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高中数学高考41第七章 不等式、推理与证明 7 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件PPT
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这是一份高中数学高考41第七章 不等式、推理与证明 7 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，边界直线，公共部分，不等式组，最大值，最小值，概念方法微思考，题组一思考辨析等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
ZHISHISHULI
2.线性规划中的基本概念
1.不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示 不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).
2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个.最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( )(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.( )(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( )
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( )(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( )(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.( )
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.
3.[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
解析 用表格列出各数据
所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900.
4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是A.(0，0) B.(－1，1)C.(－1，3) D.(2，－3)
解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.
解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
命题点2 含参数的平面区域问题
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).
平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界).
A.等边三角形 B.梯形C.等腰直角三角形 D.正方形
A.－3 B.－1C.3 D.1
可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y＝kx＋2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界).目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，
由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值.
∴zmax＝5＋4＝9.
命题点2 求非线性目标函数的最值
命题点3 求参数值或取值范围
A.7 B.5C.4 D.1
解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
A.3 D.12
解析 先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，
将z＝2x－y的最大值转化为直线y＝2x－z在y轴上截距的最小值.当直线y＝2x－z经过点A时，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.
z＝3x－y的最大值为2，
解得A(2，4)，化目标函数z＝3x－y为y＝3x－z，可知，直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.故选D.
易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.
A.12个 B.11个C.10个 D.9个
由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12个，故选A.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 方法一 由约束条件可知可行域的边界分别为直线y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，则边界的交点分别为(－1，1)，(3，1)，(1，－1)，分别代入z＝x－2y，得对应的z分别为－3，1，3，可得z的最大值为3，故选B.
方法二 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，作出直线x－2y＝0并平移，由图可知，当直线过点(1，－1)时，z取得最大值，即zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.
解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，
解得m＝1或m＝－3，由图象，得要使可行域ABC存在，
z取得最小值为－2.故选A.
解析 由向量a＝(2x，1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，根据约束条件画出可行域，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，
解析 画出可行域如图阴影部分所示，
当直线y＝－3x＋3z过点A(2，3)时，
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示(不含y轴)，
只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1，1)处取得最小值z′min＝2＋1＝3，
10.(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值.
解 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点B到(－3，2)的距离最大，故z的最大值为64.
解 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0).
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围.
解得－4
作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝2x－y取得最大值，
所以z＝2x－y的最大值是1；当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时z＝2x－y取得最小值，
可得B(a，2－a)，所以z＝2x－y的最小值是3a－2，因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
解析 由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z恒大于等于0，
A.(－∞，3] B.[3，＋∞)C.(－∞，6] D.(－∞，7]
解析 若∀(x，y)∈D，不等式a≤3x＋y恒成立，即求z＝3x＋y的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图所示：当y＝－3x＋z经过A(1，4)点时，z最小，此时z＝3×1＋4＝7，∴a≤7.故选D.
16.已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，则z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值为
解析 因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数.因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.
所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察上面的图形得，当圆和直线x＋y＝0相切时，z最小，
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
ZHISHISHULI
2.线性规划中的基本概念
1.不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示 不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).
2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个.最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( )(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.( )(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( )
(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.( )(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( )(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.( )
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.
3.[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
解析 用表格列出各数据
所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900.
4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是A.(0，0) B.(－1，1)C.(－1，3) D.(2，－3)
解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.
解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
命题点2 含参数的平面区域问题
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).
平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界).
A.等边三角形 B.梯形C.等腰直角三角形 D.正方形
A.－3 B.－1C.3 D.1
可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y＝kx＋2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界).目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，
由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值.
∴zmax＝5＋4＝9.
命题点2 求非线性目标函数的最值
命题点3 求参数值或取值范围
A.7 B.5C.4 D.1
解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
A.3 D.12
解析 先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，
将z＝2x－y的最大值转化为直线y＝2x－z在y轴上截距的最小值.当直线y＝2x－z经过点A时，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.
z＝3x－y的最大值为2，
解得A(2，4)，化目标函数z＝3x－y为y＝3x－z，可知，直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.故选D.
易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.
A.12个 B.11个C.10个 D.9个
由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12个，故选A.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 方法一 由约束条件可知可行域的边界分别为直线y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，则边界的交点分别为(－1，1)，(3，1)，(1，－1)，分别代入z＝x－2y，得对应的z分别为－3，1，3，可得z的最大值为3，故选B.
方法二 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，作出直线x－2y＝0并平移，由图可知，当直线过点(1，－1)时，z取得最大值，即zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.
解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，
解得m＝1或m＝－3，由图象，得要使可行域ABC存在，
z取得最小值为－2.故选A.
解析 由向量a＝(2x，1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，根据约束条件画出可行域，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，
解析 画出可行域如图阴影部分所示，
当直线y＝－3x＋3z过点A(2，3)时，
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示(不含y轴)，
只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1，1)处取得最小值z′min＝2＋1＝3，
10.(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值.
解 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点B到(－3，2)的距离最大，故z的最大值为64.
解 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0).
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围.
解得－4
作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝2x－y取得最大值，
所以z＝2x－y的最大值是1；当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时z＝2x－y取得最小值，
可得B(a，2－a)，所以z＝2x－y的最小值是3a－2，因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
解析 由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z恒大于等于0，
A.(－∞，3] B.[3，＋∞)C.(－∞，6] D.(－∞，7]
解析 若∀(x，y)∈D，不等式a≤3x＋y恒成立，即求z＝3x＋y的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图所示：当y＝－3x＋z经过A(1，4)点时，z最小，此时z＝3×1＋4＝7，∴a≤7.故选D.
16.已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，则z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值为
解析 因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数.因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.
所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察上面的图形得，当圆和直线x＋y＝0相切时，z最小，
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