势能为零，振子动能最大，速度最大，因此在O点速度最大，由功能关系、机械能守恒得
，
解得
16．如图所示，轻弹簧的下端系着AB两球，，系统静止时弹簧伸长，未超出弹性限度。若剪断AB间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动。求：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)的振幅多大。
(3)球的最大加速度多大。（取）
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)挂AB两球时有
解得
(2)剪断AB间细绳后，球平衡时由
可得，弹簧的伸长量为
刚剪断细绳时弹簧比球平衡时多伸长的长度就是振幅，即
(3)振动中球的最大加速度
17．如图所示，一个质量为2 kg的可视为质点的小球穿在光滑的水平杆上，并和一个轻质弹簧相连组成弹簧振子，小球做简谐振动的位移与时间的关系为，式中时间t的单位为s，位移x单位为cm。
(1)求弹簧振子振动的周期、频率、振幅。
(2)若弹簧振子振动的过程中受到的最大回复力为1.6 N，求弹簧的劲度系数。
【答案】(1)0.5s，2Hz，8cm；(2)20 N/m
【解析】(1)由振动方程可知，弹簧振子振动的周期
T=0.5s
频率
振幅
A=8cm
(2)最大回复力大小
F=kA
则弹簧的劲度系数
k=20N/m
18．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧固定在挡板C上，另一端连接一质量为m物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A处于静止状态。现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B，A将在斜面上做简谐运动，试求：
（1）物体A的振幅；
（2）物体A的最大速度值；
（3）物体B下降到最低点时，细线对物体B的拉力值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）未挂物体B时，设弹簧压缩量为，对于物体A由平衡条件有
解得
挂上B，整体平衡时，设弹簧伸长量为，由平衡条件有：
解得
振幅为
（2）因与相等，故在此过程中弹簧弹性势能改变量
设最大速度为，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒定律得
将、代入得
（3）A运动到最高点时弹簧的伸长量
设此时细绳对B的拉力为，A在最高点时，由牛顿第二定律
B在最低点时，由牛顿第二定律
联立解得
2.3 简谐运动的回复力和能量
目标导航
课程标准
课标解读
1.通过实例分析，理解回复力的概念及性质。
2.通过对弹簧振子模型的分析，理解简谐运动的规律(位移、回复力、加速度、速度的变化规律)。
3.通过阅读教材内容，能够定性说明简谐运动的能量转化。
1.掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念
2.知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况.
3.理解简谐运动在一次全振动过程中，位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况．
知识精讲
知识点01 回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．
(2)方向：指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．
【即学即练1】(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是( )
A． 简谐运动的回复力不可能是恒力
B． 做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C． 简谐运动中回复力的公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D． 做简谐运动的物体每次经过平衡位置合力一定为零
【答案】AB
【解析】根据简谐运动的定义可知，物体做简谐运动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，故A正确，C错误；回复力方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，故B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误．
知识点02 简谐运动的能量
水平弹簧振子，振子在A、B之间做往复运动，在一个周期内振子的能量表：
过程
弹力做功(正、负)
能量转化
说明
A→O
正功
弹性势能转化为动能
不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒
O→B
负功
动能转化为弹性势能
B→O
正功
弹性势能转化为动能
O→A
负功
动能转化为弹性势能
【即学即练2】(多选)做简谐运动的物体向平衡位置运动时，速度越来越大的原因是( )
A． 回复力对物体做了正功
B． 物体惯性的作用
C． 物体的加速度与速度同向
D． 物体的势能转变为动能
【答案】ACD
【解析】速度越来越大的原因是回复力与物体的运动方向一致，回复力使物体产生的加速度与速度方向相同，对物体做了正功，物体的势能转化为动能，但总能量保持不变，与物体的惯性无关，本题选A、C、D.能力拓展
考法01研究简谐运动的能量
1．弹簧振子在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化，经过平衡位置时，动能最大，势能最小，经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
2．弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和势能之和不变，即机械能守恒，所以振幅保持不变．
