泰州市兴化市西南片学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份泰州市兴化市西南片学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

泰州市兴化市西南片学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
（考试用时：120分钟 满分：150分）
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1. 据了解，某定点医院收治的6名“新型冠状肺炎”患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，3天，4天，5天，则这6名患者新冠病毒潜伏期的众数为（　　）
A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天
2. 已知，则等于（　　）
A. B. C. D.
3. 将二次函数的图像向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
4. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A 4 B. 4.5 C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（ ）

A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共132分）
二、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7. 一个圆的半径是，点在圆上，那么点到该圆圆心的距离为_______ cm．
8. 已知四条线段4，，2，3成比例，若为整数，则______．
9. 九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有______个班．
10. 某班在一次数学考试中，“乘风组”的平均成绩为80分，“破浪组”的平均成绩为86分．若“乘风组”人数是“破浪组”的2倍，则该班此次数学考试的平均成绩是_________．
11. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________．

12. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．
13. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____．

14. 一副三角板按如图叠放，与的直角顶点A，D重合，斜边BC，EF的重叠部分为EC，已知=45°，=30°，则CF：BE=________．

15. 如图，四边形内接于，是直径，，，，则的直径等于________．

16. 已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时的取值范围是______．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程：．
18. 随着交通道路不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门根据2021年国庆期间A、B、C、D、E等旅游景点接待游客的情况，绘制出下面两幅不完整的统计图：

（1）2021年国庆期间，该市旅游景点共接待游客多少人？“其它”景区所占的百分比是多少？
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数
19. 已知抛物线经过点．
（1）求a的值，并将抛物线的表达式写成的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移n个单位，再向下平移n个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为　 　；（用含字母n的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求n的取值范围．
20. 如图1，在等边中，点，分别在，上，且，连接，交于点，将绕着点顺时针旋转得到，连接．

（1）①________．
②求证：．
（2）如图2，连接，若，求证：．
21. 交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．


（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
22. 如图，在等边中，点、分别在、边上．

（1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
（2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
23. 已知，矩形中，点F上，连接交于点E．

（1）若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
（2）若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
24. 某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系．收集相关数据如下表．
原料的质量
12
15
18
27
30
加工费/万元
424
43
43.6
45.4
46
销售价/(万元/t)
16
15
14
11
10

（1）直接写出与之间、与之间的函数关系式；
（2）已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t．设销售总额为P（单位：万元）．
①直接写出与之间的函数关系式；（友情提示，销售总额＝成品的质量×销售价）
②问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？
③问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？
25. 如图1、已知A、B、D在上，经过点O且与垂直垂足为点H，点F是线段上的一个动点（不与H，B重合），连接并延长与交于点C，过点C作的切线交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）如图2，连接，已知，当时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的值．
26. 如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案与解析
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1. 据了解，某定点医院收治的6名“新型冠状肺炎”患者的新冠病毒潜伏期分别为2天，3天，3天，3天，4天，5天，则这6名患者新冠病毒潜伏期的众数为（　　）
A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵这组数据中出现次数最多的数是3天，
∴这6名患者新冠病毒潜伏期的众数是3天；
故选：B
【点睛】本题考查的知识点是众数概念，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．掌握众数的定义是解此题的关键．
2. 已知，则等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：A．
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出是解题的关键．
3. 将二次函数的图像向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数平移的规律解答即可．
【详解】将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为，再向右平移3个单位长度得到的抛物线的表达式为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律是解题的关键.即“上加下减，左加右减”．
4. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．
5. 如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A. 4 B. 4.5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知可得，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据点D的运动速度求出第2022秒结束时点D的位置，再证明，利用全等三角形的性质求出FG，OG的长度，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴的周长为．
，，
∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D位置相同，正方形BDEF的位置相同．
∵ ，
∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为．
连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示．


设，则，
∴ ．
即．
∵ ，
∴ ．
又∵，
∴．
又∵
∴ ．
∴．
∴，
∴点F的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查点的运动规律、正方形的性质、弧长的计算、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据点D的运动速度求出第2022秒结束时点D的位置．
第二部分 非选择题（共132分）
二、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7. 一个圆的半径是，点在圆上，那么点到该圆圆心的距离为_______ cm．
【答案】
【解析】
【分析】圆上点到圆心的距离等于圆的半径，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，点在圆上，圆的半径是，
∴点到该圆圆心的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的点与圆的位置关系，当点在圆外，点到圆心的距离大于半径；当点在圆上，点到圆心的距离等于半径；当点在圆内，点到圆心的距离小于半径，解题的关键是看点到圆心的距离与圆半径的关系．
8. 已知四条线段4，，2，3成比例，若为整数，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义列出等式，再根据比例的基本性质即可求解．
【详解】四条线段4，，2，3成比例，
，解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了比例线段，正确列出等式并求解是解题关键．
9. 九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有______个班．
【答案】14
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），设A组有x个班，则可得方程，计算出A组班数乘以2，即可得到答案．
【详解】解：设A组共有x个班级．依题意得：

