高考数学二轮精品专题三 三角函数与解三角形（理） (2份打包，教师版+原卷版)

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专题 3
××

三角函数与解三角形






命题趋势

1．三角函数的考查大多为三角函数性质与图象的考查，其中三角函数图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，难度中等偏简单．
2．解三角形的考查常与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的综合使用，利用三角恒等变换进行化简等，难度中等偏简单．


考点清单

一、三角函数
1．公式
（1）扇形的弧长和面积公式：
如果半径为的圆的圆心角所对的弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是．
相关公式：①
②
（2）诱导公式：

正弦
余弦
正切
































（3）同角三角函数关系式：
，
（4）两角和与差的三角函数：






（5）二倍角公式：



（6）降幂公式：
，
2．三角函数性质
性质


奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
最值
在时，；
在时，
在时，；
在时，
对称中心


对称轴


正切函数的性质
图象特点
定义域为
图象与直线没有交点
值域为
图象向上、向下无限延伸
最小正周期为
在区间上图象完全一样
在内是增函数
图象在内是上升的
对称中心为
图象关于点成中心对称
3．函数的图象及变换
（1）对函数的图象的影响

（2）对的图象的影响

（3）对的图象的影响

4．函数的性质
（1）函数中参数的物理意义

（2）函数的有关性质


二、解三角形
1．正余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容

(为外接圆半径)
；
；

变形形式
，，
；
，，
；
；

；
；

2．利用正弦、余弦定理解三角形
（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．
（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．
在中，已知，和角时，解得情况如下：

为锐角
为钝角或直角
直角图形




关系式




解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中为锐角时，，无解．
为钝角或直角时，，均无解．
（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．
（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
3．三角形中常用的面积公式
（1）(表示边上的高）；
（2）；
（3）（为三角形的内切圆半径）．
4．解三角形应用题的一般步骤





精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．若角的终边在直线上，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为角的终边在直线上，所以，
即，即，所以，
所以
，
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．关键点是：构造齐次式，使问题相对容易求解．
2．若将函数的图象向右平移个单位长度，平移后图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得的函数为，
由，得，
当时，，故选B．
【点评】本题主要考 查三角函数的图象的平移变换，以及对称性，属于基础题．
3．将函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，则该函数在上的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移个单位长度后得到，
令，，得，，
令，得，
因为，所以，
所以函数在上的单调递增区间是，故选B．
【点评】已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为或的形式，然后将看成一个整体，根据与的单调区间列不等式求解．
4．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象知，，∴，则，
∴，
将点的坐标代入得，，即，
又，∴，则，
将的图象向左平移个单位得到函数，
∴在上的最小值为，故选A．
【点评】本题主要考了三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质及应用，主要考查学生的运算能力，
转换能力属于基础题．
5．已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】，
由，得，．
作出函数在上的图象如图：

由图可知，，．
故选B项．
【点评】本题考查正弦型函数的化简及其图象与性质，属于简单题．
6．已知函数，下列说法正确的是（ ）
①函数是周期函数；
②是函数图象的一条对称轴；
③函数的增区间为；
④函数的最大值为．
A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】为函数的一个周期，故①正确；
因为，所以不是函数的对称轴，故②不正确；
，
令，得，
所以函数的增区间为，故③正确；
，，不妨取，
又因为求最大值必有，所以只需考虑，
又可由，
得在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为，故④正确，
故选D．
【点评】本题主要考查了求三角函数的性质，包括周期性，对称轴，单调性和最值．属于中档题．
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，∴，
，解得，
又，解得，
当时，解；
当时，，可得，
，故答案为A．
【点评】本题考查函数的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题．
8．在中，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】有正弦定理得，
所以，
所以



．
其中，
由于，所以，
故当时，的最大值为故选B．
【点评】要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值．

二、填空题．
9．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，
由余弦定理得，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，
即的面积的最大值为，故答案为．
【点评】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
（1）从题目给出的条件，边角关系来选择；
（2）从式子结构来选择．
10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的范围是______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
由，，解得，
时，增区间为；时，增区间为，
若函数在区间和上均单调递增，
则，解得，
故答案为．
【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，考查余弦函数的单调性，掌握余弦函数的单调性是解题关键．
11．对于函数，下列说法：
①函数是奇函数；
②函数是周期函数，且周期是；
③函数的值域是；
④函数在上单调递增．
其中正确的是_________．（填序号）
【答案】④
【解析】∵
，
∴不是奇函数，①不正确；
∵
，
但是
，
所以是周期函数，但是不是它的周期，故②不正确；
当，时，，
当时，；
当，时，
，
所以函数值域为，故③不正确；
当时，，显然单调递增，因此④正确，
故答案为④．
【点评】本题考查了三角函数的性质及图象，采用数型结合的思想进行解题，难度中等．

三、解答题．
12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）因为，，，
所以，即，
因为，所以，
所以．
【点评】本题的重点是第一问，难点也是第一问，涉及三角恒等变形的灵活掌握，如降幂公式，，，中，等公式的灵活应用．
13．的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
∵，所以，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得．
（2）由，得，
∵，∴，
由，得，∴，
当且仅当时，等号成立．
又，当且仅当时，等号成立，
∴，当且仅当时，等号成立．
即的最小值为．
【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．
14．在中，角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求外接圆的面积；
（2）若边上的中线长为，求的周长．
【答案】（1）；（2）9．
【解析】（1）因为，
又，即，所以，
由，得，
设外接圆的半径为，则，
所以外接圆的面积为．
（2）设的中点为，则．
因为，
所以，
即，
又，，则，
整理得，解得或（舍去），则，
所以的周长为9．

