模拟卷10 立体几何——【新高考】2023年高考数学专题模拟卷汇编（原卷版+解析版）

模拟试卷汇编10：立体几何解析版

一、单选

1.（2022年广东省高三大联考模拟试卷） 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）.

A.  B.

C.  D.

4.（2022年福建省德化一中高三模拟试卷） 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积最大为

D. 过A点分别作于点E，于点F，则

5. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. （2022年江苏省高三模拟试卷）在空间直角坐标系中，已知圆在平面内，．若的面积为，以为顶点，圆为底面的几何体的体积为，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则“阳马”的体积最大为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

8.（2022年河北省高三大联考模拟试卷） 如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（    ）

A. 三角形的面积无最大值、无最小值

B. 存在点，满足

C. 存在有限个点，使得三角形是等腰三角形

D. 三棱锥的体积有最大值、无最小值

9. （2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. （2022年广州市第十七中学高三模拟试卷）在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选

12. （2022年广州番禺高三模拟试卷）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为，下列说法正确的是（    ）

A. 三棱柱的体积是

B. 三棱柱的表面积是18

C. 直线与直线成角的余弦值是

D. 点到平面的距离是

13.（2022年江苏省高三模拟试卷） 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆.F为圆E上一点，G为棱BB1上一点（不可与B，B1重合），H为棱A1B1的中点，则（    ）

A. |HF|∈[2,] B. △B1EG面积的取值范围为(0,]

C. EH和FG是异面直线 D. EG和FH可能是共面直线

14. （2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，，分别为，的中点.则下列说法正确的是（    ）

A. 直线与平面所成角为

B. 平面平面

C. 正四棱柱的外接球半径为

D. 以为球心，为半径的球与侧面的交线长为

15.（2022年广东省佛山市高三模拟试卷） 在直角梯形中，，，，为中点.以为折痕把折起，得到四棱锥，如图所示，则（    ）

A. 平面

B. 当时，平面平面

C. 当时，面与面的夹角的正切值为

D. 当时，与面所成的角为

16. （2022年广州附属中学高三模拟试卷）棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，若，则下列说法中正确的有（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 二面角的正切值的取值范围为

C. 当时，平面截正方体所得截面为等腰梯形

D. 当时，EG与平面所成的角最大

17. （2022年广东省高三大联考模拟试卷）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确的是（    ）

A. 当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值

B. 记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为

C. 当点P为中点时，异面直线与所成角为

D. 当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为

18. （2022年福建省德化一中高三模拟试卷）如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（   ）

A. 棱上总会有一点，使得平面

B. 存在某个位置，使得与所成角为锐角

C. 一定是二面角的平面角

D. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是

19. （2022年广州第十七中学高三模拟试卷）已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O．点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，平面分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（    ）

A. 四边形EMGH的周长为是变化的

B. 四棱锥的体积的最大值为

C. 当时，平面截球O所得截面的周长为

D. 当时，将正四面体ABCD绕EF旋转后与原四面体的公共部分体积为

20. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（    ）

A. 面面

B. 线段长度的取值范围为

C. 直线和所成的角始终为

D. 当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部

21.  （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）

A. 当平面时，与可能为

B. 当时，的最小值为

C. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为

D. 当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为

三、填空题

22. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.

23. （2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．

24. （2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值是______

25. （2022·福建省高三模拟试卷）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_________.

26. （2022年河北省承德市高三模拟试卷）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④直线与平面所成的角为定值；⑤以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化.

27. （2022年河北省高三大联考模拟试卷）《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.

28. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是__________.

29. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图一个正三棱锥的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为________.若一个正三棱柱的顶点分别在三条棱上，分别在底面△ABC上，此三棱柱的侧面积最大值为________.

四、简答题

30. （2022年福建省福州市高三模拟试卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PAB是边长为2的等边三角形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．

（1）求证：PD⊥AB；

（2）若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．

31. （2022年江苏省高三模拟试卷）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面α、平面β的交线分别为圆A、圆B．

（1）若平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，证明：；

（2）若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值．

32. （2022年河北省南宫中学高三模拟试卷）为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

（1）类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，求此四面体的体积；

（2）已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体（设）时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.

33.（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷） 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．

(1)求证：EF∥平面AA1B1B；

(2)若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．

34. （2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，

（1）求与所成的角

（2）平面与平面所成的锐二面角余弦值

35．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））四棱锥中，底面是边长为的正方形，，点P在底面的射影为点O，且，点M是的中点．

(1)求证：；

(2)在线段上，是否存在点N，使二面角的余弦值为？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由．

36. （2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.

（1）若点是的中点，证明：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

37.（2022年广州附属中学高三模拟试卷）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

38. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,于点，连接.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

39.（2022年河北省高三大联考模拟试卷）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.

（1）证明： ；

（2）若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.

40. （2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.

（1）求证：平面；

（2）若侧面底面，且，，求平面与平面的夹角的余弦值.

41.（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”   (如图2)。

（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；

（2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.

42. （2022年福建省德化一中高三模拟试卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．

（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长．

43.（2022·福建省高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

44. （2022年广州第十七中学高三模拟试卷）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．

（1）求证：平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．

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45. （2022年河北省承德市高三模拟试卷）已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝，E为PD中点，AF⊥PC，垂足为F．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AB与CE所成的角；

（3）求证：PD⊥EF．