2023高考数学复习专项训练《直线的倾斜角与斜率》

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2023高考数学复习专项训练《直线的倾斜角与斜率》一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l：x+3y-3=0的倾斜角α为()A、π6B、2π3C、π3D、5π6A. π6 B. 2π3 C. π3 D. 5π62.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是()A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u→,ν→，且n→=(1,2,-2),ν→=(2,1,2)，则α⊥βB. 若直线l的方向向量为e→=(1,0,3)，平面α的法向量为n→=(-2,0,23)，则直线l//αC. 若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线3.（5分）下列四个命题中，正确的是()A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB=2，AD=1，AA1=3，则B1F的最小值为()A、0B、1C、2D、3A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.（5分）若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行，则它们之间的距离为()A. 22 B. 522 C. 322 D. 26.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()A. 22 B. 11 C. 23 D. 37.（5分）已知是k∈R，直线y-3=k(x+2)总经过点( )A. (2,-3) B. (-2,3) C. (-2,0) D. (0,3)8.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=2AB=2AA1，则异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为()A. 66 B. 63 C. 55 D. 12二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则()A. AB→与AC→是共线向量B. AB→的一个方向向量是(2,1,0)C. AB→与BC→夹角的余弦值是-5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)10.（5分）已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A. l的一个方向向量为n→=(3,1) B. l的一个法向量为m→=(1,3)C. l与直线3x-3y+2=0平行 D. l与直线3x+y+2=0垂直11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()A. 点P到平面A1BC1的距离为定值B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值12.（5分）已知直线l：(a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R，下列说法正确的是( )A. 当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直B. 若直线l与直线x-y=0平行，则a=0C. 直线l的倾斜角一定大于30°D. 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等13.（5分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1中点，O为BD1中点，以下说法正确的是()A. OM//平面ABCD B. OM//平面BCC1B1C. OM⊥平面BB1D1D D. OM⊥平面BCC1B1三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知空间直角坐标系中点P(2,1,3)，若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则点Q的坐标为 ______.15.（5分）若点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点，则a2+(b+1)2的最小值为 ______.16.（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，沿对角线AC将△ABC折起，使二面角B-AC-D的平面角的大小为2π3，则B与D之间距离为 ______.17.（5分）已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y-2z+1=0，直线l是两个平面x-y+3=0与x-2z-1=0的交线，试写出直线l的一个方向向量为 ______，直线l与平面α所成角的余弦值为 ______.18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线l过点P(2,-3). (1)若直线l与直线x+2y+3=0垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程．20.（12分）如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=6，AB⊥AC，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，AO=22.D是侧棱CC1中点，BD∩CB1=E. (1)证明：OE//平面AA1C1C； (2)F，E，C1三点在同一条直线上吗？说明理由，求FEEC1的值．21.（12分）在ΔABC中，∠C的平分线所在直线l的方程为y=2x，若点A-4,2,B3,1. (1)求点A关于直线l的对称点D的坐标； (2)求AC边上的高所在的直线方程； (3)求ΔABC的面积.22.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC为等边三角形，PB=BC=4，AC=23，∠ABC=60°. (1)平面PAC⊥平面ABC； (2)点D是棱BC上一点，当BD→=25BC→时，求二面角B-PA-D的余弦值．23.