8.3 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第3节  椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式

知识与方法

1．椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.

2．双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）

典型例题

【例1】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______.

【解析】如图，设，则

由焦点弦公式，，

由焦半径公式，，

，所以.

【答案】，

变式1  已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______

【解析】设直线l的倾斜角为，则，所以，

由焦点弦公式，.

【答案】

变式2  已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______.

【解析】设，则由焦半径公式，，解得：，由焦点弦公式，.

【答案】

变式3  已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则________.

【解析】设，则，由焦半径公式，，，所以，从而，即.

【答案】2

【反思】一般地，设椭圆的一个焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，则.

变式4  已知椭圆的右焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为________.

【解析】由焦点弦公式，，

解得：，所以.

【答案】

变式5  已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，若、、成等差数列，则椭圆C的离心率为______.

【解析】直线l的斜率为的倾斜角，由焦点弦公式，，

、、成等差数列，

如图，由椭圆定义可得，

所以，故，

化简得：，所以，

从而，故椭圆C的离心率.

【答案】

【例2】过双曲线的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为______.

【解析】直线的倾斜角，

由焦点弦公式，.

【答案】

变式1  过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的方程为_______.

【解析】由题意，，，，，设直线，

则由焦点弦公式，，解得：或，

若，则，所以，从而直线的斜率，

故直线的方程为；

若，则，所以，从而直线的斜率，

故直线的方程为；

综上所述，直线l的方程为或

【答案】或

变式2  过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则______.

【解析】设，因为，所以点A必在双曲线右支上，

由焦半径公式，，解得：，所以，

从而，双曲线C的渐近线的斜率为，

因为，所以点B也在双曲线的右支上，如图，

由图可知，

所以.

【答案】2

强化训练

1.（★★）已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A、B两点，则_______.

【解析】由焦点弦公式，.

【答案】

2.（★★）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则直线l的方程为________.

【解析】设直线l的倾斜角为，由焦点弦公式，，从而，所以或135°，从而直线l的斜率为，

显然，故直线l的方程为或.

【答案】或

3.（★★★）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则的面积为________.

【解析】如图，由焦点弦公式，，

所以.

【答案】

4.（★★★）已知椭圆一个焦点为F，过F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则椭圆C的离心率为________.

【解析】由题意，直线的倾斜角为45°，由焦点弦公式，，

因为，所以，结合化简得：，故离心率.

【答案】

5.（★★★）已知F是椭圆的左焦点，过F且不与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，弦的中垂线交x轴于点M，则=________.

【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A在x轴下方，

则，，

所以，

从而，故.

解法2（特值法）：考虑的情形，

此时，M与原点重合，所以，故

【答案】

6.（★★★）如图，椭圆的左焦点为F，过F作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A、B和D、E四点，则四边形的面积的取值范围是________.

【解析】设，不妨假设，则，

由焦点弦公式，，，

所以四边形的面积

，

显然，所以，即四边形的面积的取值范围是.

【答案】

7.（★★★）双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的方程为________.

【解析】由题意，，，，设直线，

则由焦点弦公式，，解得：或，

若，则，所以，从而直线的斜率，

故直线的方程为；

若，则，所以，从而直线的斜率，

故直线l的方程为，

综上所述，直线l的方程为或

【答案】或

8.（★★★）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则________.

【解析】由题意，，所以，设，

则，所以，解得：，从而，，显然双曲线C的渐近线斜率为，因为，所以点B也在左支上，且，

故.

【答案】

9.（★★★）双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，且，则的面积为________.

【解析】解法1：由题意，，，，设，

由焦半径公式，，又，所以，解得：，所以，如图，显然.

解法2：由题意，，，离心率，设，由焦半径公式，，又，所以，解得：或，因为P在右支上，所以，

代入双曲线方程可求得，所以.

解法3：如图，设双曲线C的右焦点为，

由双曲线定义，，又，所以，

易求得，所以，故，

所以，

显然O是的中点，所以.

【答案】3