高中数学高考 2021届高考二轮精品专题七 解析几何（理） 教师版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题七 解析几何（理） 教师版(1)，共34页。试卷主要包含了圆锥曲线的综合问题，已知圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。


专题 7
××

解析几何





命题趋势

1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；
2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；
3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．


考点清单

1．直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
两点式

不能表示平行于坐标轴的直线
截距式

不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1//l2⇔k1=k2；
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1//l2．
②两条直线垂直：
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
（3）两条直线的交点的求法
直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
（4）三种距离公式
①P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
②点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离：．
③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：．
（5）圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，
(D2+E2-4F>0)
圆心：，
半径：
（6）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
①若M(x0，y0)在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2>r2．
②若M(x0，y0)在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2=r2．
③若M(x0，y0)在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2 2．直线、圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d （2）圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r d=R-r
d 公切线条数
4
3
2
1
0
3．圆锥曲线及其性质
（1）椭圆的标准方程及几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程


图形


焦点坐标
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
顶点坐标
，A2(a，0)，B2(0，b)
，A20，a，
，B2(b，0)
长轴
长轴A1A2=2a，a是长半轴的长
短轴
短轴B1B2=2b，b是短半轴的长
焦距
焦距F1F2=2c，c是半焦距
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
离心率
，越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆
（2）双曲线的标准方程及几何性质
标准方程


图形


一般方程
mx2+ny2=1(mn<0)
几何性质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
实、虚轴长
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b (a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长)
焦距
焦距|F1F2|=2c，c是半焦距
离心率

渐近线方程


（3）抛物线的标准方程及其几何性质
方程标准
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y=0(x轴)
x=0(y轴)
焦点




离心率
e=1
准线方程




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)




4．圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y (也可以消去x)得到一个关于变量x (或变量y)的一元方程．
即联立，消去y，得ax2+bx+c=0．
①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，
则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
②当a=0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（2）圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则或
．


精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0 ， l2:x+ay+2=0(a∈R)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵直线l1:ax+a+2y+1=0，l2:x+ay+2=0，
当“a=-2”时，直线l1:-2x+1=0，l2:x-2y+2=0，不满足，
当“a=0”时，直线l1:2y+1=0，l2:x+2=0，不满足，
∴当时，则，解得a=-1或a=2．
而由，解得a=-1，
所以由“”能推出“”；由“”不能推出“”，
所以“”是“”充分不必要条件，故选A．
【点评】本题考查了直线平行的条件，属于基础题．
2．直线y=x+2和双曲线的渐近线相交于A，B两点，则线段AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，
设y=x+2与相交于A点，与相较于B点，
由，解得A-3-3，-3-1；
由，解得B(3-3，3-1)，
所以AB=(-3-3-3+3)2+(-3-1-3+1)2=24=26，故选A．
【点评】该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：
（1）先根据双曲线的渐近线方程求得的渐近线；
（2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标；
（3）利用两点间距离公式求得结果．
3．已知⊙M经过坐标原点，半径r=2，且与直线y=x+2相切，则⊙M的方程为（ ）
A．(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2
B．(x+1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2
C．(x-1)2+(y+1)2=2或(x+2)2+y2=2
D．(x-1)2+(y+1)2=2或(x-2)2+y2=2
【答案】A
【解析】设圆心坐标为(a，b)，半径r=2，
因为圆M过坐标原点，且与直线y=x+2相切，
所以，所以a=b=±1，
即圆心为1，1或-1，-1，
圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2，故选A．
【点评】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
4．已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|CD|=3，则∠AOB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线的方程l:mx+y+3m-3=0化为mx+3+y-3=0，
所以直线l恒过点-3，3，
而点-3，3满足x2+y2=12，所以点-3，3在圆x2+y2=12上，
不妨设点A-3，3，
又|CD|=3，所以点B0，23，所以，
又圆x2+y2=12的半径为23，所以△AOB是等边三角形，所以．
故选B．
【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=kx-a+b，将x=a带入原方程之后，所以直线过定点a，b；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．
5．设A-2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PB2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设Px，y，则PA2+PB2=x+22+y2+x-22+y2≤16，
整理可得x2+y2≤4，故OP≤2，
在△PQO中，，
则，
设原点到直线的距离为d，则需满足d≤4，
，解得或，故选C．
【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出OQ=2OPsin∠QPO≤4，利用原点到直线的距离小于等于4求解．
6．已知圆C：x+12+y-12=1，P是直线x-y-1=0的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，则PC⋅AB的最小值为（ ）
A．14 B．27 C．32 D．11
【答案】A
【解析】圆C：x+12+y-12=1的圆心为C-1，1，半径r=1，
设四边形PACB的面积为S，
由题设及圆的切线性质得，，
∵AC=r=1，
∴PC⋅AB=2PA=2PC2-r2=2PC2-1，
圆心C-1，1到直线x-y-1=0的距离为，
∴PC的最小值为，
则PC⋅AB的最小值为，故选A．
【点评】本题考了直线与圆的位置关系，难度中等偏易．
7．已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6，则直线AF的斜率为（ ）
A．2 B．±2 C．22 D．±22
【答案】D
【解析】由题意，点，因为AF=xA+2=6，可得xA=4，
又因为点A在抛物线上，所以y2=32，则y=±42，所以点A(4，±42)，
则，故选D．
【点评】本题考了抛物线的定义及其性质，属于基础题．
8．已知椭圆C的焦点为F1-1，0，F21，0，且椭圆与直线l：x+y=7有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．10 B．7 C．27 D．25
【答案】A
【解析】设椭圆C与直线l的一个公共点为P，则（即为长轴长），
问题转化为在直线l上找点P，使得PF1+PF2最小，
设F2关于l的对称点Ex，y，则，可得E点坐标为7，6，
则PF1+PF2=PF1+PE≥F1E=7+12+62=10，
当且仅当F1，P，E三点共线时等号成立，即椭圆长轴长2a的最小值为10，故选A．