（12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB//DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，(k>0) (1)求证：CD⊥平面ADD1A1 (2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值 (3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)答案和解析1.【答案】null;【解析】解：由于直线l：x+3y-3=0， 故直线的倾斜角α满足：tanα=-33， 由于α∈[0,π), 故α=5π6. 故选：D. 直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果． 此题主要考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：对于A，u→⋅ν→=2+2+(-2)×2=0，所以u→⊥ν→，A正确； 对于B，e→⋅n→=-2+0+2=0，所以e→⊥n→，则直线l//α或l⊂α，B错误； 对于C，对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，满足14+14+12=1， 则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则这两个向量共线，所以D正确． 故选：B. 由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.【答案】B;【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误； B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确； C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误； D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误． 故选：B. 根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D. 此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．4.【答案】null;【解析】解：以点C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  则A1(2,1,0)，设E(2,0,m)，F(0,1,n)，3⩾m⩾0，3⩾n⩾0， 则A1E→=(0,-1,m),EF→=(-2,1,n-m)， 因为EF⊥A1E，所以A1E→⋅EF→=0，即-1+m(n-m)=0，化简得mn=1+m2， 当m=0时，显然不符合题意， 当m>0时，n=1m+m⩾21m⋅m=2，当且仅当1m=m，即m=1时等号成立，故B1F的最小值为2. 故选：C. 建立空间直角坐标系，设E(2,0,m)，F(0,1,n)，m⩾0，n⩾0，表示出A1E→,EF→，根据垂直得到A1E→⋅EF→=0，即可得到mn=1+m2，再分m=0和m≠0两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得． 此题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．5.【答案】C;【解析】 此题主要考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出m的值，属于基础题． 根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．  解：根据题意，直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行， 则有1m=-11，m=-1， 则两直线的方程为x-y+1=0与直线x-y+4=0， 则它们之间的距离d=|4-1|1+1=322， 故选：C.6.【答案】B;【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)， 又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)， ∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13， ∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11. 故选：B. 根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可． 此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．7.【答案】B;【解析】解：直线y-3=k(x+2)， 当x=-2时，y=3， 故直线y-3=k(x+2)总经过点(-2,3). 故选：B. 利用直线的点斜式方程进行分析求解即可． 此题主要考查了直线方程的理解和应用，主要考查了直线恒过定点问题，要掌握求解直线恒过定点的方法，属于基础题．8.【答案】A;【解析】解：如图，   因为CC1//BB1，所以∠CC1A即为异面直线AC1与BB1所成角， 设AD=2，则AB=AA1=1，在长方体中AC1=AB2+AD2+AA12=6， 在Rt△ACC1中，cos∠CC1A=CC1AC1=66， 故选：A. 根据长方体中的平行关系可得∠CC1A即为异面直线AC1与BB1所成角，解直角三角形即可得解． 此题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．9.【答案】BCD;【解析】解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)， 对于A，AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)，∵2-1≠12，∴AB→与AC→不是共线向量，故A错误； 对于B，∵AB→=(2,1,0)，则直线AB的一个方向向量是(2,1,0)，故B正确； 对于C，BC→=(-3,1,1)，则cos=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=2×(-3)+1×1+0×111×5=-5511，故C正确； 对于D，由选项A知，向量AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)不共线，令n→=(1,-2,5)， 则n→·AB→=2×1+1×(-2)=0，n→·AC→=-1×1+2×(-2)+1×5=0，∴n→⊥AB→,n→⊥AC→， ∴n→=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量，故D正确． 