专题09 碰撞问题 -高考物理计算题专项突破

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专题09 碰撞问题


1.弹性碰撞：且；（同时满足动量守恒和机械能守恒）
2.非弹性碰撞：且；（满足动量守恒，机械能不守恒）
3.完全非弹性碰撞：；（碰撞后的两物体速度相同，机械能损失最大）

在解有关物体碰撞类问题时，第一步要明确研究对象，一般情况下研究对象为两个或多个物体组成的系统。第二对系统进行受力分析，弄清系统的内力和外力，判断动量是否守恒。然后通过分析碰撞的过程，确定初、末状态的动量、能量。根据动量守恒定律或能量守恒定律列出方程进行求解，并对结果进行讨论。

1.碰撞的种类及特点
分类标准
种类
特点
能量是否守恒
弹性碰撞
动量守恒，机械能守恒
非完全弹性碰撞
动量守恒，机械能有损失
完全非弹性碰撞
动量守恒，机械能损失最大
碰撞前后动量是否共线
对心碰撞（正碰）
碰撞前后速度共线


2.解决碰撞问题的三个依据
（1）动量守恒，即
（2）动能不增加，即 或
（3）速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即，否则碰撞没有结束。如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
3.碰撞的分类
(1)弹性碰撞：系统动量守恒、机械能守恒.
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v12＋m2v22＝m1v1′2＋m2v2′2
若v2＝0，则有v1′＝v1，v2′＝v1
(2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能，ΔE＝Ek初总－Ek末总＝Q.
(3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大.
设两者碰后的共同速度为v共，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共
机械能损失为ΔE＝m1v12＋m2v22－(m1＋m2)v共2.
4.碰撞问题遵循的三个原则：
(1)系统动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)系统动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋.
(3)速度要合理：
①碰前两物体同向，则v后>v前，碰后，原来在前面的物体速度一定增大，且v前′≥v后′.
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变.

典例1：（2022·广东·高考真题）某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度为向上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为，滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量，滑杆的质量，A、B间的距离，重力加速度g取，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小和；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v1；
（3）滑杆向上运动的最大高度h。

【答案】（1），；（2）；（3）
【规范答题】（1）当滑块处于静止时桌面对滑杆的支持力等于滑块和滑杆的重力，即

当滑块向上滑动过程中受到滑杆的摩擦力为1N，根据牛顿第三定律可知滑块对滑杆的摩擦力也为1N，方向竖直向上，则此时桌面对滑杆的支持力为

（2）滑块向上运动到碰前瞬间根据动能定理有

代入数据解得。
（3）由于滑块和滑杆发生完全非弹性碰撞，即碰后两者共速，碰撞过程根据动量守恒有

碰后滑块和滑杆以速度v整体向上做竖直上抛运动，根据动能定理有

代入数据联立解得。
典例2：（2022·河北·高考真题）如图，光滑水平面上有两个等高的滑板A和B，质量分别为和，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为，A和C以相同速度向右运动，B和D以相同速度向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新滑块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为。重力加速度大小取。
（1）若，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向；
（2）若，从碰撞后到新滑块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小。

【答案】（1），，方向均向右；（2）
【规范答题】（1）物块C、D碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后物块C、D形成的新物块的速度为，C、D的质量均为，以向右方向为正方向，则有

解得

可知碰撞后滑块C、D形成的新滑块的速度大小为，方向向右。
滑板A、B碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后滑板A、B形成的新滑板的速度为，滑板A和B质量分别为和，则由

解得

则新滑板速度方向也向右。
（2）若，可知碰后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为

碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为

可知碰后新物块相对于新滑板向右运动，新物块向右做匀减速运动，新滑板向右做匀加速运动，设新物块的质量为，新滑板的质量为，相对静止时的共同速度为，根据动量守恒可得

解得

根据能量守恒可得

解得

典例3：（2022·浙江·高考真题）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知，，，，，物块与MN、CD之间的动摩擦因数，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取。
（1）若，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度的大小；
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力与h间满足的关系；
（3）若物块b释放高度，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。

