第17章 一元二次方程 沪科版八年级数学下册综合检测(含解析)
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这是一份第17章 一元二次方程 沪科版八年级数学下册综合检测(含解析)，共13页。
第17章 一元二次方程综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2022安徽安庆宜秀月考)下列方程中,是一元二次方程的是( )A.x2-4=0 B.x2+3x-2y=0C.x=D.x2+2=(x-1)(x+2)2.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax-2b=0的一个根,则-3a+6b的值为( )A.-6 B.-3 C.-2 D.33.(2021安徽蚌埠月考)方程x2-4x-5=0用配方法求解的过程中,配方正确的是( )A.(x+2)2=1 B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=14.(2022湖南怀化中考)下列一元二次方程有实数根的是( )A.2x2-x+1=0 B.x2-2x+2=0 C.x2+3x-2=0 D.x2+2=05.(2021安徽合肥一六八中期中)关于x的方程x2-2(a-2)x-3=0有一根为3,则另一根为( )A.-1 B.3 C.2 D.16.【学科素养·模型观念】(2022安徽合肥琥珀中学期中)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1 035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )A.x(x+1)=1 035 B.2x(x-1)=1 035C.x(x-1)=1 035 D.2x(x+1)=1 0357.【学科素养·几何直观】(2022安徽安庆石化一中期中)如图,在长为80米,宽为60米的长方形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为4 661平方米,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( )A.80×60-80x-60x=4 661 B.(80-x)(60-x)+x2=4 661C.(80-x)(60-x)=4 661 D.80x+60x=80×60-4 6618.【新独家原创】关于x的一元二次方程=28,则实数a的值为( )A.-1 B.1 C.0 D.±19.(2022安徽定远期中)关于x的一元二次方程a(x-1)2=2x2-2,则下列说法错误的是( )A.a不等于0 B.方程有一根是1C.判别式的值为16 D.a不等于210.【学科素养·应用意识】某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.市场调查发现,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.如果商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为( )A.22元 B.24元 C.26元 D.28元 二、填空题(每小题3分,共12分)11.关于x的方程(m-1)x2+2x-3=0是一元二次方程,则m的取值范围是 . 12.方程(y-2)(y-3)=12的解为 . 13.(2021安徽蚌埠月考)若一元二次方程x2-2x-3a=0无实根,则a的取值范围是 . 14.(2021安徽合肥一六八中期中)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现,该商品单价每降低1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:该商品单价降低 元时,商场日盈利可达2 100元. 三、解答题(共58分)15.(2022安徽合肥四十五中期中)(6分)解方程:(1)x2-6x+9=(5-2x)2; (2)=1. 16.【新考法】(6分)已知关于x的一元二次方程mx2+6x+m2-3m=0的常数项为0.(1)求m的值;(2)求此时一元二次方程的解. 17.【学科素养·推理能力】(6分)已知关于x的方程(a2-4a+5)x2+2ax+4=0.(1)当a=2时,解这个方程;(2)试证明:无论a为何实数,这个方程都是一元二次方程. 18.(2022北京顺义一模)(6分)已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m-2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根. 19.(6分)有一个电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图1.第一次按键后,A,B两区的显示如图2.(1)从初始状态按键2次后,求A,B两区分别显示的结果;(2)从初始状态按键4次后,得A,B两区代数式的和为1,求a的值. 图1 图2 20.【学科素养·推理能力】(2022安徽安庆宜秀月考)(8分)已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何实数,方程总有实数根;(2)若方程有两个不相等的实数根x1,x2,且满足-2x1+kx2=4,求k的值. 21.(10分)一张长12 dm,宽6 dm的长方形纸板如图1,将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体纸盒如图2.(1)无盖长方体纸盒盒底的长为 dm,宽为 dm(用含x的式子表示); (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖长方体纸盒,求剪去的正方形边长. 图1 图2 22.【方程思想】【学科素养·应用意识】(2022安徽合肥四十二中期中)(10分)某种新商品的进价为每件120元,在试销期间发现,当每件商品的售价为130元时,每天可销售70件;当每件商品的售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此,解答以下问题:(1)当每件商品的售价为140元时,每天可销售 件,每天可盈利 元; (2)若每天至少销售40件且每天可盈利1 500元,则每件商品的售价应定为多少元?
