高中数学高考8 1　空间几何体的结构、三视图和直观图

这是一份高中数学高考8 1　空间几何体的结构、三视图和直观图，共9页。试卷主要包含了棱柱、棱锥、棱台的概念，棱柱、棱锥、棱台的性质，圆柱、圆锥、圆台，平行投影，空间几何体的三视图、直观图，故填2eq \r，故填2∶8∶9，故选C等内容，欢迎下载使用。
8．1　空间几何体的结构、三视图和直观图



1．棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．
注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
　※2．棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．
(2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的______________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
(3)正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．
4．球
(1)球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．
(2)球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．
5．平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．
6．空间几何体的三视图、直观图
(1)三视图
①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．
②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．
(2)直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝________且∠yOz＝________．
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的__________．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．

自查自纠：
1．(1)平行　四边形　平行　(2)多边形　三角形
2．(1)平行四边形　全等　平行四边形　矩形
(2)等腰三角形　直角三角形　直角三角形　
直角三角形　直角三角形
(3)等腰梯形　直角梯形　直角梯形　直角梯形
3．(1)矩形　直角三角形　直角梯形
(2)矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆
4．(1)直径　球心　(2)垂直于　d＝
5．平行投影　平行
6．(1)①正(主)视图　侧(左)视图　俯视图
(2)①90°　90°　②45°(或135°)　90°　③平行于
④一半


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是
(　　)
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
解：球的三视图是三个全等的圆；含有互相垂直且相等的三条棱的三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形；正方体的三视图可以是三个全等的正方形；圆柱不管如何放置，其三视图的形状都不可能全部相同．故选D．
()某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8
解：由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示的四棱柱A1B1C1D1­ABCD．

由三视图可知S底面＝×(1＋2)×2＝3．直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6．故选C．
()某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
解：根据三视图，还原四棱锥，

如图．在四棱锥S­ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC．AB＝1，AD＝DC＝SD＝2．显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，所以AB⊥平面SAD．又SA⊂平面SAD，所以AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．
另解：在正方体中作出该几何体的直观图，则易观察出侧面中直角三角形的个数为3．故选C．
()某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．


解：由三视图还原为如图所示的四棱锥A­BCC1B1，易得，最长的棱为AC1，且AC1＝＝＝2．故填2．
()某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为________．


解：由三视图还原成直观图可知，点M，N的位置如图(1)所示．

在图(2)所示的圆柱侧面展开图中，|MN|＝＝2．因此从M到N的路径中，最短路径的长度为2．故填2．



类型一　空间几何体的结构特征
　给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．
其中所有错误命题的序号是 (　　)
A．②③④　　 B． ①②③　　
C．①②④　　 D． ①②③④
解：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②错误，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④错误．故选D．

点　拨：
解决该类题目需要准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．
　　
　给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；
②四个侧面两两全等的四棱柱一定是直四棱柱；
③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④长方体一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：底面是菱形的直棱柱满足条件，但它不一定是正棱柱，①不正确；斜四棱柱的四个侧面也可能两两全等，②不正确；以正六边形为底面的棱锥，其侧棱长必然要大于底面边长，③不正确；④显然不正确．故选A．
类型二　空间几何体的三视图
　已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为 (　　)


解：三视图中正侧高平齐，排除A，俯侧宽相等，排除C，D．故选B．

点　拨：
根据几何体的直观图画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②正俯长对正，正侧高平齐，俯侧宽相等．③注意实虚线的区别．
　　
　()在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图如示，则相应的侧视图可以为 (　　)


　　　　A　　　　　　　　　 　　　B

　　　　C　　　　　　　　　 　　　D

解：A，B中的侧视图左边为矩形，结合俯视图知其为半圆柱，与正视图矛盾，排除．由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(大致图形如图所示)，且顶点在底面的射影恰好是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，排除C．故选D．
类型三　空间多面体的直观图
　已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．(单位：cm)