解得：
∴九年级共有个班级．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数（队数），进而得出方程是解题关键．
10. 某班在一次数学考试中，“乘风组”的平均成绩为80分，“破浪组”的平均成绩为86分．若“乘风组”人数是“破浪组”的2倍，则该班此次数学考试的平均成绩是_________．
【答案】82
【解析】
【分析】设“破浪组”的人数为x，则“乘风组”的人数为2x，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：设“破浪组”的人数为x，则“乘风组”的人数为2x，由题意得：
（分）；
故答案为82．
【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．
11. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
12. 若一组数据的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据这组数的平均数及众数求出中一个是5，另一个是6，再利用方差公式计算即可．
【详解】∵一组数据的平均数为6，众数为5，
∴中至少有一个是5，
∵一组数据的平均数为6，
∴，
∴，
∴中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键．
13. 在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】设 则 且 再利用，列方程，解方程可得答案.
【详解】解：设 则 且
，

整理得：
解得：
经检验：不符合题意，舍去，则

故答案为：
【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，分式方程的解法，掌握“黄金分割比的含义”是解本题的关键.
14. 一副三角板按如图叠放，与的直角顶点A，D重合，斜边BC，EF的重叠部分为EC，已知=45°，=30°，则CF：BE=________．

【答案】
【解析】
【分析】过A作AG⊥BC于点G，通过解直角三角形，分别求得CF，BE长，从而求解．
【详解】解：如图，过A作AG⊥BC于点G，
由题意得，，，，

设EG=t，在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴．
同理，在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴CF：BE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，通过作垂线段，构造直角三角形是解题的关键．
15. 如图，四边形内接于，是直径，，，，则的直径等于________．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到，然后得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后列方程求出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴，即
∵
∴
∵是直径，
∴，
∴
∴设
∴，解得
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角的性质，三角函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16. 已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作BD⊥AC于D．根据二次函数的解析式和对称性求出OA和AC的长度，再根据等腰三角形的性质和等角对等边求出BD的长度，最后通过数形结合思想确定OA 【详解】解：如下图所示，过点B作BD⊥AC于D．

∵二次函数的解析式为，
∴当x=0时，y=-4a，二次函数的对称轴是直线．
∴．
∴OA=4a．
∵点在二次函数的图象上，且轴，
∴点A与点C关于直线x=1对称．
∴．
∴AC=2．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC为斜边，BD⊥AC，
∴∠BAD=45°，∠BDA=90°，AD=CD=．
∴∠ABD=45°．
∴∠BAD=∠ABD．
∴BD=AD=1．
∵等腰直角三角形的边与轴有两个公共点，
∴OA ∴4a<1．
∴．
∵a>0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的对称性，等腰三角形的性质，等角对等边，正确应用数形结合思想是解题关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）利用公式法，解一元二次方程．
【详解】解：（1）原式


；
（2），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的混合运算，以及解一元二次方程．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及利用公式法解一元二次方程，是解题的关键．
18. 随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门根据2021年国庆期间A、B、C、D、E等旅游景点接待游客的情况，绘制出下面两幅不完整的统计图：

（1）2021年国庆期间，该市旅游景点共接待游客多少人？“其它”景区所占的百分比是多少？
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数
【答案】（1）；．
（2）补全条形统计图见解析，．
【解析】
【分析】（1）由A景区接待的游客的人数有15万人，占比，可得游客的总人数，再由4除以总人数可得“其它”景区所占的百分比；
（2）先求解B景点接待的游客人数，再补全统计图即可，再由A景点所占的百分比乘以可得扇形的圆心角．
【小问1详解】
解：该市旅游景点共接待的游客人数为：（万人）．
“其它”景区所占的百分比是：．
【小问2详解】
B景点接待的游客人数：（万人），
所以补全条形统计图为：

A景点所对应的圆心角的度数为：．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形图中获取信息，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19. 已知抛物线经过点．
（1）求a的值，并将抛物线的表达式写成的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移n个单位，再向下平移n个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为　 　；（用含字母n的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求n的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）把点代入抛物线，求出a的值，再转化成顶点式即可；
（2）①根据平移的规律解答；②求出顶点坐标，根据题意列出不等式解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴ ，
解得．
∴抛物线表达式为
写成的形式为：．
【小问2详解】
解：①根据平移规律．
②由①得，新抛物线得顶点坐标为，
又顶点在第四象限，
∴，
∴n的取值范围为．
【点睛】本题主要考查定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
20. 如图1，在等边中，点，分别在，上，且，连接，交于点，将绕着点顺时针旋转得到，连接．

