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    2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题含解析

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    2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题含解析,共14页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题

     

    一、单选题

    1.已知直线,若,则实数    

    A.-2 B.-1 C0 D1

    【答案】D

    【分析】两直线平行,则斜率相等求解.

    【详解】已知直线

    因为

    所以

    故选:D

    【点睛】本题主要考查两直线的位置关系,属于基础题.

    2.若圆截直线所得弦长为,则实数的值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆心到直线距离,根据弦长为,即可求得.

    【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为,

    所以圆心到直线距离为,

    则弦长为,,所以,

    故选:C

    【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.

    3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传大衍之数五十的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足


    ,则    

    A12 B20 C28 D30

    【答案】B

    【分析】根据递推关系求得,进而可得答案.

    【详解】由已知得

    故选:B.

    4.与椭圆有相同焦点,且短轴长为的椭圆的标准方程为(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】求出所求椭圆的焦点坐标,可得出的值,由已知条件可得出的值,由此可得出的值,进而可得出所求椭圆的标准方程.

    【详解】椭圆可化为标准方程

    可知椭圆的焦点在轴上,焦点坐标为

    故可设所求椭圆方程为,则.

    ,即,所以,故所求椭圆的标准方程为.

    故选:B.

    【点睛】本题考查椭圆方程的求解,要注意分析椭圆焦点的位置,考查计算能力,属于基础题.

    5.已知分别为双曲线的左、右焦点,点上,,则双曲线的渐近线方程为(    

    A B C D

    【答案】C

    【解析】,可得,根据双曲线的定义求得,进而得到,即可求得双曲线的渐近线方程.

    【详解】由题意,分别为双曲线的左、右焦点,点上,

    且满足,可得

    由双曲线的定义可知,即

    又由,所以双曲线的渐近线方程为.

    故选:C.

    【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:求出 ,代入公式只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围)

    6.已知等差数列是其前项和,若,则(  )

    A B C D

    【答案】D

    【分析】设数列的公差为,由等差数列的通项公式和前项和公式列关于的方程,解方程求出,再计算即可得正确选项.

    【详解】设数列的公差为

    由题意可得 ,解得

    所以

    故选项D正确,

    故选:D.

    7.设是等比数列的前项和,若,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】设等比数列的公比为,求得的值,再利用等比数列的求和公式可求得结果.

    【详解】设等比数列的公比为,若,则,矛盾.

    所以,,故,则

    所以,

    因此,.

    故选:B.

    8.已知等差数列的前n项和为,则当S取得最小值时,n的值为(    

    A4 B6 C7 D8

    【答案】C

    【分析】利用等差数列的前n项和公式可知,即,从而可确定当S取最小值时n的值.

    【详解】因为,故.

    同理,故

    所以,即当时,取得最小值.

    故选:C.

    【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前n项和的应用,属于基础题.

    9.已知抛物线的焦点为为原点,点是抛物线的准线上的一动点,点在抛物线上,且,则的最小值为(  )

    A B C D

    【答案】B

    【分析】求出点坐标,作关于准线的对称点,利用连点之间相对最短得出的最小值.

    【详解】解:抛物线的准线方程为

    到准线的距离为4,故点纵坐标为2

    代入抛物线方程可得

    不妨设在第一象限,则

    关于准线的对称点为,连接

    ,于是

    的最小值为

    故选:B

    【点睛】本题考查了抛物线的简单性质,属于基础题.

    10.已知F是双曲线C的右焦点,过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,且直线l与双曲线C的左支交于点B,若,则双曲线C的离心率为(    

    A2 B C D

    【答案】B

    【分析】的左焦点为,连接,过,根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线,结合双曲线定义及关系得到关系,即可得离心率.

    【详解】

    的左焦点为,连接,过

    易知,所以的中位线,

    又图中双曲线的渐近线方程为

    为线段的中点,所以为等腰三角形,即

    .

    故选:B.

     

    二、填空题

    11.圆的圆心为,且圆与直线相切,则圆的方程为_________________.

    【答案】

    【分析】先求圆心到直线的距离,再求出半径,即可由圆的标准方程求得圆的方程.