解：由三视图可知该几何体是底面边长为2 cm，高为3 cm的正六棱锥，其直观图如图①所示，画法如下：
(1)画轴：画底面中心O′，画x′轴，y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面：在水平面x′O′y′内画边长为2 cm正六边形的直观图．
(3)画高线：在O′z′上取点P′，使O′P′＝3 cm．
(4)成图：连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，去掉辅助线，并将遮住部分改为虚线，就得到如图②所示的直观图．


点　拨：
①根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，确定几何体在x轴、y轴、z轴方向上的长度，最后连线画出直观图．②平行于x轴和z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，且平行于轴的线段平行关系不变．③原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系为S′＝S．
　　
　已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则DC的长度是 (　　)

A． B．2 C．2 D．
解：如图，

在直角梯形ABCD中，由斜二测画法，知 AB＝2，AD＝2，BC＝4，所以DC＝＝＝2．故选B．
类型四　空间旋转体的直观图
　　
　()有一个正放的圆锥，它的高为h，圆锥内水面高为h1，h1＝h．将圆锥倒置，求倒置时的水面高度h2．
解：由题意知，水的体积与圆锥的体积之比在圆锥倒置前后相等，故1－＝，所以h2＝h＝h．

点　拨：
空间旋转体的相关问题，注意紧抓轴截面的几何性质，尤其是相似性．面积比、体积比一般分别是相似比的平方、立方(截面与底面平行)．
　　
　一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为________．

解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为2x，4x，x，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如图示，过点B作BC⊥OA于C，则Rt△ABC中，AC＝OA－OC＝OA－O′B＝4x－2x＝2x，BC＝O′O＝x，所以AB＝＝＝3x．所以S上∶S下∶S侧＝[π(2x)2]∶[π(4x)2]∶[π(2x＋4x)×3x]＝2∶8∶9．故填2∶8∶9．

1．在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．
2．三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度．由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．
3．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比，有“三变、三不变”．
(1)三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．
(2)三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变．
4．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间联系：S′＝S，并能进行相关的计算．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是 (　　)
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体
A．①③ B．②④ C．④⑤ D．②⑤
解：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．故选D．
2．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 (　　)


解：D选项的正视图应为如图所示的图形．故选D．
3．()如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影(如实线所示)可能是
(　　)


①　 　　 ②　　　 ③　　　 ④
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况．故选D．
4．()一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是 (　　)

A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解：由三视图还原几何体如图所示，

可知剩余几何体为直四棱柱ABEA1­DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E­CC1F．故选B．
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中面积最大的是 (　　)

A．8 B．6 C．10 D．8
解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，6，8，10，所以面积最大的是10．故选C．
6．()用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)


　　　　A　　　　　　　 　　　B

　　　　C　　　　　　　 　　　D
解：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2．故选A．
7．()如图所示为一个简单几何体的正视图、侧视图，其对应的几何体为以下所给几何体中的一个，则该几何体是________．(填序号)



解：根据正视图与侧视图中对角线的位置及线的实虚可知，只有①符合．故填①．
8．()如图所示的多面体NMABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图所示，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM的长为________．


解：如图所示，

设E，F分别为AD，BC的中点，连接ME，EF，FN，过点M作MO⊥EF于点O，则MNFE为等腰梯形，根据正视图，得MN＝2，AB＝4，由侧视图可得AD＝2，MO＝2，且EO＝1，则ME＝＝．在△AME中，AE＝1，故AM＝＝．故填．
9．画出如图所示的正五棱台的三视图，其中侧视方向与ED平行．

解：正五棱台的三视图如图所示．

10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．

解：设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r．
根据相似三角形的性质得，
＝，解得 l＝9．
所以，圆台的母线长为9cm．
11．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′．

(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积．
解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则 S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3．
(2)因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，所以A1A＝ 6 cm．又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
所以S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，
所以S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2．
某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为a的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和b的线段，则a2＋b2的值为________．

解：不妨设该几何体为底面是长方形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，把它补全为一个长方体如图所示，设长方体的长、宽、高分别为m，n，k，体对角线长为，体对角线在三个相邻面上的正投影长分别为a，，b．
则由题意，得＝，＝，
解得m＝1或m＝－1(舍去)，
则
所以(a2－1)＋(b2－1)＝6，即a2＋b2＝8．故填8．