【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——03 函数及其表示、函数的性质 （原卷版 解析版）

重难点01  函数及其表示、函数的性质

1.求函数定义域的两种方法

2求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法

求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．

3.函数值域与最值求法

①配方法； ②换元法；③利用函数有界性求值域（最值）；④不等式法；⑤利用判别式求值域（最值）；⑥数形结合法；⑦分段函数的值域；⑧复合函数的值域。

2023高考仍重点考查分段函数求值、不等式、方程问题，注意函数定义域、值域与最值方法的复习.函数的性质以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．若集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数在上是减函数，所以，

所以，

因为函数在上是增函数，所以，

所以，

所以.

故选：B.

2．与函数有相同图象的一个函数是（    ）

A． B．

C．，其中 D．，其中

【答案】D

【解析】选项A：，图象为折线.判断错误；

选项B：，图象上无原点.判断错误；

选项C：，图象为无端点射线.判断错误；

选项D：，与函数有相同图象.判断正确.

故选：D

3．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，

等价于对于任意两个不相等的实数，总有.

所以函数一定是增函数.

故选：C

4．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

5．设，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得.由得.

故选：B．

6．函数和的定义域均为R，“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的（    ）

A．必要条件但非充分条件 B．充分条件但非必要条件

C．充分必要条件 D．非充分条件也非必要条件

【答案】B

【解析】因为函数和的定义域均为R，若，都是奇函数，

则，

所以与的积是偶函数，

反过来，若与的积是偶函数，推不出，都是奇函数，

如， ，两个函数既不是奇函数，也不是偶函数，

所以“，都是奇函数”是“与的积是偶函数”的充分条件但非必要条件.

故选：B.

7．与曲线关于原点对称的曲线为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，

则点关于原点的对称点在曲线上，所以，，

化简得，

因此，与曲线关于原点对称的曲线为.

故选：A.

8．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

9．已知是上的减函数，那么a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得：

是上的减函数

解得：

故 a的取值范围是

故选：C

10．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设，则，故排除D.

故选：A.

11．若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（    ）

A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）

C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)

【答案】D

【解析】函数分别是上的奇函数、偶函数,

，

由，得，

，

，

解方程组得，

易知在上单调递增，所以，

又

所以.

故选：D

12．关于函数，有下面四个结论：

①是奇函数；             ②当时，恒成立；

③的最大值是；         ④的最小值是．

其中正确结论的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】对①，，则为偶函数，故①错误；

对②，当，故②错误；

对③，，而，则，又，于是，故③错误；

对④，，当x=0时，同时取到最大值1和1，则的最小值是，故④正确.

故选：A.

二、填空题

13．函数的定义域是_________．

【答案】

【解析】因为，所以，解得且，

故函数的定义域为；

故答案为：

14．已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

15．设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．

【答案】

【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，

因为当时，，

所以，

故答案为：

16．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.