答案全解全析一、选择题1.A x2-4=0是一元二次方程,选项A符合题意;x2+3x-2y=0中含有两个未知数,选项B不符合题意;x=不是整式方程,选项C不符合题意;x2+2=(x-1)(x+2),整理得x-4=0,是一元一次方程,选项D不符合题意.2.D 把x=1代入方程x2+ax-2b=0,得1+a-2b=0,即a-2b=-1,所以-3a+6b=-3(a-2b)=-3×(-1)=3.3.B ∵x2-4x-5=0,∴x2-4x=5,∴x2-4x+4=5+4,∴(x-2)2=9.4.C 选项A,∵Δ=(-1)2-4×2×1=-7<0,∴方程2x2-x+1=0没有实数根,选项A不符合要求;选项B,∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴方程x2-2x+2=0没有实数根,选项B不符合要求;选项C,∵Δ=32-4×1×(-2)=17>0,∴方程x2+3x-2=0有两个不相等的实数根,选项C符合要求;选项D,∵Δ=02-4×1×2=-8<0,∴方程x2+2=0没有实数根,选项D不符合要求.5.A 设方程的另一个根为t,根据题意得3×t=-3,解得t=-1.6.C ∵全班有x名同学,∴每名同学要送出(x-1)张照片.又∵是互送照片,∴总共送出的照片张数应该是x(x-1),故列方程为x(x-1)=1 035.7.C 道路的宽为x米,则绿化的部分可拼成长为(80-x)米,宽为(60-x)米的长方形,依题意得(80-x)(60-x)=4 661.8.D ∵关于x的一元二次方程=0的两实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=6a,x1x2=4.∵=28,∴(x1+x2)2-2x1x2=28,∴36a2-2×4=28,解得a=±1.此时(-2a)2-4×>0,∴实数a的值为±1.9.A 方程a(x-1)2=2x2-2可化为(a-2)x2-2ax+a+2=0,∵方程是一元二次方程,∴a-2≠0,即a≠2.∵Δ=4a2-4(a-2)(a+2)=16,∴判别式的值为16.把x=1代入(a-2)x2-2ax+a+2=0,方程的左右两边相等,故x=1是方程的一个根.故选A.10.A 利用商店销售该商品获得的利润=每件的销售利润×销售数量,可得出关于a的一元二次方程(a-18)·(320-10a)=400,整理得a2-50a+616=0,解得a1=22,a2=28.又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,∴售价不能超过18×(1+25%)=22.5(元),∴a=22.故选A.二、填空题11.m≠1解析 由题意得m-1≠0,∴m≠1.12.y1=6,y2=-1解析 ∵(y-2)(y-3)=12,∴y2-5y-6=0,∴(y-6)(y+1)=0,∴y1=6,y2=-1.13.a<-解析 ∵一元二次方程x2-2x-3a=0无实根,∴Δ=(-2)2-4×1×(-3a)<0,∴a<-.14.20解析 设每件商品降价x元,∵该商品单价每降低1元,商场平均每天可多售出2件,∴降价x元,可多售出2x件,每件的利润为(50-x)元,由题意得(50-x)(30+2x)=2 100,化简得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20.∵该商场为了尽快减少库存,∴x=20.三、解答题15.解析 (1)原方程整理,得(x-3)2=(5-2x)2,∴x-3=5-2x或x-3=-(5-2x),∴x1=,x2=2.(2)方程两边同时乘x2-1,得2+(x+1)=x2-1,整理,得x2-x-4=0,∴x1=,x2=.经检验x1=,x2=是原分式方程的解,∴原方程的解为x1=,x2=.16.解析 (1)由题意,得m2-3m=0,解得m=0或m=3.又因为m≠0,所以m=3.(2)本题借助(1)中求得的m值来解关于x的一元二次方程.当m=3时,原方程为3x2+6x=0,∴x(3x+6)=0,解得x1=0,x2=-2.17.解析 (1)当a=2时,原方程为x2+4x+4=0,解得x1=x2=-2.(2)证明:∵a2-4a+5=(a-2)2+1≥1>0,∴a2-4a+5≠0,故无论a为何实数,(a2-4a+5)2+2ax+4=0都是一元二次方程.18.解析 (1)根据题意得m≠0且Δ=[-(2m-1)]2-4m(m-2)>0,解得m>-且m≠0,所以m的取值范围为m>-且m≠0.(2)把x=0代入方程mx2-(2m+1)x+m-2=0,得m-2=0,解得m=2,此时方程为2x2-3x=0,∴x(2x-3)=0,∴x1=0,x2=,即方程的另一个根为.19.解析 (1)25+a2+a2=25+2a2,-16-3a-3a=-16-6a.答:从初始状态按键2次后A区显示的结果为(25+2a2),B区显示的结果为(-16-6a).(2)依题意,得25+4a2+(-16-12a)=1,化简,得a2-3a+2=0,解得a1=1,a2=2.答:a的值为1或2.20.解析 (1)证明:Δ=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2,∵(k-2)2≥0,∴Δ≥0,∴无论k取何实数,方程总有实数根.(2)根据题意,得x1+x2=k+2,x1x2=2k,将x=x1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得-(k+2)x1+2k=0,∴=(k+2)x1-2k.∵-2x1+kx2=4,∴(k+2)x1-2k-2x1+kx2=4,∴kx1-2k+kx2=4,∴k(x1+x2)-2k=4,∴k2=4,∴k1=-2,k2=2.∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴k≠2,∴k的值为-2.21.解析 (1)无盖长方体纸盒盒底的长为(12-2x)dm,宽为(6-2x)dm.(2)依题意,得(12-2x)(6-2x)=40,整理,得x2-9x+8=0,解得x1=1,x2=8(不合题意,舍去).答:剪去的正方形的边长为1 dm.22.解析 (1)由题意得每天可销售70-(140-130)×1=60(件),商场可盈利60×(140-120)=1 200(元).(2)设每件商品的售价应定为x元,由题意得[70-(x-130)×1]×(x-120)=1 500,解得x1=150,x2=170.∵70-(150-130)×1=50>40, 70-(170-130)×1=30<40,∴x=150.故每件商品的售价定为150元时,每天可盈利1 500元.