    【详解】的圆心为,与直线相切,

    圆心到直线的距离等于半径,即

    的方程为

    故答案为:

    【点睛】本题考查圆的标准方程,直线与圆相切关系的应用,是基础题.

    12.若抛物线的准线与直线间的距离为3,则抛物线的方程为______.

    【答案】

    【分析】先求出抛物线的准线,再根据距离列方程求解即可.

    【详解】抛物线的准线为

    ,解得

    故抛物线的方程为.

    故答案为:.

    13.等比数列中,是方程的两根,则的值为___________.

    【答案】

    【分析】由韦达定理可得,易知,再由等比数列的性质有,结合等比数列通项公式判断的符号,进而求目标式的值.

    【详解】由题设知:,又为等比数列,

    ,且,而

    ,故.

    故答案为:

    14.已知椭圆的离心率为,直线与椭圆C交于AB两点,且线段的中点为,则直线l的斜率为_________

    【答案】

    【分析】由椭圆离心率和关系可得关系,再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.

    【详解】由题意可得,整理可得

    两式相减可得

    的中点为

    则直线斜率.

    故答案为:.

    15.已知各项为正数的数列的前项和为,且,则数列的通项公式为_________.

    【答案】

    【分析】先由题干求出是以为首项,公差为的等差数列,并且求得,进而写出数列的通项公式.

    【详解】解:

    时,由,可得

    .

    是以为首项,公差为的等差数列.

    .

    .

    时,.

    时,上式成立.

    故数列的通项公式为.

    故答案为:.

    【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质,考查转化思想,分析问题能力,属于中档题.

    16.已知等差数列中,,记数列的前n项和为,若对任意的都成立,则实数m的取值范围为______.

    【答案】

    【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列的通项公式,令,通过计算的正负确定的单调性,进而求出的最大项,则可求出实数m的取值范围.

    【详解】设等差数列的公差为

    ,解得

    则等差数列的通项公式为

    则数列的通项公式为

    ,即为递减数列,

    的最大项为

    故答案为:

     

    三、解答题

    17.若数列的前n项和为,且,等差数列满足.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前n项和.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用得到数列是等比数列,利用等比数列的通项公式可得数列,再代入数列满足的等式可得的通项公式;

    2)利用错位相减法可求和.

    【详解】1

    两式相减得

    ,故数列是以3为公比的等比数列,

    又当时,,得

    等差数列的公差为

    2)由(1)可得

    上两式相减得

    18.已知数列,满足,且.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求证:

    【答案】(1)

    (2)证明见解析.

     

    【分析】1)分别利用累乘法和累加法求通项即可;

    2)利用裂项相消得到,即可证明

    【详解】1)根据可得

    所以

    时,,成立,所以

    所以

    时,,成立,所以.

    2)由(1)可得

    所以

    因为,所以.

    19.已知椭圆C的左、右焦点分别为,离心率为,点A在椭圆C上,,过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于PQ两点,N为线段PQ的中点.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)已知点,且,求直线l的方程.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出abc

    (2)设直线l的方程,与椭圆方程联立,运用韦达定理求出中点N的坐标,再利用 ,求出直线l 的斜率.

    【详解】1 ,在 中,

    解得:

    椭圆C的方程为:

    2

    由题意设l的方程为:

    联立方程 ,得

      

    ,即

    化简得:

    直线l的方程为 或者

    综上,椭圆C的方程为:,直线l的方程为 或者 .

    20.已知数列中,,数列的前n项和为.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前n项和

    (3)在(2)的条件下,设,求证:.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)证明见解析

     

    【分析】1)根据条件可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列,分奇偶求数列的通项公式;

    2)先分组求和求得,再利用裂项相消法求得

    3)先求出的通项公式,再根据以及错位相减法求得的前项和,再通过比较大小可证明结论.

    【详解】1)由得数列的奇数项为公差为4的等差数列,偶数项也为公差为4的等差数列,

    为奇数时,

    为偶数时,

    2)由(1)得

    3)由(2

    两式相减得:


     

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