2022-2023学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）第一次月考数学试卷

2022-2023学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（每题4分，共32分）

1．（4分）已知是锐角，且，那么的度数为　　

A． B． C． D．无法确定

2．（4分）实数，，，，，，中无理数的个数有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（4分）如图，在中，点是上一点，且，，，则长为　　

A．5 B．6 C．9 D．

4．（4分）兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为　　

A． B． 

C． D．

5．（4分）在中，，，，那么的值是　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　

A．0 B． C．1 D．

7．（4分）如图，已知网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的值是　　

A． B． C． D．

8．（4分）如图，矩形中，，，将沿折叠，点落到点，此时交于，则　　

A． B． C． D．

二、填空题（每题4分，共20分）

9．（4分）在中，，若，则的值为 　　．

10．（4分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为 　　．

11．（4分）在中，，，，则的长为 　　．

12．（4分）如图，是斜边上的高，其中，，则　　．

13．（4分）如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为1，则的面积为 　　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14．（12分）计算下列各题：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

15．（8分）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．

（参考数据：，．结果精确到

16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，点，点的纵坐标为．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式．

（2）求的面积．

（3）观察图象，写出时，自变量的取值范围．

17．（10分）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．

（1）试判断的形状；

（2）若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？

（3）在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？

18．（10分）如图1，在正方形中，，分别为，的中点，连接，，交点为．

（1）求证：；

（2）将沿对折，得到（如图，延长交的延长线于点，求的值．

一、填空题（每小题4分，共20分）

19．（4分）已知：是反比例函数，则　　．

20．（4分）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 　　．

21．（4分）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 　　．

22．（4分）如图，点、分别是的、边上的点，，，于，四边形的面积为8，，　　．

23．（4分）如图，中，，，，，则线段长度为 　　．

二、解答题（共30分）

24．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降价0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价出售．若张阿姨想要这种水果每天盈利300元，请你帮她算算每斤的售价应为多少元？

25．（10分）已知：如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

26．（12分）在平面直角坐标系中，，，，

（1）直接写出点的坐标；

（2）已知、分别为线段、上的点，，，直线交轴于点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，在轴上方是否存在另一个点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年四川省成都市武侯区西川中学九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共32分）

1．（4分）已知是锐角，且，那么的度数为　　

A． B． C． D．无法确定

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．

【解答】解：由为锐角，且，那么等于，

故选：．

2．（4分）实数，，，，，，中无理数的个数有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

【解答】解：，，，，

其中，是无理数，

故选：．

3．（4分）如图，在中，点是上一点，且，，，则长为　　

A．5 B．6 C．9 D．

【分析】通过证明，可得，即可求解．

【解答】解：，

，

，，

，

，

，

，

故选：．

4．（4分）兴义市2014年财政总收入为60亿元，2016年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】2016年财政总收入年财政总收入增长率），把相关数值代入即可．

【解答】解：2015年财政总收入为，

2016年财政总收入为，

可列方程为，

故选：．

5．（4分）在中，，，，那么的值是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用正切的定义求解．

【解答】解：，

．

故选：．

6．（4分）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为　　

A．0 B． C．1 D．

【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案．

【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为，

，且，

则的值为：．

故选：．

7．（4分）如图，已知网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的值是　　

A． B． C． D．

【分析】连接，过点作于，根据三角形的面积和的长可得，再根据正弦的定义可得答案．

【解答】解：连接，过点作于，

由题意可知，，，，

，

，即，

，

故选：．

8．（4分）如图，矩形中，，，将沿折叠，点落到点，此时交于，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由折叠的性质可知，，，

，

，

，

，

，

在中，，即，

解得，，

，

，

故选：．

二、填空题（每题4分，共20分）

9．（4分）在中，，若，则的值为 　　．

【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义进行计算即可．

【解答】解：令中，、、所对的边分别为、、，

，，

可设，，

，

，

故答案为：．

10．（4分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为 　　．

【分析】根据勾股定理求出斜坡的水平宽度，再根据坡度的概念计算即可．

【解答】解：由勾股定理得：斜坡的水平宽度为：（米，

则这个坡面的坡度，

故答案为：．

11．（4分）在中，，，，则的长为 　10　．

【分析】根据锐角三角函数的定义求出，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：如图：

，，，

，

，

，

．

故答案为：10．

12．（4分）如图，是斜边上的高，其中，，则　　．

【分析】根据射影定理得到，然后利用算术平方根的定义得到的长．

【解答】解：是斜边上的高，

，

即，

．

故答案为：．

13．（4分）如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为1，则的面积为 　12　．

【分析】由四边形是平行四边形，易证得，又由点是中点，的面积为1，即可求得的面积，继而求得答案．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，

点是中点，

，，

的面积为1，

，

，

，

．

故答案为：12．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14．（12分）计算下列各题：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【分析】（1）首先移项，然后配方，继而求得答案；

（2）利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简即可求得答案；

（3）利用因式分解法求解即可求得答案；

（4）提取公因式，利用因式分解法求解即可求得答案．

【解答】解：（1），

，

，

，

，

解得：，；

（2）原式

；

（3），

，

或，

解得：，；

（4），

，

，

或，

解得：，．

15．（8分）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．

（参考数据：，．结果精确到

【分析】在中，根据的坡度为，可求出的长，再在中，根据的坡度为，可求出的长，然后利用，进行计算即可解答．

【解答】解：在中，

的坡度为，

，

米，

在中，

的坡度为，

，

（米，

（米，

背水坡新起点与原起点之间的距离约为14.6米．

16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，点，点的纵坐标为．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式．

