高中数学高考 2021届小题必练13 古典概型与几何概型（文）-学生版(1)

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．

4．了解几何概型的意义．

1．【2020全国1卷文科】设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ）

A． B． C． D．

一、选择题．

1．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（    ）

A． B． C． D．

2．若直线在轴上的截距在范围内，则该直线在轴上的截距大于的概率是（    ）

A． B． C． D．

3．从编号为的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上的数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中

各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．玫瑰花窗（如右图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感．构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等，右图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形，在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请名同学每人随机写下一个的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点，小球相交部分（图中阴影部分）记为Ⅰ，大球内、小球外的部分（图中黑色部分）记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为，，则（    ）

A． B． C． D．

9．甲、乙名党员干部各自等可能地从，，，，个贫困村中选择个驻村扶贫，则他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．《易传·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．梅赛德斯——奔驰创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图)，点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题．

13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从，，，，这个正整数中随机抽取个数，则恰好构成勾股数的概率为        ．

14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于的正实数对；再统计两数的平方和小于的数对的个数，最后再根据统计数来估计的值，已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为         ．

15．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是奇数或大于的概率是       ．

16．如图，边长为的正三角形内接于圆，点为弧上任意一点，则的面积大于的概率为________．

1．【答案】A

【解析】如图，从5个点中任取3个有，，，，，，，，，共种不同取法，

3点共线只有与共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为，故选A．

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题．

一、选择题．

1．【答案】B

【解析】三个人排成一排的所有情况有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙共种，

乙在中间有种，

所以乙在中间的概率为．

2．【答案】B

【解析】所有的基本事件构成的区间长度为，

因为直线在轴上的截距大于，所以直线在轴上的截距小于，

所以“直线在轴上的截距大于”包含的基本事件构成的区间长度为，

由几何概型概率公式可得“直线在轴上的截距大于”的概率为，

故答案为．

3．【答案】C

【解析】依题意，基本事件的总数为，

第一次抽得的卡片上的数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的有，，，，，，，，，，，，共种情况，

所以所求的概率．

4．【答案】C

【解析】若直线与圆相交，则，

解得或，

又，

∴所求概率．

5．【答案】B

【解析】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，

选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，

故选出的2名教师性别的概率为．

6．【答案】A

【解析】设“点取自正方形区域”为事件，设半圆的半径为，则正方形面积，

四叶形面积，

由几何概型得．

7．【答案】C

【解析】∵，而满足构成钝角三角形则需，

如图弓形面积，∴，∴．

8．【答案】C

【解析】设小球的半径为，则大球的半径为，体积为，

个小球的体积之和为，小球相交部分的体积，

大球内，小球外的部分的体积，所以，

从而，，，

所以选项A、B、D错误，选项C正确．

9．【答案】A

【解析】甲、乙名党员干部各自等可能地从，，，，个贫困村中选择个驻村扶贫，可能的结果共有如下种，，，，，，，，，，，，，，，，

其中他们选择相同的贫困村驻村扶贫的结果共有如下种：，，，，

故他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为．

10．【答案】C

【解析】依题意可得：图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积，

图②中阴影部分的面积是大三角形面积的，

图③中阴影部分的面积是大三角形面积的，

归纳可得，图④中阴影部分的面积是大三角形面积的，

所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取一点，

则此点取自阴影部分的概率为，故选C．

11．【答案】C

【解析】因为阳数：，阴数：，

所以从阳数和阴数中各取一数有种，

满足差的绝对值为3的有，，，，，，共7种，

则，故选C．

12．【答案】D

【解析】由已知可得，则，

又，

，不设，

则由正弦定理可得，

则，

所以阴影部分的面积为，

圆的面积为则在圆内任取一点，

则此点取自阴影部分的概率为，故选D．

二、填空题．

13．【答案】

【解析】从，，，，这个正整数中随机抽取个数，

可能的情况有，，，，，，，，，共种，

其中恰好构成勾股数的情况有种，为，

所以所求概率为．

14．【答案】

【解析】横、纵坐标都小于的正实数对在第一象限内构成一个正方形，

两数的平方和小于的数对为单位圆在第一象限内的部分，如图：

则阴影部分与正方形的面积之比为，

由几何概型可得到，．

15．【答案】

【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子，基本事件为，，，，，共种，

出现点数是奇数或大于包括，，，共种，

根据古典概型可得出现点数是奇数或大于的概率为．

16．【答案】

【解析】因为的边长为，所以的高为，

设外接圆的半径为，则，所以，

所以点到的距离为，

过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，

所以点由点向点移动过程中，的面积越来越大；

点由点向点移动过程中，的面积越来越小，

因此，为使的面积大于，只需点由点向点移动，

所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比．

因，，

所以的面积大于的概率为．