【答案】（1）；（2）；（3）当时，，当时，
【规范答题】（1）滑块b摆到最低点过程中，由机械能守恒定律

解得

与发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得


联立解得

（2）由（1）分析可知，物块与物块在发生弹性正碰，速度交换，设物块刚好可以到达点，高度为，根据动能定理可得

解得

以竖直向下为正方向

由动能定理

联立可得

（3）当时，物块位置在点或点右侧，根据动能定理得

从点飞出后，竖直方向

水平方向

根据几何关系可得

联立解得

代入数据解得

当时，从释放时，根据动能定理可得

解得

可知物块达到距离点0.8m处静止，滑块a由E点速度为零，返回到时，根据动能定理可得

解得

距离点0.6m，综上可知当时

代入数据得

典例4：（2022·山东·高考真题）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的点，点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），A以速度沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量，B的质量，A与B的动摩擦因数，B与地面间的动摩擦因数，取重力加速度。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小与；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功；
（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用表示）。

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【规范答题】（1）设水平向右为正方向，因为点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有


代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）
即A和B速度的大小分别为，。
（2）因为A物体返回到O点正下方时，相对地面速度为0，A物体减速过程根据动能定理有

代入数据解得

根据动量定理有

代入数据解得

此过程中A减速的位移等于B物体向右的位移，所以对于此过程B有


联立各式代入数据解得
，（舍去）
故根据几何关系有

代入数据解得

（3）在A刚开始减速时，B物体的速度为

在A减速过程中，对B分析根据牛顿运动定律可知

解得

B物体停下来的时间为t3，则有

解得

可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为

所以A对B的摩擦力所做的功为

（4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有

由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为T，摆长为L，则有

由单摆周期公式解得，小球到悬挂点O点的距离

小球下滑过程根据动能定理有

当碰后小球摆角恰为5°时，有

解得
，
小球与A碰撞过程根据动量守恒定律有

小球与A碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），则要求

故要实现这个过程的范围为


1．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速度释放，A与B发生弹性碰撞。已知A的质量，B的质量，圆弧轨道的半径，圆弧轨道光滑，A和B与桌面之间的动摩擦因数均为，取重力加速度。
（1）求碰撞前瞬间A的速率；
（2）求碰撞后瞬间A和B的速度大小；
（3）最终A和B静止时的距离L。

【答案】（1）3m/s；（2）1m/s，2m/s；（3）0.75m
【规范答题】（1）对A，从释放→碰撞前，由动能定理得

解得

（2）对A、B组成的系统，在碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得


解得


（3）A和B在桌面上做匀减速直线运动

解得


解得

则

2．（2022·天津·耀华中学一模）如图所示，O点为固定转轴，把一个长度为m的细绳上端固定在O点，细绳下端系一个质量为kg的小球，当小球处于静止状态时恰好与平台的右端B点接触，但无压力。一个质量为kg的小物块从粗糙水平上的A点，以一定的初速度m/s开始运动，到B点时与小球发生正碰，碰撞后小球在绳的约束下在竖直面内做圆周运动，物块做平抛运动落在水平地面上的C点。测得B、C两点间的水平距离m，平台的高度m，已知小物块与平台间的动摩擦因数，重力加速度m/s2，求
（1）碰撞后小物块M做平抛运动的初速度大小；
（2）若碰后小球恰好能到达圆周运动的最高点E，则AB点距离s为多少？