（2）求的面积．

（3）观察图象，写出时，自变量的取值范围．

【分析】（1）把点坐标代入反比例函数的解析式中，求出的值，再根据反比例函数解析式求得点，然后根据两点式即可求出一次函数的解析式，

（2）首先求出一次函数与轴的交点坐标，然后再根据求面积；

（3）根据图象即可求得．

【解答】解：（1）将代入中，得，

解得，

反比例函数为，

将代入得，，

，

将，代入得，

解得，

一次函数为；

（2）把代入得，，解得，

，

；

（3）观察图象，时，自变量的取值范围是或．

17．（10分）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．

（1）试判断的形状；

（2）若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？

（3）在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；

（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解；

（3）由二次函数的性质可求解．

【解答】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，

△，

，

是直角三角形；

（2），，

，

，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

四边形的面积，

或5，

当点出发1秒或5秒时，四边形的面积为．

（3）四边形的面积，

当时，四边形的面积的最大值为．

当点出发3秒时，四边形的面积最大，最大面积是．

18．（10分）如图1，在正方形中，，分别为，的中点，连接，，交点为．

（1）求证：；

（2）将沿对折，得到（如图，延长交的延长线于点，求的值．

【分析】（1）运用，再利用角的关系求得求证；

（2）沿对折，得到，利用角的关系求出，解出，求解．

【解答】（1）证明：，分别是正方形边，的中点，

，

在和中，

，

，

，

又，

，

，

；

（2）解：根据题意得，，，，

，

，

，

，

令，则

在中，设，

，

，

．

一、填空题（每小题4分，共20分）

19．（4分）已知：是反比例函数，则　　．

【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令、即可．

【解答】解：因为是反比例函数，

所以的指数，

即，解得：或；

又，

所以，即．

故答案为：．

20．（4分）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 　220　．

【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．

【解答】解：如图：

过点作的垂线，垂足为点．

，

设，，

，

可设，，

，

，

，

由，得．

则．

故．

故答案是：220．

21．（4分）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 　16或22　．

【分析】首先证明△，再利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．

【解答】解：△，

，

，

无论取什么实数值，，

△，

即无论取什么实数值，方程总有实数根；

解方程，

因式分解得：，

解得：，，

，恰好是这个方程的两个实数根，设，，

当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；

当、为腰，则，解得，

，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；

当、为腰 则，

，

三角形的周长为：．

综上，三角形的周长为16或22．

故答案为：16或22．

22．（4分）如图，点、分别是的、边上的点，，，于，四边形的面积为8，，　5　．

【分析】过作于，过作于，由，设，则，，根据即得，，而是等腰直角三角形，知，由，即得，，又四边形的面积为8，即得，解得，从而．

【解答】解：过作于，过作于，如图：

，

，

设，则，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在中，，

是等腰直角三角形，

，

，，，

，

，

在中，，

四边形的面积为8，

，

，即，

解得或（舍去），

，

故答案为：5．

23．（4分）如图，中，，，，，则线段长度为 　10　．

【分析】过点作于点，过点作于点．，可以假设，，推出，，，根据的长，构建方程，可得结论．

【解答】解：过点作于点，过点作于点．

，

可以假设，，

，，

，，

，，，

，

，，

，

，

．

二、解答题（共30分）

24．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降价0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价出售．若张阿姨想要这种水果每天盈利300元，请你帮她算算每斤的售价应为多少元？

【分析】设每斤水果降价元，则每天多售出斤，根据每日利润每斤利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据每天至少售出260斤，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可确定的值，此题得解．

【解答】解：设每斤水果降价元，则每天多售出斤，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，．

，

，

不合题意，舍去．

．

答：若张阿姨想要这种水果每天盈利300元，则每斤的售价应为3元．

25．（10分）已知：如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【分析】（1）由三角函数定义求出，由勾股定理得出，，求出，由三角函数定义即可得出答案；

（2）过作交于点，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，，即可得出答案．

【解答】解：（1），

，

在中，，，

，由勾股定理得：，

，

，

；

（2）过作交于点，如图所示：

，，

，

，

，，

，

设，则，，

．

26．（12分）在平面直角坐标系中，，，，

（1）直接写出点的坐标；

（2）已知、分别为线段、上的点，，，直线交轴于点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点是直线上的一点，在轴上方是否存在另一个点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过作于点，在中，利用勾股定理可求得的长，则可求得点坐标；

（2）由条件可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；

（3）当为边时，则或，可求得点坐标，由，且可求得点坐标；当为对角线时，则垂直平分，则可求得、的纵坐标，则可求得的坐标，利用对称性可求得点坐标．

【解答】解：

（1）如图1，过作于点，

，，

，

在中，由勾股定理可得，即，解得，

，

；

（2）由可知，

，，

，

设直线的解析式是

把，，代入得，

直线的解析式是；

（3）当为菱形的边时，则，且，

在直线上，

设，

①当点在点上方时，如图2，则有，

，

，解得或，

当时，与重合，舍去，

，

；

②当点在点下方时，如图3，则有，

，解得或，

当时，点在轴下方，不符合题意，舍去，

，，

，；

当为对角线时，则垂直平分，

点在直线上，

在中，令可得，

，

、关于轴对称，

，

综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或，．