2023玉溪高二上学期期末考试数学含解析

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玉溪市2022-2023学年上学期高二年级教学质量检测

数  学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则的虚部为（    ）

A. B. C. D.1

3.欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（    ）

A. B. C. D.

4.过点的直线与圆：相交于，两点，弦长的最小值为（    ）

A.1 B. C.2 D.

5.已知等比数列满足，，，则的值为（    ）

A.4 B. C.8 D.

6.已知直线：和直线：，则的充要条件为（    ）

A. B. C. D.或

7.碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量与死亡年数的函数关系式是（其中为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的60%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：，）（    ）

A.2292年 B.3580年 C.3820年 D.4728年

8.若，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.如图1，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.函数的部分图象如图2所示，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.的图象关于点对称

C.在上单调递增

D.若将的图象向右平移个单位长度，则所得图象关于轴对称

11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，记为双曲线的离心率，为的周长，若直线与另一条渐近线交于点，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

12.如图3，在棱长为2的正方体的表面上有一动点，则下列说法正确的是（    ）

A.当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值

B.当点在线段上运动时，与所成角的取值范围为

C.使得与平面所成角为45°的点的轨迹长度为

D.若是线段的中点，当点在底面上运动且满足平面时，线段长的最小值为

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：

第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

三、填空题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.为估计某中学高一年级男生的身高情况，随机抽取了25名男生身高的样本数据（单位：cm），按从小到大排序结果如下

164.0  164.0  165.0  165.0  166.0  167.0  167.5  168.0  168.0  170.0

170.0  170.5  171.0  171.5  172.0  172.0  172.5  172.5  173.0  174.0

174.0  175.0  175.0  176.0  176.0

据此估计该中学高一年级男生的第75百分位数约为______.

14.若正数，满足，则的最小值是______.

15.已知等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正弦值是______.

16.已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知数列是递增的等比数列，为的前项和，满足，

（I）求的通项公式；

（II）若数列，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

已知中，三个内角，，的对边分别为，，，且满足

（I）求；

（II）如图4，点在延长线上，且，，，求的面积.

19.（本小题满分12分）

2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图5所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.

（I）根据测试得分频率分布直方图，求的值；

（II）根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；

（II）猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.

20.（本小题满分12分）

如图6，三棱柱为直三棱柱，侧面是正方形，，为线段上的一点（不包括端点）且

（I）证明：；

（II）当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值

21.（本小题满分12分）

已知，，，设

（I）若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为，求；

（II）当函数在定义域内存在，，使，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知曲线：，且点和点在曲线上.

（I）求曲线的方程；

（II）若点为坐标原点，直线与曲线交于，两点，且满足，试探究：点到直线的距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由

玉溪市2022—2023学年上学期高二年级教学质量检测

数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）令等比数列的公比为，

因为，，，所以

又数列是递增的等比数列，

所以（舍）或2，，

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

故数列的前项和

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ），

由正弦定理得，

即

∵，

∴

又∵，

∴

（Ⅱ）设，则，

在中，

得

则的面积

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

解得

（Ⅱ）语文平均分的近似值为，

所以，语文平均分的近似值为79.2.

（Ⅲ）中位数大于平均数.

因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.

注：其他合理的理由也得分.

20.（本小题满分12分）

（Ⅰ）法一：

证明：连接，在直三棱柱中，

∵，

∴（正方形对角线互相垂直）.………………………………………………（2分）

又∵且，

∴平面，

∴

又∵，

∴平面，

∴，又∵，

∴

法二：

证明：设，

，

∵，

∴，

即

又∵点不与的端点重合，

∴

∴，即.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，

，，，，

，，

设平面的法向量为

可求得

设直线与平面所成角为，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

又因为函数相邻的对称轴距离为，

所以，即，

得，

所以

（Ⅱ）函数在上为“互补函数”，

函数在定义域内存在，

使

①当，即时，显然成立；

②当，即时，显然不成立；

③当时，即时，

或者

或者

解得的取值范围为，

综上所述，

22.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）法一：

由已知及点在曲线上，

得：

解得：

所以曲线的方程为

法二（优化方程）：

由已知可设曲线的方程为，

因为及点在曲线上，

得：

解得：

所以曲线的方程为

（Ⅱ）设，，

若直线斜率存在，设直线的方程为，

则：

得

由已知，得

由知，

又点到直线的距离，

所以，

且当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，

而且，代入方程，可得，

所以直线的方程为，

此时点到直线的距离，

综上所述，点到直线的距离为定值.