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高中数学高考58第九章 平面解析几何 高考专题突破5 第2课时 定点与定值问题课件PPT
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这是一份高中数学高考58第九章 平面解析几何 高考专题突破5 第2课时 定点与定值问题课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，题型分类深度剖析，题型一定点问题，题型二定值问题等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点.
解 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点.
圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值；
解 直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k2)x2＝4，
由E是3x＋3y－2＝0上一点，
因为△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE⊥MN，|OM|＝d，
②若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.
证明 由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，
故点G是定点，即为原点(0,0).
例2 如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明：动点D在定直线上；
证明 依题意，直线AB的斜率存在，可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.
BD的方程为x＝x2.
因此D点在定直线y＝－2上(x≠0).
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.
解 依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cs 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cs 60°)，
由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.
证明 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
Δ＝56k2＋32k>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，
得k1＋k2＝4.综上，k1＋k2为定值.
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
直线与圆锥曲线的综合问题
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
解 设P(x0，y0)(y0≠0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明 为定值，并求出这个定值.
解 设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0).
素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.
1.(2018·相阳教育模拟)设F1，F2为椭圆C： ＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求C的方程；
解 由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4， ①由垂直得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)， ②
(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.
解 依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，
故kHR＋kHS为定值－1.
2.(2018·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；
(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为 ，证明：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.
解 由(1)知C的方程为y2＝8x，
设直线MN的方程为x＝my＋n，
Δ＝64m2＋32n>0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，
解得n＝m－1.所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1).
3.(2018·益阳调研)已知抛物线C1的方程为x2＝2py(p>0)，过点M(a，－2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线，切点分别为A，B.(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q，N两点，Q，N两点在x轴上的射影分别为Q′，N′，且|Q′N′|＝ ，求抛物线C1的方程；
显然Δ>0恒成立，设点Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，
则|Q′N′|＝|xQ－xN|
解得p＝2.所以抛物线C1的方程为x2＝4y.
(2)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2.求证：k1·k2为定值.
证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2<0).
又点M(a，－2p)在直线MA上，
因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－4p2.
故k1·k2为定值得证.
4.(2018·南昌检测)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且|PQ|＝ .(1)求C的方程；
所以b2＝4，a2＝2b2＝8，
(2)若直线l是圆x2＋y2＝8上的点(2,2)处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在.求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.
解 依题设，得直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋y－4＝0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0≠x1且x0≠x2，
得(2k2＋1)x2＋4k(y1－kx1)x＋2(y1－kx1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k2(y1－kx1)2－8(2k2＋1)[(y1－kx1)2－4]＝0，化简得(y1－kx1)2＝8k2＋4，
即x1x＋2y1y＝8，同理，切线MB的方程为x2x＋2y2y＝8，又因为两切线都经过点M(x0，y0)，
所以直线AB的方程为x0x＋2y0y＝8，
又x0＋y0＝4，所以直线AB的方程可化为x0x＋2(4－x0)y＝8，即x0(x－2y)＋8y－8＝0，
所以直线AB恒过定点(2,1).
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB，
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
整理得5m2＝4(k2＋1)，
(1)求椭圆C的方程；
证明 由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A，B关于原点对称.①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析
解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点.
解 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点.
圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值；
解 直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k2)x2＝4，
由E是3x＋3y－2＝0上一点，
因为△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE⊥MN，|OM|＝d，
②若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.
证明 由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，
故点G是定点，即为原点(0,0).
例2 如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明：动点D在定直线上；
证明 依题意，直线AB的斜率存在，可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.
BD的方程为x＝x2.
因此D点在定直线y＝－2上(x≠0).
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.
解 依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cs 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cs 60°)，
由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值.
证明 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
Δ＝56k2＋32k>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，
得k1＋k2＝4.综上，k1＋k2为定值.
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
直线与圆锥曲线的综合问题
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
解 设P(x0，y0)(y0≠0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明 为定值，并求出这个定值.
解 设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0).
素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.
1.(2018·相阳教育模拟)设F1，F2为椭圆C： ＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1.(1)求C的方程；
解 由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝4， ①由垂直得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4(4－b2)， ②
(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.
解 依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x2≠0，
故kHR＋kHS为定值－1.
2.(2018·威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；
(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为 ，证明：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.
解 由(1)知C的方程为y2＝8x，
设直线MN的方程为x＝my＋n，
Δ＝64m2＋32n>0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，
解得n＝m－1.所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1).
3.(2018·益阳调研)已知抛物线C1的方程为x2＝2py(p>0)，过点M(a，－2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线，切点分别为A，B.(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q，N两点，Q，N两点在x轴上的射影分别为Q′，N′，且|Q′N′|＝ ，求抛物线C1的方程；
显然Δ>0恒成立，设点Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，
则|Q′N′|＝|xQ－xN|
解得p＝2.所以抛物线C1的方程为x2＝4y.
(2)设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2.求证：k1·k2为定值.
证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2<0).
又点M(a，－2p)在直线MA上，
因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－4p2.
故k1·k2为定值得证.
4.(2018·南昌检测)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且|PQ|＝ .(1)求C的方程；
所以b2＝4，a2＝2b2＝8，
(2)若直线l是圆x2＋y2＝8上的点(2,2)处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在.求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.
解 依题设，得直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋y－4＝0，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0≠x1且x0≠x2，
得(2k2＋1)x2＋4k(y1－kx1)x＋2(y1－kx1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k2(y1－kx1)2－8(2k2＋1)[(y1－kx1)2－4]＝0，化简得(y1－kx1)2＝8k2＋4，
即x1x＋2y1y＝8，同理，切线MB的方程为x2x＋2y2y＝8，又因为两切线都经过点M(x0，y0)，
所以直线AB的方程为x0x＋2y0y＝8，
又x0＋y0＝4，所以直线AB的方程可化为x0x＋2(4－x0)y＝8，即x0(x－2y)＋8y－8＝0，
所以直线AB恒过定点(2,1).
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB，
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
整理得5m2＝4(k2＋1)，
(1)求椭圆C的方程；
证明 由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A，B关于原点对称.①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，
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