【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，点关于直线对称的点的求法，属于中档题．
9．已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段AB的中点坐标为M(2，-4)，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为M(2，-4)，
则x1+x2=4，y1+y2=-8，
又A，B关于直线对称，所以，
且A，B在双曲线上，，，
相减可得，即，
故，即，
离心率为，故选B．
【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10．过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A、B两点，若AF=3FB，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若k=0，则直线l与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意；
设，抛物线y2=4x的焦点为F1，0，直线AB的方程为x=my+1，
联立，消去x可得y2-4my-4=0，，
设点Ax1，y1、Bx2，y2，由韦达定理可得y1+y2=4m，y1y2=-4，
∵AF=1-x1，-y1，，由AF=3FB，可得-y1=3y2，
∴y1+y2=-2y2=4m，则y2=-2m，y1y2=-3y22=-12m2=-4，
解得，
，故选C．
【点评】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1，y1、x2，y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；
（5）代入韦达定理求解．
11．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．
其中，，CD=4AB，则Γ的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接CA，BD，
不妨设AB=1，则CD=4，BD=1+2a，AC=4+2a．
在△ABD中，1+4c2-2⋅1⋅2c⋅cos60°=(1+2a)2①
在△ACD中，16+4c2-2⋅4⋅2c⋅cos120°=(4+2a)2②
，得15+10c=12a+15，则，故选C．

