天津市滨海新区大港第三中学2022-2023学年高三上学期线上期末检测数学试卷(含答案)

2022-2023学年高三第一学期线期末检测试卷  数学学科

（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）

一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合则（ ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为，，，，这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（    ）

A. 175 B. 375 C. 75 D. 550

5. 已知，，则（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.         B.    C.  D.

8. 设函数，其中所有正确结论的编号是（    ）

(1)的最小正周期为；

(2)的图象关于直线对称；

(3)在上单调递减；

(4)把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象．

A. （1）(2) B. (2)(3) C. (3)（4） D. （1）（2）（3）

9.  定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

10.  若复数，则_______．

11.  已知圆：，则过点的圆的切线方程是________．

12.  在的二项展开式中，的系数为          用数字作答

13. 已知为正实数，则的最小值为______.

14. 为进一步做好新冠疫情防控工作，某地组建一只新冠疫苗宣传志愿者服务队，现从2名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取2人作为队长，则在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是________；若用表示抽取的2人中女志愿者的人数，则________.

15.  在中，，，，点在线段上点不与端点、重合，延长 到，使得，为常数，

(ⅰ)若，则          ；

(ⅱ)线段的长度为          ．

三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分 在中，角所对的边分别是，已知．

（1）求角的大小；

（2）设

①求的值；

②求的值．

17. 本小题分如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

（III）求二面角的正弦值．

18. 本小题分已知椭圆的离心率为，其左顶点为，上顶点为，右焦点为，若．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点为椭圆上的动点，且在第一象限运动，直线的斜率为，且与轴交于点，过点与垂直的直线交轴于点，若直线的斜率为，求出值．

19.  本小题分若为等差数列，为等比数列，．

（1）求和的通项公式；

（2）对任意的正整数，设求数列的前项和．

（3）记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数 的取值范围．

20. 本小题分已知函数，.

（1）当时，求函数在点处的切线；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：时，.

参考答案

单选1-5 A B A B B  6-9CBAA

填空 10.   11.   12.    13. -4．14.1/3,6/5    15.

16.因为，由正弦定理可得：，则，

因为在中，，所以，

则有，因为，所以，，

故.

①由（1）知：，在中，因为，

由余弦定理可得：，则.

②在中，由正弦定理可得：，即，

所以，因为，所以，则为锐角，

所以，则，

，

所以

17.（I）证明见解析；（II）；（III）.

【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,,,,,，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，

所以,,,

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

因为，所以，

因为平面，所以平面；

（II）由（1）得，，

设直线与平面所成角为，

则；

（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的正弦值为.

18.（1）；    （2）不存在.

 (1)设右焦点为.

由题意可得：，解得：.

所以椭圆的方程为.

(2)由椭圆的方程为可得：，则直线.

因为点为椭圆上的动点，且在第一象限运动，所以.

由，消去可得：

因为，所以，解得：，代入直线，解得：，所以.

由直线解得：.

因为过点与垂直的直线交轴于点，所以直线，解得：.

因为直线的斜率为，所以，整理得：，解得：（舍去）.

因为，所以.

又，所以这样的不存在.

【答案】（1）,   

（2）   

（3）

【解析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

因为，，

所以，

解得d=1.

所以的通项公式为.

由，

又，得，

解得，

所以的通项公式为.

（2）

当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

①

由①得 ②

由①②得，

，

，

所以.

所以.

所以数列的前2n项和为.

（3）

因为,且,

而,故

即,可得,对于恒成立

令,

当时, ,即,所以,

当时, ,即

所以所以

20.（1）

当时，，，

所以，故在点处的切线为，即

（2），即在上恒成立，

设，注意到，

，令，

则在增函数，且，

所以恒成立，即单调递增，

其中，

若，则恒成立，此时单调递增，又，

所以恒成立，

即在上恒成立，即结论成立；

若，则，

又，

故由零点存在性定理可知，在内存在，使得，

当时，，所以单调递减，又，

所以当时，，即，不合题意，舍去；

综上：实数的取值范围是

（3）构造函数，

，

令，

则，

当时，恒成立，

所以在上单调递增，

所以，故在单调递增，

，即，

构造函数，，

，

所以在上为单调递增，

所以，即

所以，

即时，，证毕

【点睛】证明不等式常用放缩法，常用的放缩有，，，，等.