（1）①________．
②求证：．
（2）如图2，连接，若，求证：．
【答案】（1）①60；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定得出为等边三角形，即可得出的性质．
②利用证出，得出，再利用三角形外角的性质得出，再利用平行线的判定即可．
（2）利用，得出，得出比例式即可．
【小问1详解】
解：①∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：60；
②证明：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，

∴，
∴，，
∴．
∵
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21. 交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．


（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）760米
（2）未超速，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别解，求得，根据即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．
【小问1详解】

四边形是平行四边形

四边形是矩形，

在中，

在中，


答：，两点之间的距离为760米；
【小问2详解】
，
小汽车从点行驶到点未超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22. 如图，在等边中，点、分别在、边上．

（1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）
（2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明．
【答案】（1）图见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆与相交的点即为所求；
（2）由（1）易知，设，建立方程，解方程即可．
【小问1详解】
以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆，交于、

如图，点、即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点有两个，
当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点只有一个，
当该方程没有实数根时，对应满足条件的点不存在（这段话不需要写出来）
∵只能作出唯一的点，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比建立方程．
23. 已知，矩形中，点F在上，连接交于点E．

（1）若于点E，如图1．
①证明：；
②若，求的度数；
（2）若，点F是的中点，连接，如图2，求的值．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据四边形为矩形性质，证明；②根据四边形为矩形性质，证明，证得，，设，则，通过相似得到，根据三角函数，求得；
（2）过点F作于H，设，则，由勾股定理得： ，面积相等，解得： ，解得．
【小问1详解】
①证明：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
则，
∴；
【小问2详解】
解：过点F作于H，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵点F是的中点，
∴，
则，
∵，
∴，
解得： ，
则．

【点睛】此题考查了为矩形性质、三角形相似、三角函数，解题关键是熟悉矩形性质、三角形相似、三角函数的相关知识．
24. 某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系．收集相关数据如下表．
原料的质量
12
15
18
27
30
加工费/万元
42.4
43
43.6
45.4
46
销售价/(万元/t)
16
15
14
11
10

（1）直接写出与之间、与之间的函数关系式；
（2）已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t．设销售总额为P（单位：万元）．
①直接写出与之间的函数关系式；（友情提示，销售总额＝成品的质量×销售价）
②问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？
③问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？
【答案】（1），．
（2）①．
②原料质量为19吨或29吨．
③当时，万元．
【解析】
【分析】（1）根据题意和表中数据建立一次函数模型，然后分别代入两组数值，即可求出关系式；
（2）①根据：销售总额＝成品的质量×销售价列出函数关系式即可；
②根据总利润=销售总额-总成本-加工费，即可列出关于总利润的函数关系式，然后代入70.2求出x即可；
③根据总利润的函数关系式，利用顶点坐标即可求出最大销售利润及此时的原料质量．
【小问1详解】
∵加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系，
∴可以设，，
再分别选取两组值代入，列出方程组：
，
∴，
∴，
同理，有：
，
∴，
∴．
【小问2详解】
①．
②∵，
令，则，解得：，，
∴原料质量19吨或29吨．
③∵，，开口向下，对称轴是直线，
∴当时，万元．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，属于利润问题，正确理解题意并根据题意和所给数据列出相应的函数关系式是解题关键．
25. 如图1、已知A、B、D在上，经过点O且与垂直垂足为点H，点F是线段上的一个动点（不与H，B重合），连接并延长与交于点C，过点C作的切线交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）如图2，连接，已知，当时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解； （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得到 ，根据，可得 ，根据可得，即可得到证明；
（2）易得 ，从而得到 ，从而得到 即可得到证明；
（3）由（1）得， ，再证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是的切线，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，且与都是弧 所对圆周角，
∴，
∵，且过圆心，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴；
【小问3详解】
解：由（1）得，
∴
∵，
∴ ，
∴，
连接，

∵是的切线，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
解得：
∴
∴．
【点睛】本题考查相三角形性质及判定，垂径定理，等腰三角形性质，解题的关键是找到到相似三角形成立的条件．
26. 如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②，定值为，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；
（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．
【小问1详解】
解：∵当时，，
∴，是的两根，，
∴，
解得：，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，
；

②设，
直线，，
因此可得：
或，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．