【答案】（1）2m/s；（2）2m
【规范答题】（1）碰撞后小物块M做平抛运动，在水平方向则有

在竖直方向则有     

解得
m/s
（2）小球在最高点E时，重力恰好提供向心力，则有

小球从B点到E点，由动能定理可得

小物块与小球碰撞后，由动量守恒定律可得    

小物块从A点到与小球开始碰撞的运动中，由动能定理可得

联立以上各式解得
m
3．（2022·江西宜春·模拟）如图所示，竖直面内的倾斜轨道与相同材料足够长的水平轨道平滑连接，质量m＝0.9kg的物块B静止在水平轨道的最左端。t＝0时刻，质量M＝0.1kg的物块A由倾斜轨道上端从静止下滑，经过2.5s后在水平面与B发生碰撞，碰撞时间极短。已知碰后物块A反弹的速度大小为4m/s，物块B的速度大小为1m/s，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求：
（1）物块A与轨道间的滑动摩擦因数μ；
（2）物块A在前3s内，克服摩擦力做的功。

【答案】（1）0.5；（2）2.8J
【规范答题】（1）A沿斜面下滑时，由牛顿第二定律

A滑到斜面底端时的速度为

AB碰撞过程动量守恒，规定水平向右为正方向，设碰后AB的速率分别为vA、vB，由动量守恒定律可得

联立可得
，，
（2）碰后A沿斜面向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律

解得

物块A在前内的位移为

A向上匀减速的时间为

发生的位移为：

物块A在后内的位移为

故物块A在前3s内，克服摩擦力做的功为

4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟）2022年2月4日至20日，北京冬季奥运会成功举办，北京成为世界上首座“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目给人们留下了深刻的印象，被誉为“冰上象棋”。某次投掷的物理过程可以简化为如下模型： O、P、Q为整个冰上场地中心线上的三个点，一个冰壶B静止在半径R=1.8m的营垒圆形边界Q处。队员手推冰壶A由静止开始从O点沿中心线出发，在6N水平恒力的作用下，经10m在P处放手。放手后，队友用冰刷擦拭冰壶A前方PQ间的冰面，使得冰壶A以速度v = 1m/s在Q处与冰壶B发生对心正碰（碰撞时间极短）。冰壶A、B可视为质点，质量均为m=20kg。已知未用冰刷擦拭过的冰面动摩擦因数μ = 0. 01 ，擦拭后变为，PQ间距L = 25m，取g = 10m/s2，不计空气阻力，冰刷始终不接触冰壶。
（1）求k的大小；
（2）碰撞后，若冰壶B恰好停在营垒中心O'处，求冰壶A、B都停下后A、B间的距离。

【答案】（1）k=0.6；（2）
【规范答题】（1）由牛顿第二定律得

由匀变速直线运动公式得

PQ之间的运动

在擦拭过的冰面上由牛顿第二定律得

解得
k=0.6
（2）碰撞瞬间由动量守恒定律得

碰撞后B和A分别继续向前运动，对B物体

对A物体

联立解得

因此都停下后A、B间的距离

5．（2022·安徽·模拟）如图1所示，用不可伸长轻绳将质量为mA= 2.0kg的物块A悬挂在O点，轻绳长度为l = 0.8m。初始时，轻绳处于水平拉直状态，现将物块A由静止释放，当A下摆至最低点时，恰好与静止在水平面上的长木板B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。长木板B的质量为mB= 2.0kg，长木板B的左端放置有可视为质点的小物块C，小物块C的速度随时间变化图像如图2所示，小物块C的质量为mC= 1.0kg，在运动过程中，小物块C未从长木板B上掉落。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力的影响。求：
（1）碰撞前瞬间轻绳拉力的大小；
（2）小物块C与长木板B间的动摩擦因数μ以及长木板B与地面间的动摩擦因数μ0；
（3）长木板B至少多长。

【答案】（1）F = 60N；（2）μ = 0.1，；（3）2m
【规范答题】（1）设物块A与长木板B碰撞前瞬间的速度大小为v0，对物块A由静止释放运动到最低点的过程，根据动能定理有

解得
v0 = 4m/s
则根据牛顿第二定律有

解得
FT = 60N
（2）设小物块C与长木板间的动摩擦因数为μ，由题图2可知小物块C相对长木板B滑动过程中的加速度大小为
aC = μg = 1m/s2
解得
μ = 0.1
设碰撞后瞬间物块A和长木板B的速度分别为vA、vB，物块A与长木板B在发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
mAv0 = mAvA + mBvB
再根据机械能守恒有

