2022-2023学年天津市实验中学高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年天津市实验中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25【答案】B【分析】找到规律后代入计算即可.【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15.正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数.故选：B.2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3．准线方程为的抛物线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.4．在数列中，，（，），则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值【详解】，，，可得数列是以3为周期的周期数列，，故选：A5．在等比数列中，已知，，则公比（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由等比数列等比中项的性质可得，进而可得.【详解】由等比数列，解得，所以，所以，故选：D.6．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据离心率得到，再根据双曲线的定义及勾股定理求出，即可求出双曲线方程；【详解】解：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）所以双曲线的标准方程为：故选：A7．为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.【详解】导数正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，后正，所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，再根据导数的几何意义是切线斜率，所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，所以应选B，不选C.故选：B.8．下列求导运算正确的个数是（    ）个①若，则；②若，则③若，则.④若，则.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由导数的运算公式、运算法则及复合函数的导数运算公式计算各项判断即可.【详解】对于①，故①正确；对于②，∵故②正确；对于③，故③错误；对于④，故④正确；∴①②④正确，正确的个数共有3个.故选：C.9．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由题意知，，解得，，直线与平行，则，得，，化简得，即，解得.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.二、填空题10．已知等差数列满足：，，则___________.【答案】【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可.【详解】设等差数列的公差为，则解得，∴.故答案为：.11．双曲线 的离心率为__________．【答案】【详解】∵双曲线的方程为∴，∴∴故答案为12．设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式___________.【答案】.【分析】根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式.【详解】设等比数列的公式为（），因为，所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：.13．若函数，则___________.【答案】【分析】求导后代入即可构造方程求得结果．【详解】，，解得：．故答案为：14．函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】求导，求得， ，根据导函数的几何意义可得答案．【详解】因为，所以，又因为，所以的图象在点处的切线方程为，即.故答案为：．三、双空题15．已知数列的前项和为，则取得最小值时的值为_______；_______.【答案】     9；     ##【分析】利用函数单调性即可求得取得最小值时的值，利用即可求得的值.【详解】，则当时，单调递增，；当时，单调递增，，则取得最小值时的值为9；故答案为：9；四、解答题16．已知数列的前项和为，满足，.(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意可得，即可证明是以为首项，为公比的等比数列；（2）由等比数列通项公式的计算即可得出答案.【详解】（1），所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，（2）因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.17．已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.(1)求双曲线的离心率和渐近线方程；(2)求抛物线的方程和抛物线的准线方程；(3)若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.【答案】(1)双曲线的离心率为，渐近线方程为：(2)抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.(3)【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的离心率和渐近线方程；（2）由题意出的值，即可求出抛物线的方程和抛物线的准线方程.（3）由抛物线的定义可得，解方程即可得出答案.【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以.所以.所以.所以双曲线的离心率为，渐近线方程为：（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，所以.抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.（3）因为点为抛物线上一点，所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5，即，所以.18．已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项.(1)求和的通项公式；(2)已知，数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)（）；（）(2)（）【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；【详解】（1）解：或，又，则，∴（）．设等差数列的公差为，由题意得，，，即，所以（）．（2）解：时，，∴．时，∴，①，②由①②可得，∴∴（）．