3．简谐运动忽略阻力造成的损耗，即没有能量损失，因此简谐运动是一种理想化的振动状态．
【典例1】(多选)如图所示，弹簧下端挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则物体在振动过程中( )
A． 物体在最低点时所受的弹力大小应为2mg
B． 弹簧的弹性势能和物体的动能之和不变
C． 弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D． 物体的最大动能应等于mgA
【答案】AC
【解析】物体做简谐运动，最高点和最低点关于平衡位置对称，最高点加速度为g，最低点加速度也为g，方向向上，F－mg＝ma，a＝g，故F＝2mg，A正确；根据物体和弹簧总的机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能之和不变，B错误；物体下落到最低点时，重力势能的减少量全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为Ep＝mg×2A＝2mgA，C正确；当弹簧的弹力等于物体的重力时，物体速度最大，动能最大，此时弹簧处于拉伸状态，弹性势能Ep′不为零，根据系统机械能守恒，可知此时物体的动能为Ek＝mgA－Ep′，即Ek小于mgA，D错误．
考法02简谐运动中各物理量的变化规律
1．简谐运动中，位移、回复力、加速度三者的变化周期相同，变化趋势相同，均与速度的变化趋势相反，平衡位置是位移、回复力和加速度方向变化的转折点．
2．最大位移处是速度方向变化的转折点．
3．在一个周期内，动能和势能完成两次周期性的变化．
水平弹簧振子在A、B之间做往复运动，振子的运动情况表．
振子的运动
位移
加速度(回复力)
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→A
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
A
最大
最大
0
0
最大
A→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
【典例1】(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A． 物体在0.2 s时刻与0.4 s时刻的速度相同
B． 物体在0.6 s时刻与0.4 s时刻的速度方向相反
C． 0.7 s～0.9 s时间内物体的加速度在减小
D． 0.9 s～1.1 s时间内物体的速度减小
【答案】AB
【解析】物体在0.2 s时刻与0.4 s时刻的速度相同，A项正确；物体在0.6 s时刻与0.4 s时刻的运动方向相反，B项正确；0.7 s～0.9 s时间内正在远离平衡位置，所以速度减小，加速度增大，C项错误；0.9 s～1.1 s时间内靠近平衡位置，速度增大，加速度减小，D项错误．所以A、B正确．分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．对于做简谐振动的物体下列说法错误的是（ ）
A．加速度变小时，速度变大 B．速度变小时，位移变大
C．位移变小时，回复力变大 D．回复力变小时，速度变大
【答案】C
【解析】A．简谐运动的物体，加速度变小则说明位移变小，物体正在靠近平衡位置，平衡位置处速度最大，则物体速度变大，A正确；
B．简谐运动的物体，速度变小，说明物体在远离平衡位置，则物体的位移变大，B正确；
C．由回复力公式可知，位移变小则回复力变小 ，C错误；
D．回复力变小时，则位移减小，位移减小物体正在靠近平衡位置，则速度变大，D正确。
故选C。
2．关于物体的简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．位移减小时，加速度和速度都一定减小
B．位移方向可能与速度方向相反
C．回复力方向总是与加速度方向相反
D．回复力逐渐增大，速度一定增大
【答案】B
【解析】A．位移减小时，恢复力减小，加速度减小，但速度增大，故A错误；
B．物体从最大位移处向平衡位置运动的过程中，位移方向和速度方向相反，故B正确；
C．根据牛顿第二定律，回复力方向总是与加速度方向相同，故C错误；
D．回复力逐渐增大，说明物体在向最大位移处运动，则速度逐渐减小，故D错误。
故选B。
3．做简谐振动的物体，当振子的位移为负值时，以下说法中正确的是（ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值
C．速度不一定为正值，但加速度一定为正值
D．速度不一定为负值，但加速度一定为负值
【答案】C
【解析】由加速度与位移关系
可知，加速度一定为正值，此时可能靠近平衡位置，可能远离平衡位置，故速度可能正值、可能负值，C正确。
故选C。
4．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是 （ ）
A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B．时，弹簧振子的位移为
C．从到的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在与两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
【答案】D
【解析】A．回复力是效果力，由弹簧弹力充当，A错误；
B．弹簧振子位移随时间不是均匀变化，B错误；
C．到的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；
D．与两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
故选D。
5．一个小球与弹簧连接套在光滑水平细杆上，在间做简谐运动，点为的中点。以点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所示。下列结论正确的是（ ）
A．小球振动的频率是
B．时，小球在位置
C．小球在通过位置时，速度最大
D．如果小球的振幅增大，则振动周期也增大
