2022北京海淀进修实验学校初二（下）期中数学试卷

这是一份2022北京海淀进修实验学校初二（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京海淀进修实验学校初二（下）期中
数 学
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 计算的结果是
A. ﹣3 B. 3 C. ﹣9 D. 9
2. 估计介于（ ）
A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，．四边形是正方形，则正方形的面积是（ ）

A. 8 B. 12 C. 18 D. 20
5. 如图，在▱ABCD中，CE平分∠DCB，AE＝2，DC＝6，则▱ABCD的周长是（　　）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
6. 如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　 　）

A. 14cm B. 15cm C. 24cm D. 25cm
7. 下列计算正确的是（　　）
A. ＝﹣2 B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且，连接CE，AE，则的度数为（ ）

A. 22.5° B. 25° C. 30° D. 32.5°
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝10，则CD的长为（　　）

A. B. 8 C. 4 D. 2
10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）

A. 2，8，10 B. 4，6，10
C. 6，8，10 D. 4，4，8
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12. 如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是________．

13. 如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，BD＝20，BE＝7，AE＝4，则AC的长等于__________．

14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______．

15. 如图，点D是直线外一点，在上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是：_________________________
.
16. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．

17. 已知：如图，Rt△ABC中，，AC＝，BC＝，则斜边AB边上的高为_____．

18. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 _____．

三、解答题（本大题共9小题，共56分）
19. 计算：
（1）；
（2）（+）2﹣（+）（﹣）．
20. 已知：x＝1－，y＝1＋，求x2+y2-2x-2y 的值．
21. 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A，B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得，.请你根据上述数据求出A，B之间的距离.

22. 一副三角尺按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10．

（1）求∠CBD的度数．
（2）求CD的长．
23. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：F为BC中点；
（2）若OB⊥AC，OF＝2，求平行四边形ABCD的周长．

24. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 　 　．
25. 已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B（8，0）．

（1）如图1，点A（2，2），则OA的长为 　 　；
（2）如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D，F．
①求证：四边形AFBE是平行四边形；
②若点A（0，4），动点P，Q分别从点A，B以每秒1个单位长度和每秒0.8个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止．请问是否存在▱APBQ，若存在，直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. 阅读下列解题过程
例：若代数式的值是，求的取值范围．
解：原式=
当时，原式，解得 (舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
当时，化简：
若等式成立，则的取值范围是
若，求的取值．
27. 阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC．
分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD．
连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．

（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则 ．

参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】=|﹣3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查二次根式化简，掌握二次根式化简方法是解题关键．
2. 【答案】C
【解析】
【详解】解：∵，
∴，即
∴估计在2～3之间
故选C．
【点睛】本题考查估计无理数的大小．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可．
【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、=2与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选C．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
4. 【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵，，．四边形是正方形，
∴，
所以正方形的面积是，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
5. 【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠BEC=∠BCE，再根据等角对等边的性质可得BE=BC，然后利用平行四边形对边相等求出AB、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【详解】解：∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∵▱ABCD中，ABCD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC，
∵在▱ABCD中，AE=2，CD=6，
∴AB=CD=6，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BC=BE=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对边平行，对边相等，以及角平分线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
6. 【答案】D
【解析】
【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，然后利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图：

，
在中，
根据勾股定理得：
，
所以它爬行的最短路程为．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键在于把圆柱侧面展开去构建直角三角形.
7. 【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘法，二次根式的乘方，二次根式的加法法则逐一进行计算即可．
【详解】A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．原式＝＝，所以B选项符合题意；
C．原式＝9×2＝18，所以C选项不符合题意；
D．3与4不能合并，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的乘法，二次根式的乘方，二次根式的加法，熟知运算法则是解题的关键．
8. 【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到∠ABD=45°，∠BAD=90°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAE=67.5°，然后计算∠BAD-∠BAE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠BEA=×（180°-45°）=67.5°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-67.5°=22.5°．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长，进而可求出CD的长．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，
∵∠BAC=90°，AC=6，BD=10，
∴BO=5，OA=3，
∴AB=，
∴CD=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是利用平行四边形的性质和勾股定理易求AB的长．
10. 【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积公式，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，8，10时，围成的直角三角形的面积是：，
当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，围成的直角三角形的面积是：，
当选取的三块纸片的面积分别是6，8，10时，围成的不是直角三角形，
当选取的三块纸片的面积分别是4，4，8时，围成的直角三角形的面积是：，
∵＞2，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理推出：三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12. 【答案】
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=BC，OA∥BC，
∵A（5，0），
∴OA=BC=5，
∵C（1，3），
∴B（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13. 【答案】10
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=10，AC=2OA，利用勾股定理求得OA即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=20，
∴BO=OD=BD=10，OA=OC=AC，即AC=2OA，
∵AE⊥BD，BE=7，
∴在Rt△AEO中，AE=4，OE=BO﹣BE=3，
由勾股定理得：OA==5，
∴AC=2OA=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．
14. 【答案】20
【解析】
【分析】根据两船的航行方向得出，在直角三角形中，易得，，利用勾股定理求得的长，即两船的距离．
【详解】解：由题意可得，，，所以．
在直角三角形中，
因为，，
所以，即两船的距离为20 n mile．
故答案为：20．
【点睛】本题考查方向角及勾股定理的实际应用．从实际问题中抽象出直角三角形，进而利用勾股定理是解题关键．
15. 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形．
【详解】解：根据尺规作图的作法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
16. 【答案】10
【解析】
【详解】本题考查勾股定理,可以过点F作FG⊥AB,交AB延长线于点G,根据题意可得:AG=AB+CD+EF=3+3+2=8,CF=BC+DE=4+2=6,
在Rt△AGF中,AF=
17. 【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：设斜边边上的高为，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
18. 【答案】3
【解析】
【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，过点C作CH∥AB，BF于点H，则△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再证明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的长与BC的长即可．
【详解】解：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝ ，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝ ，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
在Rt△BCD中，由勾股定理得： ，
故答案为：．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行的性质和判定，勾股定理的应用，能够在图中添加适合的辅助线是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共56分）
19. 【答案】（1）；（2）6+2．
【解析】
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算法则求解即可；
（2）利用平方差和完全平方公式求解即可．
【详解】解：（1）