故选：BCD. 根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果． 此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】null;【解析】解：直线l的倾斜角等于30°， 则直线l的斜率为tan30°=33， 对于A，直线l的斜率为33， 则直线l的一个方向向量为n→=(3,1)，故A正确， 对于B，法向量m→=(1,3)与直线l不垂直，故B错误， 对于C，直线3x-3y+2=0的斜率为33，故C正确， 对于D，直线3x+y+2=0的斜率为-3， 则-3×33=-1， 故l与直线3x+y+2=0垂直，故D正确． 故选：ACD. 根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解． 此题主要考查方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，属于基础题．11.【答案】ABC;【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1， 所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确； 对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1， 又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值， 所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确； 对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B， 所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确； 对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变， 所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定， 即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误． 故选：ABC. 利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．12.【答案】AC;【解析】解：对于直线l：(a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R， 当a=-1时，此直线l即：x-y+1=0，它的斜率为1，而直线x+y=0的斜率为-1，故它与直线x+y=0垂直，故A正确； 若直线l与直线x-y=0平行，则直线l的斜率a2+a+1=1，求得a=0或a=-1，故B错误； 直线l的斜率为a2+a+1=(a+12)2+34⩾34，故直线l的倾斜角大于arctan34，而arctan34>30°，故C正确； 当a=0时，直线l即：x-y+1=0，在两坐标轴上的截距相反，故D错误， 故选：AC. 由题意，根据直线的方程确定直线的斜率和倾斜角、截距，从而得出结论． 此题主要考查由直线的方程确定直线的斜率和倾斜角、截距，属于基础题．13.【答案】AC;【解析】解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为2，则M(2,0,1)，O(1,1,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，OM→=(1,-1,0)， 由于DD1⊥平面ABCD，DC⊥平面BCC1B1，AC⊥平面BB1D1D， 则平面ABCD，平面BCC1B1，平面BB1D1D的法向量可分别取a→=(0,0,1)，b→=(0,1,0)，)，c→=AC→=(-2,2,0)， 对于A：由于OM→·a→=0，且OM⊈平面ABCD，故OM//平面ABCD，A正确； 对于B：OM→·b→=-1≠0，故B错误； 对于C：c→=-2OM→，即OM→//c→，故OM⊥平面BB1D1D，C正确； 对于D：OM→与b→不共线，故D错误， 故选：AC.  建立空间直角坐标系，根据平行垂直的等价条件计算判断． 此题主要考查空间线面位置关系，属于基础题．14.【答案】（0，0，3）;【解析】解：∵点P(2,1,3)， ∴若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则只需PQ⊥z轴， ∴Q点竖坐标为3，即点Q的坐标为(0,0,3). 故答案为：(0,0,3). 在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，只需PQ⊥z轴，即可求解． 此题主要考查空间中的点的坐标求解，属于基础题．15.【答案】4;【解析】解：a2+(b+1)2可看成(a-0)2+(b-(-1))2的平方， ∵点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点， ∴点(0,-1)到直线3x-y+3=0的距离为d=|0+1+3|3+1=2， 故a2+(b+1)2的最小值为4. 故答案为：4. a2+(b+1)2可看成(a-0)2+(b-(-1))2的平方，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 此题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．16.【答案】1055;【解析】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，如图，  ∵矩形ABCD，AB=1，BC=2，∴AC=AB2+BC2=5， ∴12×AB×BC=12×AC×BE，∴BE=DF=255，AE=CF=55，∴EF=355， ∵沿对角线AC将△ABC折起，使二面角B-AC-D的平面角的大小为2π3， ∴cos=-12， ∵BD→=BE→+EF→+FD→， ∴BD→2=(BE→+EF→+FD→)2=BE→2+EF→2+FD→2+2BE→·EF→+2EF→·FD→+2BE→·FD→ =45+95+45+2×255×255×12 =215， ∴B与D之间距离为|BD→|=1055. 故答案为：1055. 过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，由矩形ABCD，AB=1，BC=2，求出BE=DF=255，EF=355，由二面角B-AC-D的平面角的大小为2π3，求出cos=-12，再利用向量线段运算法则能求出B与D之间距离． 