【答案】C
【解析】A．由图可知，小球振动的频率为
A错误；
B．时，小球在负向最大位移处，则小球在A位置，B错误；
C．小球在通过位置时，加速度为零，因此速度最大，C正确；
D．小球振动的周期与振幅无关，D错误；
故选C。
6．某弹簧振子简谐运动图像如图所示，t1~t2时间内振子（ ）
A．速度增大
B．加速度增大
C．回复力增大
D．机械能增大
【答案】A
【解析】由图可知，在t1~t2时间内振子从正向最大位移向平衡位置运动，故速度增大，加速度和回复力减小，机械能不变。
故选A。
7．如图所示，弹簧振子在B、C两点间做机械振动，O为平衡位置，A为间的一点，则（ ）
A．振子在位置B、C时的速度最大 B．振子从B向O运动时加速度逐渐增大
C．振子经过位置O时动能最大 D．振子每次经过位置A时速度都相等
【答案】C
【解析】A．振子在位置B、C时的速度为零，加速度最大，故A错误；
B．从B向O运动时弹簧弹力减小，加速度减小，故B错误；
C．振子经过位置O时加速度为零，速度最大，动能最大，故C正确；
D．振子每次经过位置A时速度大小相等，方向不同，故D错误。
故选C。
8．某一个在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，其位移x与时间t的关系曲线如图所示．若规定向下为正方向，则
A．振子的振幅为5m
B．振子的振动频率为5Hz
C．第2s末振子的速度最大，并且方向竖直向下
D．第5s末振子的加速度最大，弹簧的弹性势能最大
【答案】D
【解析】质点的振幅等于振子位移的最大值，由图读出，振幅为 A=5cm，故A错误；由图知，振子的周期 T=4s，则频率为 f=1/T=0.25Hz，故B错误；第2s末振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，由斜率表示速度，知此时振子的速度为负，说明速度方向竖直向上．故C错误；第5s末振子的位移最大，由a=-kx/m知加速度最大，弹簧的形变量最大，其弹性势能最大，故D正确．
故选D．
点睛：本题简谐运动的图象能直接读出振幅和周期．对于质点的速度方向，可以根据斜率读出．速度大小可根据质点的位移确定．
二、多选题
9．关于简谐运动以及做简谐运动的物体完成一次全振动的意义，以下说法正确的是（ ）
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
C．动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程
D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程
【答案】AD
【解析】A．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，选项A正确；
B．回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，选项B错误；
C．一次全振动，动能和势能均会有两次恢复为原来的大小，选项C错误；
D．速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，选项D正确。
故选AD。
10．弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，把小钢球从平衡位置向左拉一段距离，放手让其运动，从小钢球第一次通过平衡位置时开始计时，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在t0时刻弹簧的形变量为4 cm
B．钢球振动半个周期，回复力做功为零
C．钢球振动一个周期，通过的路程等于10 cm
D．钢球振动方程为y＝5sin πt cm
【答案】ABD
【解析】A．弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，位于平衡位置时弹簧的形变量为零，由图知t0时刻在平衡位置的右侧距离平衡位置为4cm处，则弹簧的形变量等于4cm，故A正确；
B．经过半个周期后，振子的速度大小相等，动能变化为零，根据动能定理知回复力做功为零，故B正确；
C．钢球振动一个周期，通过的路程
s＝4A＝4×5 cm＝20 cm
故C错误；
D．由振动图像可以看出钢球的振动周期T＝2s，振幅A＝5cm，角频率
ω＝＝πrad/s
则钢球振动方程为
y＝A sin ωt＝5sinπt cm
故D正确。
故选ABD。
11．振子在振动过程中有以下说法，其中正确的是（ ）
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【答案】ABD
【解析】B．振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，故B正确；
D．在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，故D正确；
A．到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，故A正确；
C．振幅的大小与振子所处的位置无关，故C错误。
故选ABD。
12．关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（ ）
A．等于在平衡位置时振子的动能
B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能
C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和
D．位移越大振动能量也越大
【答案】ABC
【解析】A．由于平衡位置的弹性势能为零，所以总能量就等于平衡位置的动能。故A正确；
B．在最大位移处，动能全部转化成弹性势能。故B正确；
CD．简谐运动过程中机械能守恒，振子动能与弹簧弹性势能之和。故C正确；D错误。
故选ABC。
13．如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
【答案】CD