；
（2）

.
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20. 【答案】2
【解析】
【分析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式变形得到原式=（x+y）2-2xy-2（x+y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵x=1-，y=1+，
∴x+y=2，xy=(1-)( 1+)=1-2=-1，
∴x2+y2-2x-2y
=（x+y）2-2xy-2（x+y）
=22-2×（-1）-2×2
=2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算．
21. 【答案】A，B之间的距离为.
【解析】
【分析】连接AC得到两个直角三角形△ACD、△ABC，先利用勾股定理求出线段AC的长，再利用勾股定理求出AB即可得到答案.
【详解】解：连接

在中，，

由勾股定理得

在中，，
由勾股定理得
答：A，B之间的距离为
【点睛】此题考察勾股定理实际应用，连接AC，将四边形转化为两个直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键.
22. 【答案】（1）15° （2）
【解析】
【分析】（1）利用余角的定义求出∠EDF=45°，∠ABC=30°，根据ABCF求出∠ABD=∠EDF=45°，即可得到∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°；
（2）过B作BM⊥CF于M，勾股定理求出BC，由ABCF，得到∠BCM=∠ABC=30°，证得，利用勾股定理求出CM，再由∠DBM=∠BDM=45°，得到DM=BM，即可得到CD．
【小问1详解】
解：∵∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，
∴∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵ABCF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°；
【小问2详解】
过B作BM⊥CF于M，

∵∠ACB＝90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=20，
∴
∵ABCF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴，
∴
∵∠BDM=45°，∠BMD=90°，
∴∠DBM=∠BDM=45°，
∴DM=BM，
∴CD=CM-DM=．
【点睛】此题考查了平行线的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质与判定定理证明四边形OBEC为平行四边形，故可求解；
（2）先证明四边形ABCD是菱形，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质求出BC的长，故可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
，，
，，
∴四边形OBEC为平行四边形，
，即F是BC的中点．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，，
是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，，
是矩形，
，
，
，
的周长．
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形、矩形的判定定理．
24. 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，2
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积为5，可得正方形的边长为，画出一个边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求面积为5的正方形；
∵，
∴如图所示即的正方形即为所求；
【小问2详解】
如图所示，
∵，，
∴如图所示三角形即为所求；
这个三角形的面积为，
故答案为：2．

【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出相关线段长是解决问题的关键．
25. 【答案】（1）4 （2）点P（，0），点Q（，4）
【解析】
【分析】(1)由两点距离公式可求解；
(2)①由“AAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE = BF，可得结论；
②先证平行四边形AFBE是菱形，可得AF= BF= AE= BE，由勾股定理可求AF= BE= 5，OF= CE= 3，由平行四边形的性质可求解
【小问1详解】
∵点A（2，2），
∴，
故答案为：4；
【小问2详解】
①证明：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴ACBO，
∵EF是AB的中垂线，
∴AD= BD，
∵AC OB，
∴∠AEF=∠EFB，∠EAB=∠FBA，
∴△ADE≌△BDF (AAS)，
∴AE= BF，
又∵BO AC，
∴四边形AFBE是平行四边形；
②∵ EF是AB的中垂线，
∴AE= BE，
∴平行四边形AFBE是菱形，
∴AF= BF= AE= BE，
∵点A(0，4)，点B(8， 0)，
∴OA=4=CD，OB=8=AC，
∴
∴BF= 5，
∴AF= BF= AE= BE= 5，
∴OF= CE= 3，
当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形，
∴BP= AQ，
设运动时间为t秒，
∴5+t-5=8-（0.8t-4），
∴t=，
∴BP=AQ=，
∴OP=，
∴点P（，0），点Q（，4）
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键
26. 【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案；
（2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可；
（3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值．
【详解】（1）解：当时，
原式===
（2）原式=
当时，原式，解得(舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是；
（3）原式=
当时，原式，解得符合条件；
当时，原式，次方程无解，不符合条件；
当时，原式，解得 符合条件．
所以，的值是或．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论．
27. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据矩形的判定证出四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证；
（2）连接，延长到点，使得，连接，再连接，延长到点，使得，连接，延长，交于点，先根据矩形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图2，延长到，使得．连接，

则，
是斜边上的中线，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
．
【小问2详解】
解：如图3，连接，延长到点，使得，连接，再连接，延长到点，使得，连接，延长，交于点，

由（1）可知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
又，即点分别是的中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．