解得
vB = 4m/s
在0 ~ 1s时间内，设长木板B的加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有
μ0(mB + mC)g + μmCg = mBaB
由题图2易知t = 1s时，长木板B和小物块C达到共速度，且v共 = 1m/s，对长木板B根据运动学公式有
vB - v共 = aBt1
解得

（3）长木板B与小物块C在0 ~ 1s内的相对位移为

长木板B和小物块C达到共同速度后，C对B的摩擦力方向变为水平向左，设此后B的加速度大小为aB′，根据牛顿第二定律有
μ0(mB + mC)g - μmCg = mBaB′
解得
aB′ = 2m/s2
长木板B与小物块C在1 ~ 2s内的相对位移为

则长木板B至少有
L = Dx1 = 2m
即长木板B至少有2m小物块C才不会掉下来。
6．（2022·江西南昌·模拟）如图所示，竖直放置在水平地面上的滑杆套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度向上滑动时，受到滑杆的摩擦力大小f=1N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开地面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2kg，滑杆的质量M=0.6kg，A、B间的距离l=1.2m，重力加速度g取，不计空气阻力，求：
（1）滑块碰撞滑杆前瞬间的速度大小；
（2）滑杆向上运动离开地面的最大高度。

【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）滑块上滑过程加速度大小

又

代入数值解得

（2）碰撞时，由动量守恒有

解得

所以滑杆向上运动离开地面的最大高度

7．（2022·山东·三模）如图所示，质量、长的木板B静止于光滑水平面上，质量的物块A停在B的左端。质量m=2kg的小球用长的轻绳悬挂在固定点O上。将轻绳拉直至水平位置后由静止释放小球，小球在最低点与A发生弹性碰撞，碰撞时间极短可忽略。A与B之间的动摩擦因数，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。
（1）求轻绳对小球的最大拉力；
（2）求木板B的最大速度；
（3）若在小球和A碰撞的同时，立即给B施加一个水平向右的拉力F=15N，求A相对B向右滑行的最大距离。

【答案】（1）60N；（2）；（3）
【规范答题】（1）小球下摆到最低点与A碰撞前瞬间速度最大，所需向心力最大，轻绳的拉力最大。设此时小球速度大小为，由机械能守恒定律得

解得

根据牛顿第二定律有

解得轻绳对小球的最大拉力为
Tmax=60N
（2）小球与A碰撞过程中，小球与A组成的系统动量守恒，机械能守恒，以水平向右为正方向，设碰后小球与A的速度分别为和，则


解得

假设A能从B上滑离，分离时速度分别为、，则有


解得


另一组解不合实际故舍去。所以假设成立，木板B的最大速度为
（3）A滑上木板后先向右做匀减速运动，加速度大小为

设B此时向右做匀加速运动的加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有

解得

当两者速度相同时，A相对B向右滑行的距离最大，根据运动学公式有

解得

t时间内A、B的位移大小分别为


A相对B滑行的最大距离为

8．（2022·天津市新华中学一模）如图，长木板ab的b端固定一挡板，木板连同挡板的质量为M=4.0kg，a、b间距离s=1.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端左侧有一与长木板等高接触的固定物体，其内部为半径R=5m的四分之一光滑圆弧。现将一个质量m=1.0kg的小物块，从四分之一光滑圆弧顶端无初速释放，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.20，长木板处于静止状态。小物块从四分之一光滑圆弧滑出后沿木板向前滑动，直到和挡板相碰。碰撞后，小物块恰好回到木板中点时与长木板保持相对静止。（取g=10m/s2）求：
（1）小物块滑到四分之一光滑圆弧底端时，对圆弧的压力大小；
（2）小物块恰好回到木板中点时，小物块的速度；
（3）碰撞过程中损失的机械能。