【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．

二、解答题．
12．若双曲线x2-y2=9与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为A1，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率分别为k1，k2，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是过定点，定点为2，0．
【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为2，
又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为，
由题意知a=3，所以c=22，b=1．
所以椭圆的标准万程为．
（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：k1=-k2≠0，不满足，
故直线l的斜率不为零；
设直线l的方程为x=ty+n，由，得t2+9y2+2tny+n2-9=0，
因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以Δ=4t2n2-4t2+9n2-9>0，
整理得t2-n2+9>0，
设Px1，y1、Qx2，y2，则，，，．
因为，所以，
整理得4ty1y2+5(n-3)y1-(n+3)y2=0，
4ty1y2+5(n-3)y1+y2=(6n-12)y2，
将，，代入整理得t(n-2)(n-3)=(2-n)t2+9y2，
要使上式恒成立，只需n=2，此时满足t2-n2+9>0，
因此，直线l恒过定点2，0．
【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式，过定点；
②直线方程整理为点斜式，过定点．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，点P在椭圆上，PF1⊥x轴，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将椭圆C按照坐标变换得到曲线C1，若直线l与曲线C1相切且与椭圆C相交于M，N两点，
求MN的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知可得，2b=23⇒b=3，，
则椭圆C的标准方程为．
（2）由，
则曲线C1：x2+y2=1，
当直线l斜率存在且为k时，设l：y=kx+m，由直线l与圆C1相切，
则，
由，
设Mx1，y1，Nx2，y2，则，且Δ>0恒成立，
由
，
由m2=k2+1，则，
令t=3+4k2，则4k2=t-3，
，
令，则y=-s2+2s+3，，则，；
当直线l斜率不存在时，l：x=±1，，
综上：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线C1相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．
14．椭圆的左焦点为-2，0，且椭圆C经过点P0，1，直线y=kx+2k-1 (k≠0)与C交于A，B两点（异于点P）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1．
【解析】（1）由题意得：c=2，b=1，则a2=b2+c2=3，
∴椭圆方程为．
（2）解法一（常规方法)：设，，
联立，化简可得3k2+1x2+6k2k-1x+12kk-1=0，
∵直线y=kx+2k-1(k≠0)与椭圆C交于A、B两点，
∴Δ>0，即123k2+1-2k-12=-48kk-1>0，解得0 由韦达定理，，

，
∴直线PA、PB的斜率和为定值1．
解法二（构造齐次式)：由题直线y=kx+2k-1(k≠0)恒过定点-2，-1，
①当直线AB不过原点时，设直线AB为mx+ny-1=1*，
则-2mx-2n=1，即，有，
由，有x2+3y-12+6y-1=0，
则x2+3y-12+6y-1mx+ny-1=0，
整理成关于x，y-1的齐次式：3+6ny-12+6mxy-1+x2= 0，
进而两边同时除以，则，
令，则；
②当直线AB过原点时，设直线AB的方程为，，，
，
综合①②直线PA与直线PB的斜率之和为定值1．
【点评】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的条件，确定出b，c的值，进而求得a2的值，得到椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，韦达定理求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．
15．已知椭圆与抛物线C:x2=2py(p>0)有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆Γ于A，B两点，且AB=1．
（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；
（2）O为坐标原点，若P为椭圆Γ上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与椭圆Γ的焦点F为圆心，以5为半径的圆F交于M，N两点，求证：MN为定值．
【答案】（1）椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为；（2）证明见解析．
【解析】（1）椭圆可得焦点0，a2-1，
抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为，所以①，
由，可得，解得，
所以②，
由①②可得：a2=4，p=23，
所以椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为．
（2）设P(m，n)，则，圆P的方程为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2，
圆F的方程为：x2+(y-3)2=5，
所以直线MN的方程为：mx+(n-3)y-1=0，
设点F到直线MN的距离为d，
则，
|MN|=25-d2=2，所以MN为定值．

