中考数学一轮知识复习和巩固练习考点16 勾股定理及其逆定理（能力提升） (含详解)

考向16   勾股定理及其逆定理

【知识梳理】

考点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

方法指导：

勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

3.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

③可运用勾股定理解决一些实际问题.

考点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

方法指导：

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；

③用含字母的代数式表示组勾股数：

（为正整数）；

　（为正整数）

（，为正整数）.

考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【专项训练】

一、选择题

1．将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（    ）.　

A. 3cm 　　　B. 6cm　　　 C. 3cm 　　　D. 6cm
 

2．在△中，若，则△是（    ）.
　　. 锐角三角形 　 . 钝角三角形　　　 . 等腰三角形 　 . 直角三角形

3. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（    ）.
　　A. 　　　 B. 　　　 C.　　　D.3
　　
    4.如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（   　）.
　
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．无法确定

5. 如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm

6. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）.

A.90     B．100       C．110           D．121 

二、填空题

7. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．
　

8. 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5),则结论：①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是______________.
　　

9.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是　     　cm．

10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________.

11．观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32=4+5；

列举：5、12、13，猜想：52=12+13；

列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…
列举：13、b、c，猜想：132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________.

12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为________________．

三、解答题

13. 作长为、、的线段.

14. 如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．
    求：1)河宽AD(结果保留根号)；
        2)公路CD的长;
    　　3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。
    　　
    　

15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，求PQ的长？

16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

答案与解析

一．选择题

1.【答案】D.

【解析】过点A作AH垂直于纸带边沿于点H，
　　　　　在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，
　　　　　∴AC=2AH=6,
　　　　　再在等腰直角△ABC中，∵AC=6, ∠B=45°，
　　　　　∴AB=.
　　　　　故选D.

2．【答案】D.

【解析】因为=4，所以，
　　　　　，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形, 答案选D.

3．【答案】C．

【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3
　　　　　在Rt△CDE中，DE=,
　　　　　延长AB至F，使AB=BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，
　　　　　这时候PA+PD取最小值，
　　　　　∵AD∥BC，B是AF中点，
　　　　　∴
　　　　　在Rt△ABP中，AP=
　　　　　∵
　　　　　∴=,故选C.

4．【答案】A.

【解析】圆的面积为，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可.

5．【答案】A．

【解析】（1）如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；

（2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，

Rt△ADP中，AP==6cm．

综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．故选A．

6．【答案】 C.

二．填空题

7．【答案】2，，，4，.

【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有2，，，4，.
　　

8．【答案】①； ②； ③ .

【解析】令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此时点P与点A重合，可得AO=5，AF=2.

9．【答案】.

【解析】如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，

由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，

在Rt△B′DC中，B′D===8cm，

∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，

设BE=x，则B′E=BE=x，

AE=AB﹣BE=6﹣x，

在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，

即（6﹣x）2+22=x2，

解得x=，

在Rt△BEF中，EF===cm．

故答案为：．

10．【答案】27+13．

【解析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．

11.【答案】 84,85.

【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．

12．【答案】.

【解析】直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1=OB=，

在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B=2，过点O作高，交A1B与M，连接AM，
则△AOM是直角三角形，则AM=A1B=，OM==，
∴△OA1B的面积=A1B•OM=．

三.综合题

13．【解析】

作法：如图所示
　　　　　　　　　　
　　（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
　　（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt。斜边为；
　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、.

14．【解析】1).过B作BF⊥AD交DA延长线于F，
　　　　　在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB，
　　　　　∴ BF=6，，
　　　　　在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
　　　　　∴ DF=BF=6，
　　　　　∴
　　　　　2).过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8，
　　　　　∴ DC=CG+DG=14.
　　　　　3).设CE=x，则方案一、二费用分别为：
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　由可解得
　　　　　∴ 当＜CE＜14时，方案一较省；
　　　　　当0＜CE＜时，方案二较省；
　　　　　当CE=时，方案一、二均可．

15．【解析】

解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．

在△ABC和△GFC中

，

∴△ABC≌△GFC（SAS），

∴∠CGF=∠BAC=30°，

∴∠HGQ=60°，

∵∠HAC=∠BAD=90°，

∴∠BAC+∠DAH=180°，

又∵AD∥QR，

∴∠RHA+∠DAH=180°，

∴∠RHA=∠BAC=30°，

∴∠QHG=60°，

∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，

∴△QHG是等边三角形．

AC=AB•cos30°=4×=2，

则QH=HA=HG=AC=2，

在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2×=3，AM=HA•cos60°=，

在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．

∴QR=2+3+4=7+2，

∴QP=2QR=14+4．

故答案为：14+4．

16. 【解析】

（1）变小；
（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4cm
连接FC，设FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°

∴在Rt△FDC中，DC=4
∴AD=AC-DC=12-4
∴AD=12-4时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）当FC为斜边时，
由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=；
（II）当AD为斜边时，
由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时，
由AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另解：BC不能为斜边，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15,°
理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线，交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4，PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°;
解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足为H．
∴HE=EF=2
CE=AC-AD-DE=8-x
且FC2=（12-x）2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=

又（）2=（）2=
∴（）2=，即=

整理后，得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4＜0（不符合题意，舍去）
x2=4+4＞8（不符合题意，舍去）
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°．