【答案】（1）30N；（2），方向水平向右；（3）37J
【规范答题】（1）设小物块滑到四分之一光滑圆弧底端时的速度大小为v0，根据机械能守恒定律有

解得
v0=10m/s
设此时圆弧对小物块的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有

解得

根据牛顿第三定律可知小物块对圆弧的压力大小为30N。
（2）设小物块恰好回到木板中点时的速度为v，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得

解得

方向水平向右。
（3）根据功能关系可得碰撞过程中损失的机械能为

9．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟）如图所示，光滑圆弧轨道的最底端与足够长水平传送带的左端相切，质量的物块A从圆弧轨道的顶端由静止释放，并与静止在圆弧轨道底端、质量的物块B发生弹性碰撞。已知圆弧轨道的半径，其所对圆心角，传送带以恒定的速度顺时针转动，两物块与传送带间的动摩擦因数均为，物块A、B均可视为质点，重力加速度取，，。求：
（1）两物块碰撞前的瞬间，物块A对轨道的压力大小；
（2）物块A、B运动稳定后，它们之间的距离。

【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）物块从圆弧轨道顶端由静止释放，滑到圆弧轨道底端，由动能定理可得

解得

物块碰前瞬间，由牛顿第二定律，有

解得

由牛顿第三定律，可得碰前瞬间物块对轨道的压力大小

（2）物块、B碰撞，动量守恒可得

由机械能守恒，可得

解得


物块加速，由牛顿第二定律，有

解得

加速时间为

物块B做减速运动，由牛顿第二定律，有

解得

减速时间为

可知后两者均和传送带相对静止，间距不再发生变化。在内，物块的位移为

在内，物块B的位移为

所以物块、B运动稳定后，、B两物块间的距离

10．（2022·广东深圳·二模）2022年北京冬奥会的冰壶项目被喻为“冰上象棋”。如图，为场地中心线上的三个点，一冰壶B静止在半径的营垒圆形边界N处。队员使壶A以速度从P点沿中心线出发，在与初速度同向恒力作用下，经在M处脱手。脱手后，队友用冰刷擦拭间的冰面，A以速度在N处与B正碰（碰撞时间极短）。A、B可视为质点，质量均为，已知未用冰刷擦拭过的冰面动摩擦因数，擦拭后变为。间距，重力加速度取，不计空气阻力，冰刷始终不接触冰壶。
(1)求段冰面k的大小；
(2)第一次碰撞后，B恰好停在营垒中心O处，求碰后A的速度大小；
(3)已知A、B碰撞前后速度均满足比值不变，若每次碰后，只擦拭A前方冰面使。试通过计算说明，最终B将停在营垒的哪个区域？（营垒各区域尺寸如图）

【答案】(1)；(2)；(3)最终B停在最中间圆形区域
【规范答题】(1)壶A从P点到N处的过程中，根据动能定理则有

解得

(2)第一次碰撞后，B恰好停在营垒中心O处，，根据动能定理则有

解得

A、B第一次碰撞后，系统动量守恒，则有

解得

(3)根据题意则有

A、B第一次碰撞后，对B分析，根据牛顿第二定律则有

B运动的时间为

A、B第一次碰撞后，对A分析，根据牛顿第二定律则有

根据运动学公式则有

解得

A运动的时间为

所以B刚停止时，A、B发生第二次碰撞；A、B第二次碰撞，系统动量守恒，则有

根据题意则有

解得


第二次碰撞后，对B分析，根据运动学则有

解得

B运动的时间为

A、B第二次碰撞后，对A分析，根据运动学则有

解得

A运动的时间为

所以B刚停止时，A、B发生第三次碰撞；A、B第三次碰撞，系统动量守恒，则有

根据题意则有

解得


第三次碰撞后，对B分析，根据运动学则有

解得

B运动的时间为

A、B第三次碰撞后，对A分析，根据运动学则有

解得

A运动的时间为

所以B刚停止时，A、B发生第四次碰撞；以此类推，可得



……
第二次碰撞后，B运动的总距离为

所以最终B停在最中间圆形区域。