高中数学高考 2021届小题必练5 线性规划（理）-教师版(1)

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．【2020全国Ⅰ卷】若，满足约束条件，则的最大值为      ．

【答案】

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数，即，

其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，

联立直线方程，可得点的坐标为，

据此可知目标函数的最大值为，故答案为．

【点睛】画出不等式组表示的平面区域，然后利用平移直线的方法求出最值．

2．【2020浙江卷】若实数，满足约束条件，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，

其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最大，

取得最小值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，

联立直线方程，可得点的坐标为，

据此可知目标函数的最小值为且目标函数没有最大值，

故目标函数的取值范围是，故选B．

【点睛】利用不等式组画出可行域，然后将目标函数转化为直线方程，利用平移直线的方法求出最值，

即得取值范围．

一、选择题．

1．设变量，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在平面直角坐标系中，作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分．

由，得．

由图可得直线过点时，取得最小值．

由，得，

所以，故选B．

2．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，该部分面积为．

3．设，满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中的阴影部分．

令，得．在图中作出直线并平移，

由图可知，当直线过点时，取得最大值．

由，得点的坐标为，则，故选A．

4．若点在不等式组所表示的平面区域内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，点满足不等式组，∴，解得，故选D．

5．以原点为圆心的圆全部在平面区域内，则圆的面积最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

结合图象可知，当圆与直线相切时，圆的面积最大，

此时圆的半径，圆面积，故选B．

6．已知不等式组，确定的平面区域为，若存在点使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分．

由图知，直线过点时取最大值，过点时取最小值．

由，得，所以；

由，得，所以，

故．

7．变量，满足条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据约束条件画出可行域，如阴影部分所示，

令，

则的值可理解为以为圆心的圆半径平方减去，

∴当圆过点时，目标函数取最小值，且最小值为，故选D．

8．已知件种玩具与件种玩具价格之和不高于元，件种玩具与种种玩具价格之和不低于元，则购买件种玩具和件种玩具至少需要（    ）元．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设件种玩具的价格为元，件种玩具的价格为元，

购买件种玩具和件种玩具，需要元，则，

其中，满足不等式组，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

当经过点时，目标函数取得最小值，

此时．

9．已知向量，，且，若实数，满足，则的取值

范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，

根据不等式组画出可行域，易知，

则其表示的几何意义是可行域内的点与定点所连直线的斜率，

当点在时，取得最大值，且；

当在时，取得最小值，且，

∴的取值范围是，故选D．

10．若点是不等式组表示的平面区域内（含边界）的任意一点，点到直线的距离为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据不等式组作出可行域及直线，结合图形，

可知点到直线的距离最小，最小值；

点到直线距离最大，最大值，

∴的取值范围是．

11．设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图所示，

结合图象可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，∴，

即，∴，

当且仅当，时取等号，故选C．

12．函数在上单调递增，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的导函数，

令，

因为函数在上单调递增，则在上恒成立，

所以，即，

作出其可行域，如图中阴影部分所示，

设，则，

由图可知当曲线过点时，取得最小值，最小值为，故选B．

二、填空题．

13．已知实数，满足，则的最大值为       ．

【答案】

【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，

当直线过点时，取最大值，最大值为．

14．已知变量，满足，则的取值范围是       ．

【答案】

【解析】根据不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，

的几何意义是可行域内的点与定点所连直线的斜率，

由图可知，当点在时，取最小值；当点在时，取最大值，

∴的取值范围是．

15．已知实数，满足不等式组，且的最大值为，则        ．

【答案】

【解析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，

由平移可知直线过时，取最大值，则．

则，故本题应填．

16．给定区域，令点集是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定       个不同的三角形．

【答案】

【解析】根据不等式组画出可行域，如图所示，

取最小值时的点有，取最大值时的点有，，，，，

这点可确定个不同的三角形．