【点评】圆的弦长的求法：
（1）几何法，设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则；
（2）代数法，设直线与圆相交于Ax1，y1，Bx2，y2，联立直线与圆的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式AB=1+k2x1+x22-4x1x2，即可得出结果．
16．已知椭圆过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆Γ相交于两点M、N，各点互不重合，且满足，．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若直线l的方程为y=-x+1，求的值；
（3）若，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，(2，0)．
【解析】（1）由题意，因为椭圆过点(0，2)，可得b=2，
设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，
可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2，即a2+b2=2c2，
又因为a2=b2+c2，解得a2=12，
所以椭圆Γ的标准方程为．
（2）由直线l的方程为y=-x+1，可得而P(0，1)，Q(1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为，，
可得(x1，y1-1)=λ1(1-x1，-y1)，(x2，y2-1)=λ2(1-x2，-y2)，
从而x1=λ1(1-x1)，x2=λ2(1-x2)，
于是，，所以，
由，整理得4x2-6x-9=0，可得，，
所以．
（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，
设直线l的方程为y=kx-mm>0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得P(0，-km)，Q(m，0)，
由，可得(x1，y1+km)=λ1(m-x1，-y1)，
所以x1=λ1m-x1，从而，同理，
又，∴x1x2-2m(x1+x2)+3m2=0⋯①，
联立，得(1+3k2)x2-6k2mx+3k2m2-12=0，
则Δ=36k4m2-4(1+3k2)(3k2m2-12)=1212k2+4-k2m2>0⋯②，
且，
③代入①得，∴m=2，(满足②)
故直线l的方程为y=kx-2，所以直线l恒过定点(2，0)．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，
再证明该定点与变量无关．

高频易错题

一、选择题．
1．已知P是曲线C：x+2y-y2=0上的点，Q是直线x-y-1=0上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由x+2y-y2=0，得x2+y-12=1(x≤0)，
∴曲线C是圆心为，半径r=1的左半圆，
曲线C上的点到直线x-y-1=0的最小距离为原点到直线的距离，，
所以的最小值为，故选D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．

二、解答题．
2．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点(2，2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是圆心在原点O，半径为a2+b2的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E､F，求动弦EF长的取值范围．
【答案】（1）；（2）{43}．
【解析】（1）由2a=2×2c，得a=2c，把点(2，2)代入椭圆方程得，
又a2=b2+c2，所以a2=8，b2=4，椭圆的标准方程为．
（2）设过点P作椭圆的两条切线分别为l1，l2．
①当l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设l1斜率不存在，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=22或x=-22，
当l1方程为x=22时，此时l1与圆O交于点(22，2)和(22，-2)，
此时经过点(22，2)，(22，-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2，
即l2为y=2或y=-2，l1⊥l2，
由题目知，圆O的方程为x2+y2=12，
∴线段EF应为圆O的直径，∴|EF|=43；
②当l1，l2斜率都存在时，设点Px0，y0，其中x02+y02=12，且x02≠8，y02≠4，
设经过点Px0，y0与椭圆只有一个公共点的直线为y=tx-x0+y0，
则，消去y得到1+2t2x2+4ty0-tx0x+2y0-tx02-8=0，
∴Δ=64-8x02t2+16x0y0t+32-8y02=0，，
所以t1t2=-1，满足条件的两直线l1，l2垂直．
∴线段EF应为圆O的直径，∴|EF|=43，
综合①②知：因为l1，l2经过点Px0，y0，
又分别交圆于点E，F，且l1，l2垂直，
所以线段EF为圆x02+y02=12的直径，∴|EF|=43为定值．
故EF的取值范围{43}．
【点评】在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，常常需要设直线的方程，此时容易遗漏考虑直线的斜率不存在的情况．

精准预测题

一、选择题．
1．已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，过点P1，k作圆C的
两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，
所以直线kx+y+4=0过圆心，即3k-1+4=0，k=-1，
所以点P1，-1，PC=2，
因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=PB=PC2-r2=3，
且在直角三角形中，
所以∠APC=∠BPC=30°，∠APB=60°，
所以三角形PAB的面积，故选D．
【点评】本题主要考了直线与圆的位置关系，以及切线长的求法，属于基础题．
2．已知x，y都是实数，则“x+y≤2”是“x2+y2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】x+y≤2表示的区域是以±2，0，0，±2为顶点的正方形及其内部，
x2+y2≤1表示的区域是0，0为圆心，1为半径的圆及其内部，
所以x2+y2≤1能够得到x+y≤2成立，反之不成立，故选B．

【点评】本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；
（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；
（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含．
3．已知圆O:x2+y2=r2r>0与x轴的交点为A、B，以A、B为左、右焦点的双曲线的右支与圆O交于P、Q两点，若直线PQ与x轴的交点恰为线段AB的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知PQ为OB的中垂线，