【点评】本题第二问的关键是结合向量加法运算，用向量表示中线所在的向量．
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足．
（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为，
由正弦定理，得，
所以，所以．
又因为，，所以或．
若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾，
所以．
（2）由（1）知，所以．
因为，所以，则，
可得．
又因为
，
所以．
因为，所以，所以，
所以，解得，
又，得．
【点评】此题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式，考查转化能力和计算能力，属于中档题．
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由二倍角公式，
得，解得或 (舍去)，
得．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
则，所以的周长为．
【点评】解三角形时，当给出一组对边和对角时，求面积或周长时，往往使用余弦定理，并结合形如的公式，求解．
17．如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米．

（1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1），，；（2）平方米．
【解析】（1）在PME中，，米，，，
由正弦定理得，
所以，
同理在PNE中，由正弦定理得，
所以，
当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，
，所以．
（2）PMN的面积S
，
因为，所以当，
即时，取得最小值为，
所以可视区域PMN面积的最小值为平方米．
【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键是．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．

高频易错题

一、选择题．
1．函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于函数，
令，，解得，，
可得函数的单调递减区间为，，
令，可得选项B正确，故选B．
【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要求函数的单调递增区间，
只需求函数的单调递减区间，
由题意可得，，解得，，
∴原函数的单调递增区间为，故选D．
【点评】本题考查三角函数的单调性，复合函数的单调性，熟记余弦函数的单调性，准确计算是关键，
属基础题．

二、填空题．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，是锐角，且，，则的面积为______．
【答案】
【解析】由，得，
∵，，∴，∴，
又为三角形的内角，∴或，
又，∴，于是．
由余弦定理得即，
解得，故．
∴，故答案为．
【点评】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．

精准预测题

一、选择题．
1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下面叙述正确的是（ ）
A．的周期为 B．图象的一条对称轴是
C．图象的一个对称中心为 D．在上单调递减
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数．
对于A项，的周期为，故A错误；
对于B项，因为，所以不是对称轴，故B错误；
对于C项，由，解得，则不是对称中心，故C错误；
对于D项，令，函数在上单调递减，
则在上单调递减，故D正确，
故选D．
【点评】解决本题的关键在于将余弦型函数的性质转化为余弦函数的性质进行处理，将未知的问题利用已知的知识进行求解．
2．（多选）函数 (，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
C．若把函数的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数
D．，若恒成立，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对A，由题意知：，，
，，即，
（），（），
又，，
，所以A正确；
对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的函数，
，，
在上不单调递增，故B错误；
对C，把的图象向左平移个单位，
则所得函数为，是奇函数，故C正确；
对D，对，恒成立，
即，恒成立，
令，，
则，
，，
，，
的最小值为，故D正确，
故选ACD．
【点评】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．
3．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，且B必为锐角，
可得或，即角或角为钝角；
反之，当，时，
，而，所以不成立，
所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，故选．
【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，
属于综合题．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，即，即，
，故选C．
【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题．
5．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
在中由正弦定理得，即，
所以，
又因为在中，，
所以，故选D．
【点评】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题．

二、填空题．
6．已知函数，现有以下命题：
①是偶函数；②是以为周期的周期函数；
③的图象关于对称；④的最大值为．
其中真命题有________．
【答案】①②④
【解析】①函数定义域为，关于原点对称，
，
所以函数是偶函数，所以①正确；
②，
所以是以为周期的周期函数，所以②正确；
③，
所以的图象不关于对称，所以③错误；
④令，所以，
因为，所以，即时，，
则函数的最大值为，所以④正确，
所以真命题为①②④，故答案为①②④．
【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

三、解答题．
7．在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，根据正弦定理有．
所以，
所以．
因为为三角形内角，所以，所以，
因为为三角形内角，所以．
（2）由，，根据正弦定理有，
所以，．
所以，
当时，等号成立，所以的最大值为．
另解：（2）由，，
根据余弦定理有，即，
因为，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
【点评】正弦定理化边为角或化角为边，是解决这类问题的重要手段，需要熟练掌握．
8．已知函数 (，，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积．

（1）求的角的大小；
（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值．
【答案】（1）；（2）最小正周期为，．
【解析】（1），由余弦定理得，
又，，即，
，．
（2）由题意得，，，，
由余弦定理，得，即，
设边与轴的交点为则为正三角形，且，
函数的最小正周期为，，
，
又点在函数的图象上，
，即，即，
，即，
又，．
【点评】（1）求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos( ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；
（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
9．已知在中，．
（1）求角的大小；
（2）若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为4，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为．
【解析】（1）∵，∴，∴，
又，∴，
即，解得．
又，∴．
（2）∵的外接圆半径为4，所以由正弦定理得，
∵，∴，，
又与的内角平分线交于点，∴，∴，
设，则，，
在中，由正弦定理得，
得，，
∴的周长为．
∵，∴，
∴当，即时，的周长取得最大值，为，
∴周长的最大值为．
【点评】解决解三角形问题的关键是灵活运用正弦定理､余弦定理求边和角，如果给出的等式中既有边又有角，则可考虑利用正弦定理将已知等式转化为关于边或关于角的关系式进行求解，若给出的等式是关于边的二次式，则一般需利用余弦定理求解．