高中数学高考4 第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换　新题培优练

[基础题组练]

1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)

A．－　　 B.

C. D.

解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.

2．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.cos2＝

＝＝，又sin 2α＝，

所以原式＝＝，故选A.

3．(2019·郑州模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D.cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos ＝，故选D.

4．(2019·临川模拟)已知cos＝，则sin的值为(　　)

A. B．－

C. D．－

解析：选B.sin＝sin

＝cos＝cos

＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选B.

5．(2019·安徽淮南一模)设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．α－β＝ B．α＋β＝

C．2α－β＝ D．2α＋β＝

解析：选A.tan α＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝.

6．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)

A．－ B.

C．－ D.

解析：选C.由3cos 2α＝sin可得

3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，

又由α∈可知cos α－sin α≠0，

于是3(cos α＋sin α)＝，

所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C.

7．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　)

A. B.

C．－ D．－

解析：选A.因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝.

8.的值为________．

解析：原式＝＝＝.

答案：

9．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝________．

解析：＝＝

＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝.

因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，

所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，

所以tan 2α＝－.

答案：－

10．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．

解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝＋cos αsin β∈[－1，1]，所以－≤cos αsin β≤.

同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β∈[－1，1]，所以－≤cos αsin β≤.

综上可得，－≤cos αsin β≤.

答案：

11．已知sin＝，α∈.求：

(1)cos α的值；

(2)sin的值．

解：(1)sin＝，

即sin αcos＋cos αsin＝，

化简得sin α＋cos α＝，①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②解得cos α＝－或cos α＝，

因为α∈.所以cos α＝－.

(2)因为α∈，cos α＝－，

所以sin α＝，

则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，

所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.

12．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．

解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)

＝sin，

所以f(x)的最小正周期为，最大值为.

(2)法一：因为f(α)＝，

所以sin＝1.

因为α∈，所以4α＋∈.

所以4α＋＝.故α＝.

法二：因为f(α)＝，

所以sin＝1.

所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，

所以α＝＋，k∈Z.

又因为α∈，

所以当k＝1，即α＝时，符合题意．

故α＝.

[综合题组练]

1．(2019·六安模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A. B.

C.或 D.或

解析：选A.因为α∈，β∈，所以2α∈.

又0<sin 2α＝<，所以2α∈，即α∈，所以β－α∈，所以cos 2α＝－＝－.

又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)

＝－×－×＝.

又α∈，β∈，

所以α＋β∈，

所以α＋β＝，故选A.

2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知＋b2＝1，则|acos θ＋2bsin θ|的最大值为(　　)

A．1 B.

C．2 D．2

解析：选C.由＋b2＝1得a2＋4b2＝4.由辅助角公式可得|acos θ＋2bsin θ|＝|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.

3．(应用型)在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为________．

解析：由题意知cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，得tan A＝tan Btan C．又因为cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)＝－tan A(1－tan Btan C)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196.

答案：196

4．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．

解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，

所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.

(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，

所以g(x)＝cos－2cos2x

＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，

因为0≤x≤，

所以－≤2x－≤π，

所以－≤sin≤1，

所以－2≤2sin－1≤1，

所以g(x)在区间上的值域为[－2，1]．