2022年湖南省张家界市中考数学真题（教师版）

2022年湖南省张家界市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 的倒数是（    ）

A. 2022 B.  C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】根据倒数定义解答．

【详解】解：-2022倒数是，

故选：D．

【解题思路】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键．

2. 我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】

【分析】直接利用科学记数法的表示形式求解即可．

【详解】解：1 800 000 ，

故选：．

【解题思路】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n 的值．

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：．

【解题思路】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

4. 下列计算正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】

【分析】分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．

【详解】A．，因此该选项不符合题意；

B．与不是同类项，因此不能合并，所以该选项不符合题意；

C．，因此该选项符合题意；

D．，因此该选项不符合题意；

故选：C．

【解题思路】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．

5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】求出不等式组解集，即可得

【详解】解：，

由①得：，

由②得：，

不等式组的解集为，

在数轴上表示该不等式组的解集只有D选项符合题意；

故选D．

【点晴】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．

6. 某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：

根据表中数据，应该选择（   ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【详解】

【分析】从平均数和方差进行判断，即可得

【详解】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，

从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，

所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，

故选：A．

【点晴】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．

7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．

【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；

当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；

故选：D．

【解题思路】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．

8. 如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】

【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．

【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，

，，，

是等边三角形，

，

∵，，

，

，

与的面积之和为

．

故选：C．

【解题思路】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）

9. 因式分解：__．

【答案】

【详解】

【分析】直接利用平方差公式分解即可得．

【详解】解：原式．

故答案为：．

【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10. 从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．

【答案】##0.4
 

【详解】

【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．

【详解】解：，是无理数，

（恰好是无理数）．

故答案为：．

【解题思路】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．

11. 如图，已知直线，，，则__．

【答案】##35度

【详解】

【分析】由平行线的性质可得，再由对顶角相等得，，再由三角形的内角和即可求解．

【详解】解：如图，

，，

，

，

，，

，

．

故答案为：．

【解题思路】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

12. 分式方程的解是_______．

【答案】x=-3

【详解】

【分析】方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．

【详解】解：方程两边都乘x（x-2），得

5x=3（x-2），

解得：x=-3，

检验：当x=-3时x（x-2）≠0，

所以x=-3是原方程的解，

故答案为：x=-3．

【解题思路】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．

13. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__．

【答案】##0.75

【详解】

【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题．

【详解】解：∵大正方形ABCD面积是100，

∴．

∵小正方形EFGH的面积是4，

∴小正方形EFGH的边长为2，

∴，

设，

则，

由勾股定理得，，

解得或（负值舍去），

∴，，

∴．

故答案为：．

【解题思路】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键．

14. 有一组数据：，，，，．记，则__．

【答案】

【详解】

【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．

【详解】解：；

；

；

，

，

当时，

原式

，

故答案为：．

【解题思路】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．

三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）

15. 计算：．

【答案】

【详解】

【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得

【详解】解：原式

．

【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质．

16. 先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．

【答案】，

【详解】

【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．

【详解】解：原式

；

因为，时分式无意义，所以，

当时，原式．

【解题思路】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．

17. 如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．

（1）将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；

（2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；

（3）在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．

【答案】（1）见详解    （2）见详解   

（3）

【详解】

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出， ，的对应点，，即可；

（2）利用旋转变换的性质分别作出， ，的对应点，，即可；

（3）利用弧长公式求解即可．

【小问1详解】

解：如图，即为所求；

【小问2详解】

解：如图，(即△A2OB2）即为所求；

【小问3详解】

解：在中，，

．

【解题思路】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．

18. 中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【答案】296km/h

【详解】

【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．

【详解】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，

由题意得：x+40=3.5(x-200)，

解得：x=296.

答：高铁的平均速度为296 km/h．

【解题思路】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

19. 如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）试判断四边形的形状，并写出证明过程．

【答案】（1）见详解    （2）矩形，见详解

【详解】

【分析】（1）由题意得，根据平行线的性质得，用ASA即可证明；

（2）根据全等三角形的性质得，即可得四边形为平行四边形，根据菱形的性质得，即，即可得．

【小问1详解】

证明：点是的中点，

，

又

，

在和中，

，

；

【小问2详解】

四边形为矩形，证明如下：

证明：，

，

又，

四边形为平行四边形，

又四边形为菱形，

，

即，

四边形为矩形．

【解题思路】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．

20. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表

根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）频数分布统计表中的　　，　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？

（4）若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）18；8   

（2）见详解    （3）240人   

（4）

【详解】

【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；

（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；

（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；

（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．

【小问1详解】

抽取的总人数为：（人），

∴m=50×36%=18，

∴n=50-6-14-18-4=8，

故答案为：18，8；

【小问2详解】

数分布直方图补全如下：

【小问3详解】

（人，

答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；

【小问4详解】

列表如下：

由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，

抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．

【解题思路】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21. 阅读下列材料：

在中，、、所对的边分别为、、，求证：．

证明：如图1，过点作于点，则：

在中， CD=asinB

在中，

根据上面的材料解决下列问题：

（1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；

（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，

【答案】（1）见详解    （2）

【详解】

【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；

（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．

【小问1详解】

证明：如图2，过点作于点，

在中，，

在中，，

，

；

【小问2详解】

解：如图3，过点作于点，

，，

，

在中，

又，

即，

，

．

【解题思路】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．

22. 如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见详解    （2）1

【详解】

【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；

（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得

【小问1详解】

证明：如图所示，连接，

为直径，

，

又点是的中点

，，

在和中，

，

，

；

【小问2详解】

解：，，

，

又四边形内接于圆，

，

又，

，

又，

，

，

即：，

解得：，

．

【解题思路】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．

23. 如图，已知抛物线图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点的坐标；

（2）若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；

（3）抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．

【答案】（1）；顶点为   

（2）或   

（3）见详解

【详解】

【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；

（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；

（3）根据对称性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的详解式为：，直线的详解式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．

【小问1详解】

解：设二次函数表达式为：，

将、代入得：

，

解得，，

抛物线的函数表达式为：，

又，，

顶点为；

【小问2详解】

解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．

①当时，

，

解得；

②当时，

，

解得；

综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；

【小问3详解】

解：点关于点的对称点为点，

，

直线与抛物线图像只有一个公共点，

只有一个实数解，

△，

即：，

解得：，

利用待定系数法可得直线的详解式为：，直线的详解式为：，

联立，结合已知，

解得：，

同理可得：，

则：，，

，

的值为．

【解题思路】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数详解式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键．