【解析】A．振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，故A错误；
B．振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，故B错误；
CD．振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故CD正确。
故选CD。
三、填空题
14．如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________。（均选填“正”“负”“增大”或“减小”）
【答案】正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
【解析】[1][2]由题意，振子从B运动到O的过程中，振子位于平衡位置右侧，且到O的距离越来越近，所以位移方向为正，大小逐渐减小。
[3][4]振子所受回复力由弹簧弹力提供，方向为负，且由于弹簧伸长量减小，所以回复力大小逐渐减小。
[5][6]振子速度方向为负，与回复力同向，所以大小逐渐增大。
[7][8]振子动能逐渐增大，势能逐渐减小。
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
B．从A向O运动的过程中速度方向向右，逐渐增大
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．在振动过程中，小球的机械能守恒
【答案】B
【解析】A．弹簧振子定受到重力，杆对球有向上的支持力，弹簧对小球有弹力，提供回复力，A错误；
B．从A向O运动的过程中速度方向向右，弹簧对小球的弹力向右，小球做加速运动，B正确；
C．简谐运动的回复力F = - kx，振子由A向O运动过程中，位移减小，回复力减小，C错误；
D．在振动过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，D错误。
故选B。
2．如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k=10N/m，振子的质量为0.5kg，白纸移动速度为2m/s，弹簧弹性势能的表达式Ep=ky2，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（ ）
A．该弹簧振子的振幅为1m
B．该弹簧振子的周期为2s
C．该弹簧振子的最大加速度为10m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2m/s
【答案】C
【解析】A．该弹簧振子的振幅为0.5m，选项A错误；
B．该弹簧振子的周期为
选项B错误；
C．该弹簧振子的最大加速度为
选项C正确；
D．由能量关系可知
可得该弹簧振子的最大速度为
选项D错误。
故选C。
3．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m、带电荷量为的小球相连，静止在光滑、绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动．那么（ ）
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球和弹簧组成的系统的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
【答案】A
【解析】D．小球运动过程中，电场力和弹簧弹力都要做功，故对于弹簧和小球组成的系统，电势能和弹性势能以及动能的总量守恒，故D错误；
B．小球做简谐运动，振幅等于偏离平衡位置的最大距离，在平衡位置，有
解得振幅
故B错误；
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为2倍振幅，即
故A正确；
C．小球运动过程中有电场力做功，系统机械能不守恒，故C错误。
故选A。
4．一列简谐横波沿直线由质点a向质点b传播，a、b两质点平衡位置之间的距离为10．5 m，其振动图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．质点a的振动方程为
B．该波的波长可能是8．4m
C．该波的波速可能是10．5m/s
D．该波由a传到b所经历的时间可能是7s
【答案】D
【解析】试题分析：由图可知，则质点a的振动方程为，选项A错误；设ab距离为x．由图象知，t=0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形，得到，（n=0，1，2，、）得，可知8．4 m不是波长的可能值，选项B错误；波速，因n是整数，v不可能等于10．5m/s．故C错误．周期T=4s，由a传播到b的时间，n为整数，则该波由a传到b所经历的时间可能是7 s，故选项D正确．故选D．
考点：机械波的传播
5．如图所示为某弹簧振子在0~5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（ ）
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为负
C．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
【答案】D
【解析】A．振幅是位移的最大值的大小，故振幅为8 cm，而周期是完成一次全振动的时间，振动周期为4 s，故A错误；
B．第2 s末振子的速度为零，故B错误；
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移逐渐增大，速度逐渐减小，振子做减速运动，故C错误；
D．第3 s末振子的位移为零，经过平衡位置，故速度最大，且方向为正，故D正确。
故选D。
6．钓鱼可以修身养性、陶冶情操，有助于提高人们的生活乐趣，而鱼漂是钓具里面必不可少的。某鱼漂的示意图如图所示、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。某鱼咬钩后将鱼漂向下拉了一下，使点到达水面，但鱼随后脱钩，鱼漂便上下运动，上升到最高处时，点到达水面。假设水面静止，鱼漂在、间的横截面积不变不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．鱼漂的上下运动不一定是简谐运动