因为点A、B的坐标分别为-r，0、r，0，所以PQ方程为，
联立，解得，可取，，
所以双曲线的焦距为2c=2r，即c=r，
因为，，
由双曲线定义可得2a=PA-PB=3-1r，，
所以双曲线的离心率，故选A．
【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．
4．过点P(x，y)作圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=1的切线，切点分别为A､B，若PA=PB，则x2+y2的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．22 D．8
【答案】B
【解析】如图所示，由圆的切线的性质得C1A⊥PA，C2B⊥PB，
在Rt△PAC1，Rt△PBC2中有PA2=PC12-1，PB2=PC22-1，
由题知PA=PB，
∴PC1=PC2，所以点P在线段C1C2的垂直平分线上；
由题知C1(0，0)，C2(2，2)，所以C1与C2的中点Q的坐标为(1，1)，
C1与C2所在直线的斜率为，
∴P，Q所在直线l1的斜率为，
∴直线l1的方程为y=-1×(x-1)+1，即y=-x+2，
点P(x，y)在y=-x+2，所以点P的坐标满足y=-x+2，
所以x2+y2=x2+(-x+2)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2≥2，故选B．

【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将x2+y2表示为只含有一个未知数x的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点P所在的一条直线，进而用一个未知数x表示出其坐标，进而求得x2+y2的最小值．
5．已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点Ax1，y1，Bx2，y2，
且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设过抛物线C：的焦点F的直线为，
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0．
由直线上两点Ax1，y1，Bx2，y2，则有y1y2=-p2，
，A正确；
，B正确；
∵M点坐标为，故，，
，
当m≠0时，MA⋅MB≠0，即∠AMB≠90°，故C错误；
由，D正确，
综上所述，本题选C，故选C．
【点评】（1）坐标法是解析几何的基本方法；
（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长|AB|=x1+x2+p；②，；③以AB为直径的圆与准线L相切．
6．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线PA与线段FQ交于点B，若FB=2BQ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】依题意可得A-a，0，F-c，0，
因为P在第一象限，所以k>0，
设Px1，y1，Qx2，y2，联立直线与双曲线方程，
消去y得b2-a2k2x2-a2b2=0，解得，
所以，，
设Bm，n，由FB=2BQ，所以FB=2BQ，
即，
即，解得，
即，
因为B、A、P在一条直线上，所以kAP=kAB，
即，
即，
即2ab+2ab2-a2k2=2ab+c-3ab2-a2k2，
所以2ab2-a2k2=c-3ab2-a2k2，解得c=5a，
所以，故选D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的计算，关键是方程思想的应用．

二、填空题．
7．已知双曲线与抛物线C2：的焦点F重合，过点F作直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方）且满足AF=3BF，若直线l只与双曲线右支相交于两点，则双曲线C1的离心率e的取值范围是______．
【答案】1，2
【解析】设直线l的倾斜角θ，直线l与抛物线C2交于A、B两点（A点在x轴上方），
则为锐角，焦点，准线，准线与x轴交点记为P，
过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为C、D，过B向AC作垂线，垂足为E，
设直线与x轴交点记为Q，过A向x轴作垂线，垂足为G，

由抛物线的定义AF=AC=GP=GF+FP，
因为GF=AFcosθ， FP=p，所以AF=AFcosθ+p，
∴，BF=BD=PQ=FP-FQ，
因为FQ=BFcosθ， FP=p，所以，，
由，则，
由直线l只与双曲线右支相交于两点，则，
则，
由e∈1，+∞，则1 故答案为1，2．
【点评】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率．
8．设抛物线C: y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且，则__________．
【答案】2
【解析】抛物线C: y2=4x的焦点为F1，0，
设直线AB的方程为y=kx-1，代入y2=4x，得k2x2-2k2+4x+k2=0，
设Ax1，y1，Bx2，y2，则，x1x2=1，
由抛物线的定义可得AF=x1+1，BF=x2+1，
由，得，即，
由，即，解得或x2=-2（舍），
所以x1=2，
所以，故答案为2．
【点评】本题考查抛物线中过焦点的弦的性质的应用，解答本题的关键是方程联立得到x1x2=1，由抛物线的定义可得：AF=x1+1，BF=x2+1，得出，属于中档题．

