8.10 抛物线的常用结论 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第10节  抛物线的常用结论

知识与方法

1.如图1所示，设抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，则：

（1），；

（2）；

（3），即以焦点弦为直径的圆与准线l相切；

（4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切；

（5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线；

（6）直线与直线的斜率之和为0，即.

2．如图2所示，是抛物线的通径，K是抛物线C的准线l与x轴的交点，则是等腰直角三角形，且、均与抛物线C相切.

3．抛物线的平均性质：如图3所示，过点D的直线与抛物线交于A、B两点，则.

4．设A、B是抛物线上的两个动点，O为原点，若，则直线过定点.

提醒：焦点弦有关的结论在本章前面部分已有涉及，此处不再重复.另外，抛物线与切线有关的一些性质会在后续小节“抛物线中的阿基米德三角形性质”中归纳，本节暂不涉及.

典型例题

【例1】如下图所示，抛物线的准线为l，焦点为F，l与x轴交于点K，过F的直线交C于A、B两点，于点M，于点N，设中点为P，于点Q，设，，证明下列结论：

（1）,；

（2）；

（3）以焦点弦为直径的圆与准线l相切；

（4）以焦半径或为直径的圆与y轴相切；

（5）A、O、N三点共线，B、O、M三点共线；

（6）.

【解析】（1）由题意，，，，因为F、A、B三点共线，所以，

故，从而，所以，

故，所以

显然，所以，.

（2）由题意，，，所以，故

（3）由题意，是梯形的中位线，

所以，从而，故以为直径的圆与直线l相切.

（4）由题意，中点为，，所以点T到y轴的距离，故以为直径的圆与y轴相切，同理可得以为直径的圆也与y轴相切.

（5），，因为，所以，

从而，所以A、O、N三点共线，同理可证B、O、M三点也共线.

（6）由题意，，

所以

，

从而直线和关于x轴对称，故.

【例2】设抛物线的焦点为F，O为原点，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，则和的面积之和的最小值为_______.

【解析】如图，设，，则，所以，

，

当且仅当，即时等号成立，所以和的面积之和的最小值为.

【答案】

变式1  过点的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为原点，则和的面积之和的最小值为_______.

【解析】如图，设，，由抛物线的平均性质，，所以，

显然，故，所以，

从而

，

当且仅当，即时取等号，

所以和的面积之和的最小值为8.

【答案】8

变式2  抛物线的焦点为F，O为原点，A、B是抛物线C上的两个动点，若，则和的面积之和的最小值为_______.

【解析】设，，直线过定点，由抛物线的平均性质，，所以，显然，所以，故，

如图，

，当且仅当，

即时取等号，所以和的面积之和的最小值为为.

【答案】

【反思】看到抛物线上的点A、B满足，要想到直线过定点.

【例3】设抛物线的焦点为F，O为原点，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则直线的斜率为_______.

【解析】解法1：，代入抛物线方程得：，所以，从而，如图，作抛物线C的准线于M，则M、O、B三点共线，易得，所以直线的斜率为，故直线的斜率为

解法2：由题意，，设，，

由抛物线的平均性质，，所以，

显然，所以，

从而直线、的斜率之积

代入抛物线方程得：，

所以，从而，故，因为，所以.

【答案】

【例4】（2013·新课标Ⅱ卷）设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以为直径的圆过点，则C的方程为（    ）

A.或  B. 或

C.或  D. 或

【解析】解法1：如图1，由题意，，记，设，则①，因为以为直径的圆过点，所以②，

联立①②解得：或8，故抛物线C的方程为或.

解法2（用结论）：以抛物线的焦半径为直径的圆与y轴相切.

如图2，，所以，，解得：或8.

【答案】C

强化训练

1.（2014·湖南·★★★）平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为k的直线，则k的取值范围是_______.

【解析】

解法1：由抛物线定义可得机器人行进的轨迹是以为焦点，

以直线为准线的抛物线，

由题意，该抛物线与直线没有交点，

联立消去x整理得：，

当时，显然直线与抛物线有交点，不合题意，

当时，判别式或，

故k的取值范围是.

解法2：由抛物线定义可得机器人行进的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，

如图，根据二级结论“过与抛物线相切的直线的斜率必为”

容易发现本题中要使机器人接触不到过点且斜率为k的直线，应有.

【答案】

2.（★★★）已知抛物线的焦点为F，P为抛物线C上一点，且，点M在y轴上，且，则_______.

【解析】解法1：，，由知点M在以为直径的圆上.又点M在y轴上，且以焦半径为直径的圆与y轴相切，所以M就是切点，设中点为Q，则轴，，

所以，从而.

解法2：，，

由对称性，不妨设P在x轴上方，则，

设，，

所以.

【答案】

3.（★★★★）已知A、B是抛物线上的两个动点，O为原点，F为抛物线C的焦点，若，则和的面积之和的最小值为_______.

【解析】设，，直线过定点，由抛物线的平均性质，，所以，显然，所以，故

如图，

，

当且仅当，即时等号成立.

所以和的面积之和的最小值为.

【答案】

4.（★★★）设抛物线的焦点为F，O为原点，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，其中A在x轴上方，若的面积为3，则直线的斜率为_______.

【解析】由题意，，设，，，，

则,

所以，故，又，

所以，解得：，

从而直线的斜率为或

【答案】或

5.（★★★★）已知抛物线的焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与抛物线E交于P、Q两点，以线段为直径的圆M经过点，则点F到直线的距离为_______.

【解析】因为点P在抛物线E上，所以以焦半径为直径的圆M与y轴相切，

由题意，切点即为，所以轴，

如图，又，所以，故，

因为M是的中点，所以点P的坐标为，

代入可得：

故点F到直线的距离为.

【答案】2