B．点过水面时，鱼漂有向下方向的最大加速度
C．点到达水面时，鱼漂具有向上的最大位移
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
【答案】B
【解析】A．鱼漂在O位置时，受到重力等于浮力，合力为0，处于平衡，当鱼漂位移为x时，受到的合外力为
所以，鱼漂的上下运动是简谐运动，A错误；
B．鱼漂运动是简谐运动，点N过水面时，合力向下指向平衡位置，有向下方向的最大加速度，B正确；
C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的最大位移，C错误；
D．鱼漂由下往上运动时，速度先增大再减小，D错误；
故选B。
7．如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（ ）
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
【答案】D
【解析】物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐振动所需的回复力，由
可知，摩擦力随时间变化，其大小和方向都变化，故D正确，ABC错误。
故选D。
8．如图所示，质量为m1的物体A置于质量为m2的物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。则下列说法正确的是（ ）
A．A的运动不是简谐运动，B是简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．当振幅为A时，A的静摩擦力大小为kA
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功
【答案】B
【解析】A．以AB为系统，其合外力为
x是弹簧的形变量，所以两物体均做简谐运动。A错误；
B．对整体由牛顿第二定律得
对A，有
联立解得
B正确；
C．由选项B可知，当振幅为A时，A的静摩擦力大小为
C错误；
D．当A远离平衡位置时，B对A的静摩擦力做负功，当A靠近平衡位置时，B对A的静摩擦力做正功。D错误。
故选B。
二、多选题
9．如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（ ）
A．0时刻弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．时间段，回复力冲量为0
D．时间段，小球动能与重力势能之和减小
【答案】AD
【解析】AB．取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，而时刻弹簧弹力为0，位移为，有
可得劲度系数为
0时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为，则弹力为
故A正确，B错误；
C．时间段，振子从平衡位置沿负方向振动回到平衡位置，回复力一直沿正向，由可知回复力冲量不为0，故C错误；
D．时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和减小，故D正确；
故选AD。
10．如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O点对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点静止释放，那么下列说法不正确的是（ ）
A．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置
B．小球从B点运动到A点的过程中，动能一定先增大后减小
C．小球仍然能做简谐运动，但其平衡位置不在O点
D．小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量
【答案】AB
【解析】AC．小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设该电场力大小为F0，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，设O1、O点的间距为x0，弹簧劲度系数为k，则
取水平向右为正方向，当小球从O1点向右运动的位移为x时，回复力
所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，A错误C正确；
B．因为不知道A点与平衡位置O1点的位置关系，所以不能确定小球从B运动到A的过程中，动能如何变化，B错误；
D．小球做简谐运动的过程中，小球的动能和电势能及弹簧的弹性势能之和守恒，小球从B点运动到A点，弹簧的弹性势能不变，所以小球动能的增加量一定等于电势能的减少量，D正确。
故选AB。
11．一弹簧振子做简谐运动时的振动图象如图所示，由图象可知（ ）
A．振子运动的周期为2s B．第1.5s末振子位移为正
C．在第2s末，振子的速度的方向为负 D．在第3s末，振子的加速度最小
【答案】BC
【解析】A．由图知，振子运动的周期为T=4s。故A错误；
B．第1.5s末振子位移为正，故B正确；
C．在第2s末，振子的位移为0，说明振子经过平衡位置，向负方向振动，故C正确；
D．在第3s末，振子到达最大位移处，其加速度最大。故D错误。
故选BC。
12．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在A、两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．时，振子的速度方向向左
B．时，振子在点右侧处
C．到的时间内，振子的速度逐渐增大
D．到的时间内，振子的加速度逐渐增大
【答案】ACD
【解析】A．由图可知，时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，故A正确；