三、解答题．
9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l:y=2x+a与抛物线C交于A，B两点．
（1）若a=-1，求△FAB的面积．
（2）已知圆M:(x-3)2+y2=4，过点P(4，4)作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，
求证：直线DE与圆M相切．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）抛物线的焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把y=2x-1方程代入抛物线y2=4x，可得4x2-8x+1=0，
，，
∴|AB|=1+k2|x2-x1|=5(x1+x2)2-4x1x1=15，
点F到直线l的距离，
．
（2）设过点P的直线方程为，
由直线与圆M相切得，可得，
设切线PD，PE的斜率分别为t1，t2，则，，
把代入抛物线方程可得，
则4，y1是方程的两根，
可得，同理．
则有，，
直线，
即为，
则圆心(3，0)到直线DE的距离为，
由，代入上式，化简可得d=2，
所以直线DE与圆M相切．
【点评】证明直线与圆相切，求出直线的方程，圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，化简求值等于半径即可．
10．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率，左顶点为A(-2，0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）22．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，左顶点为A(-2，0)，
所以a=2，
又，所以c=1，可得b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）直线l的方程为y=k(x+2)，
由，可得(x+2)(4k2+3)x+8k2-6=0，
所以x1=-2，，
当时，，
所以，
因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，
则，
直线l的方程为y=k(x+2)，令x=0，得E点坐标为(0，2k)，
假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，
则kOP⋅kEQ=-1，即恒成立，
所以(4m+6)k-3n=0，
所以，即，
所以定点Q的坐标为．
（3）因为，所以OM的方程可设为，
和联立可得M点的横坐标为，
由，可得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为22．
【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为Ax1，y1，Bx2，y2；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为x1+x2，x1x2形式；
（5）代入韦达定理求解．
11．已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=8x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线x=1上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线DE过定点H(4，0)．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为椭圆C的离心率，所以，即．
由y2=8x，得2p=8，所以p=4，其焦点为，
因为抛物线y2=8x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，
所以a=2，所以c=1，b=3．
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）可得A(-2，0)，B(2，0)，设点M的坐标为(1，m)，
直线的方程为．
将与联立，
消去y整理得：4m2+27x2+16m2x+16m2-108=0，
设点D的坐标为xD，yD，则，
故，则．
直线的方程为，
将与联立，
消去y整理得4m2+3x2-16m2x+16m2-12=0．
设点E的坐标为xE，yE，则，
故，则，
直线HD的斜率为，
直线HE的斜率为．
因为k1=k2，所以直线DE经过定点H．
【点评】通过HD和HE的斜率相等来证明直线DE过定点H(4，0)是解题关键．
12．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，AF=3．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）λ=3．
【解析】（1）因为离心率为，所以，
又AF=3，所以a+c=3，解得a=2，c=1，
又c2=a2-b2，所以b2=3，
所以椭圆方程为．
（2）由（1）知F1，0，A-2，0，
设直线PN的方程为x=my+1，Px1，y1，Nx2，y2，
因为M与P关于原点对称，所以M-x1，-y1，
所以，，
若存在λ，使得k1=λk2恒成立，所以，
所以y1x2+2=λy2x1-2，
两边同乘y1得y12x2+2=λy2y1x1-2，
又因为Px1，y1在椭圆上，所以，
所以，
所以，
当x1≠2时，则，
所以-3x2x1-6x2+x1-12=4λy2y1①；
当x1=2时，M与A重合，
联立方程，消元得3m2+4y2+6my-9=0，所以，
所以，，
代入①得，整理得-108=-36λ，解得λ=3．
【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．



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