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高中数学高考71第十一章 算法、统计与统计案例 11 3 用样本估计总体课件PPT
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这是一份高中数学高考71第十一章 算法、统计与统计案例 11 3 用样本估计总体课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
(1)求极差(即一组数据中_______与_______的差).(2)决定_____与_____.(3)将数据_____.(4)列____________.(5)画________________.
1.作频率分布直方图的步骤
ZHISHISHULI
2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的____，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的_____增加，____减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
3.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.
4.众数、中位数、平均数
5.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种_________.(2)标准差：
1.在频率分布直方图中如何确定中位数？
提示 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.
2.平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？
提示 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论.( )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( )(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.( )
2.[P100A组T2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为A.4 B.8 C.12 D.16
3.[P81A组T1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92
解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，
4.[P71T1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有___人.
解析 0.5×0.5×100＝25.
5.若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数 ＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为 ，则m，n， 的大小关系为________.(用“<”连接)
解析 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；
题型一 统计图表及应用
例1 (2018·全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
例2 (2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比 较平稳
解析 对于选项A，由图易知，月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
例3 (2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
解析 甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，
命题点4 频率分布直方图
例4 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56 B.60 C.120 D.140
解析 设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.
(4)①准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.②在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.
跟踪训练1 (1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个
解析 由题意知，平均最高气温高于20℃的有七月，八月，故选D.
(2)(2018·黔东南州联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间[30,40)内的有2 500人，在区间[20,30)内的有1 200人，则m的值为
解析 由题意，得年龄在区间[30,40)内的频率为0.025×10＝0.25，
因为年龄在区间[20,30)内的有1 200人，
(3)(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为A.95,94 B.92,86 C.99,86 D.95,91
解析 由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
(4)下图是2017年1～11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是A.从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B.从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C.92#汽油与95#汽油价格成正相关D.2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌
解析 由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌.
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例5 (2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
解 根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
解 根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.
跟踪训练2 (2018·漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.
解 记恰有一组研发成功为事件E，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是
1.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论正确的是A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9,10月份，故A，B，C错.
2.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32 B.33 45 35 C.34 45 32 D.33 36 35
解析 从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32,34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是35.
3.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是A.甲班同学身高的方差较大B.甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多
解析 逐一考查所给的选项：观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；甲班同学身高的平均值为
乙班同学身高的平均值为：
则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；
则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；甲班同学身高在175 cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175 cm以上的人数为4人，则乙班同学身高在175 cm以上的人数多，D选项错误.
4.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10,50]内，其中支出金额在[30,50]内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n等于A.180 B.160 C.150 D.200
5.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为A.20 B.25 C.22.5
解析 产品的中位数出现在频率是0.5的地方.自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C.
6.(2018·安徽省示范高中联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增大C.去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元D.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
解析 由折线图可知A，B正确；4 067.4÷(1＋6.6%)≈3 815<4 000，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.
7.已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数 ＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为____.
8.为了了解一批产品的长度(单位：毫米)情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_____.
解析 由题意得，三等品的长度在区间[10,15)，[15,20)和[35,40]内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，∴样本中三等品的件数为400×0.25＝100.
9.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数.甲：_____；乙：_______；丙：_______.
解析 甲的众数为8，乙的平均数为8，丙的中位数为8.
10.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为___.
11.某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
解 如题图所示，用水量在[0.5,2)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的频率为0.45，用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
解 当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
12.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
解 作出频率分布直方图如图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
解 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
13.(2017·全国Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.
14.共享单车入住泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段，使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
(1)依据表格完成下列三个统计图形：
(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数.
解 由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，
A.nm C.n＝m D.不能确定
16.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300)为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是
A.在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最 前面4天的空气质量B.在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C.在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D.在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天
解析 因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错.
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基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
(1)求极差(即一组数据中_______与_______的差).(2)决定_____与_____.(3)将数据_____.(4)列____________.(5)画________________.
1.作频率分布直方图的步骤
ZHISHISHULI
2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的____，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的_____增加，____减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
3.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数.
4.众数、中位数、平均数
5.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种_________.(2)标准差：
1.在频率分布直方图中如何确定中位数？
提示 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.
2.平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？
提示 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论.( )(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( )(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( )(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.( )
2.[P100A组T2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为A.4 B.8 C.12 D.16
3.[P81A组T1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92
解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，
4.[P71T1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有___人.
解析 0.5×0.5×100＝25.
5.若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数 ＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为A.5,2 B.16,2 C.16,18 D.16,9
解析 ∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.
6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为 ，则m，n， 的大小关系为________.(用“<”连接)
解析 由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；
题型一 统计图表及应用
例1 (2018·全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
例2 (2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比 较平稳
解析 对于选项A，由图易知，月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.
例3 (2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
解析 甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，
命题点4 频率分布直方图
例4 某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56 B.60 C.120 D.140
解析 设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.
(4)①准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.②在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.
跟踪训练1 (1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个
解析 由题意知，平均最高气温高于20℃的有七月，八月，故选D.
(2)(2018·黔东南州联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间[30,40)内的有2 500人，在区间[20,30)内的有1 200人，则m的值为
解析 由题意，得年龄在区间[30,40)内的频率为0.025×10＝0.25，
因为年龄在区间[20,30)内的有1 200人，
(3)(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为A.95,94 B.92,86 C.99,86 D.95,91
解析 由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
(4)下图是2017年1～11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是A.从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B.从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C.92#汽油与95#汽油价格成正相关D.2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌
解析 由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌.
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例5 (2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
解 根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
解 根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.
跟踪训练2 (2018·漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.
解 记恰有一组研发成功为事件E，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是
1.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论正确的是A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
解析 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9,10月份，故A，B，C错.
2.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32 B.33 45 35 C.34 45 32 D.33 36 35
解析 从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32,34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是35.
3.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是A.甲班同学身高的方差较大B.甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多
解析 逐一考查所给的选项：观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；甲班同学身高的平均值为
乙班同学身高的平均值为：
则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；
则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；甲班同学身高在175 cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175 cm以上的人数为4人，则乙班同学身高在175 cm以上的人数多，D选项错误.
4.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10,50]内，其中支出金额在[30,50]内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n等于A.180 B.160 C.150 D.200
5.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为A.20 B.25 C.22.5
解析 产品的中位数出现在频率是0.5的地方.自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C.
6.(2018·安徽省示范高中联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增大C.去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元D.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
解析 由折线图可知A，B正确；4 067.4÷(1＋6.6%)≈3 815<4 000，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.
7.已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数 ＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为____.
8.为了了解一批产品的长度(单位：毫米)情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_____.
解析 由题意得，三等品的长度在区间[10,15)，[15,20)和[35,40]内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，∴样本中三等品的件数为400×0.25＝100.
9.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数.甲：_____；乙：_______；丙：_______.
解析 甲的众数为8，乙的平均数为8，丙的中位数为8.
10.某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为___.
11.某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
解 如题图所示，用水量在[0.5,2)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的频率为0.45，用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
解 当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
12.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
解 作出频率分布直方图如图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
解 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
13.(2017·全国Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.
14.共享单车入住泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段，使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
(1)依据表格完成下列三个统计图形：
(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数.
解 由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，
A.n
16.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300)为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是
A.在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最 前面4天的空气质量B.在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C.在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D.在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天
解析 因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错.
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