B．时，振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，应在O点右侧大于6cm处，故B错误；
C．到的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，故C正确；
D．到的时间内，振子远离平衡位置运动，加速度逐渐增大，故D正确。
故选ACD。
13．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化图象如图乙所示。下列判断正确的是（ ）
A．时，振子的速度方向向右
B．振子做简谐运动的表达式为
C．和时，振子的加速度大小相同，方向相反
D．从到的时间内，振子的速度先增大后减小
【答案】BD
【解析】A．时，振子位移为正并且在减小，所以振子的速度方向向左。A错误；
B．振子的角速度为
振子做简谐运动的表达式为
B正确；
C．由振动图像可知，和时振子的位移的大小不相等，所以加速度大小不相等。C错误；
D．由图像可知，从到的时间内，振子由正向最大位移到负向最大位移，所以其速度先增大后减小。D正确。
故选BD。
14．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于重力和浮力的合力
B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒
C．位移满足函数式x＝4sin （cm）
D．在t1~t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大
【答案】ACD
【解析】A．玻璃管振动过程中，受到重力和水的浮力，这两个力的合力充当回复力，故A正确；
B．玻璃管在振动过程中，水的浮力对玻璃管做功，故振动过程中，玻璃管的机械能不守恒，故B错误；
C．由于振动周期为0.5 s，故
ω＝＝4πrad/s
由图乙可知振动位移的函数表达式为
x＝4sin（cm）
故C正确；
D．由图乙可知，t1~t2时间内玻璃管在靠近平衡位置，故位移减小，加速度减小，速度增大，故D正确。
故选ACD。
三、解答题
15．如图所示，一个轻质弹簧与一个质量为m=0.2 kg的小球所构成的弹簧振子放在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k=50 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向左压缩0.2m到B点，此时外力对弹簧振子做功为10 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
（1）振子在A点的位移大小。
（2）振子在A点的加速度大小。
（3）振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
【答案】(1)0.2m；(2)50m/s2；(3)O，10m/s
【解析】(1)振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，OA=OB=0.2m，所以振子在A点位移大小是0.2m。
(2)在A点，弹簧弹力为
由牛顿第二定律可知，振子在A点的加速度大小为
(3)振子在平衡位置时，弹簧势能为零，振子动能最大，速度最大，因此在O点速度最大，由功能关系、机械能守恒得
，
解得
16．如图所示，轻弹簧的下端系着AB两球，，系统静止时弹簧伸长，未超出弹性限度。若剪断AB间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动。求：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)的振幅多大。
(3)球的最大加速度多大。（取）
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)挂AB两球时有
解得
(2)剪断AB间细绳后，球平衡时由
可得，弹簧的伸长量为
刚剪断细绳时弹簧比球平衡时多伸长的长度就是振幅，即
(3)振动中球的最大加速度
17．如图所示，一个质量为2 kg的可视为质点的小球穿在光滑的水平杆上，并和一个轻质弹簧相连组成弹簧振子，小球做简谐振动的位移与时间的关系为，式中时间t的单位为s，位移x单位为cm。
(1)求弹簧振子振动的周期、频率、振幅。
(2)若弹簧振子振动的过程中受到的最大回复力为1.6 N，求弹簧的劲度系数。
【答案】(1)0.5s，2Hz，8cm；(2)20 N/m
【解析】(1)由振动方程可知，弹簧振子振动的周期
T=0.5s
频率
振幅
A=8cm
(2)最大回复力大小
F=kA
则弹簧的劲度系数
k=20N/m
18．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧固定在挡板C上，另一端连接一质量为m物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A处于静止状态。现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B，A将在斜面上做简谐运动，试求：
（1）物体A的振幅；
（2）物体A的最大速度值；
（3）物体B下降到最低点时，细线对物体B的拉力值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）未挂物体B时，设弹簧压缩量为，对于物体A由平衡条件有
解得
挂上B，整体平衡时，设弹簧伸长量为，由平衡条件有：
解得
振幅为
（2）因与相等，故在此过程中弹簧弹性势能改变量
设最大速度为，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒定律得
将、代入得
（3）A运动到最高点时弹簧的伸长量
设此时细绳对B的拉力为，A在最高点时，由牛顿第二定律
B在最低点时，由牛顿第二定律
联立解得
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