此题主要考查空间中两点间距离的求法，考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】（2，2，1） 659;【解析】解：已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0， 由平面α的方程为x+2y-2z+1=0，可得平面α的法向量为n→=(1,2,-2)， 平面x-y+3=0的法向量为m1→=(1,-1,0)，x-2z-1=0的法向量为m2→=(1,0,-2)， 设直线l的方向向量为m→，则{m→⋅m1→=0m→⋅m2→=0，即{x-y=0x-2z=0， 令z=1则取m→=(2,2,1)， 设直线l与平面α所成角θ，0°⩽θ⩽90°， 则sinθ=|cos〈m→,n→〉|=49×9=49,cosθ=659， 故答案为：(2,2,1)；659 由题意可得平面α的法向量，同理可得平面x-y+3=0的法向量以及x-2z-1=0的法向量，根据已知可知直线l与这两个法向量垂直，可设直线l的方向向量为m→=(x,y,z)，即得方程组，求得直线l的一个方向向量；继而利用向量的夹角公式可求得直线l与平面α所成角的余弦值． 此题主要考查了线面角的计算，属于中档题．18.【答案】26;【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)， 设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)， 则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)， 由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|， 所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26， 即△ABC的周长的最小值为26. 故答案为：26. 求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解． 此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）直线x+2y+3=0的斜率为-12， ∵直线l与直线x+2y+3=0垂直， ∴直线l的斜率为2， ∵直线l过点P（2，-3）， ∴直线l的方程为y+3=2（x-2），即2x-y-7=0． （2）若截距为0时，即直线l过原点， 则直线l方程为y=-32x，即3x+2y=0， 当截距不为0时，可设直线l的方程为xa+y-a=1， ∵直线l过点P（2，-3）， ∴2a+-3-a=1，解得a=5，即直线l的方程为x-y-5=0， 综上所述，直线l的方程为3x+2y=0或x-y-5=0．;【解析】 (1)根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． (2)根据已知条件，分截距为0，截距不为0两种情况讨论，即可求解． 此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．20.【答案】证明：（1）连接BO，并延长BO交AC于G，连接DG，  ∵AB=AC=6，AB⊥AC，F是线段BC的中点， ∴AF=32，又AO=22， ∴O是△ABC的重心， ∴BOOG=2，又D是侧棱CC1中点， ∴BB1=2CD，BEED=2， ∴OE∥GD，又OE⊄平面AA1C1C，GD⊂平面AA1C1C， ∴OE∥平面AA1C1C； 解：（2）连接AC1，则GD∥AC1，OE∥AC1， ∴A，C1，O，E四点共面，又AO∩BC=F， ∴F∈AO，F∈平面AC1OE， 又F∈BC，BC⊂平面BB1C1C， ∴F∈平面BB1C1C， 又平面AC1OE∩平面BB1C1C=C1E， ∴F∈C1E，即三点C1，E，F在一条直线上， 所以EFEC1=FOOA=12．;【解析】 (1)由题可得O是△ABC的重心，然后利用线面平行的判定定理即得； (2)由题可得A，C1，O，E四点共面，进而可得点F在平面BB1C1C与平面AC1OE的交线上，结合条件即得． 此题主要考查了直线与平面平行的判定定理，属于中档题．21.【答案】解：(1)ΔABC中，设点A关于l的对称点D(m,n)，则n-2m+4=-12n+22=2×m-42 ⇒m=4n=-2， ∴D(4,-2). (2)∵D点在直线BC上，∴直线BC的方程为3x+y-10=0， 因为C在直线y=2x上，所以3x+y-10=0y=2x ⇒x=2y=4，所以C(2,4). ∴kAC=13，所以AC边上的高所在的直线的斜率为-3， 再结合B(3,1)，可得AC边上的高所在的直线的方程为y-1=-3(x-3)，即3x+y-10=0. (3)由于AC的斜率为2-4-4-2=13，BC的斜率为1-43-2=-3，故AC⊥BC. 再根据AC=(4+4)2+(2+2)2=210，BC=(3-4)2+(1+2)2=10， ∴SΔABC=12AC×BC=12×210×10=10.;【解析】此题主要考查三角形内角平分线的性质，求一个点关于直线的对称点的方法，用点斜式求直线的方程，属于基础题． (1)设点A关于l的对称点D(m,n)，利用垂直以及中点在轴上求得、mn的值，可得点D的坐标．(2)由条件求得D的坐标，可得AC的斜率，从而求得AC边上的高所在的斜率，进而求得AC边上的高所在的方程．(3)由AC、BC的斜率互为负倒数，可得故AC⊥BC，求得AC、BC的值，从而求得ΔABC的面积． 22.【答案】解：（1）证明：在△ABC中，∵BC=4，AC=23，∠ABC=60°，设AB=t, 则由余弦定理可得12=16+t2-122×4×t，解得t=2，∴AB=2， 又△PAC为等边三角形，PB=BC=4，AC=23， ∴AB2+AC2=BC2，AB2+AP2=PB2， ∴AB⊥AC，AB⊥AP，且AC∩AP=A， ∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面ABC， ∴平面PAC⊥平面ABC； （2）根据（1）建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意可得： A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，3，3），C（0，23，0）， 又BD→=25BC→，∴D为（65，435，0）， ∴AP→=(0，3，3)，AB→=(2，0，0)，AD→=(65，435，0)， 设平面BPA与平面PAD的法向量分别为m→=(x,y,z)，n→=(a,b,c)， 则{m→·AP→=3y+3z=0m→·AB→=2x=0，{n→·AP→=3b+3c=0n→·AD→=65a+435b=0， 取m→=(0，3，-1)，n→=(2，-3，1)， 设二面角B-PA-D的平面角为θ，由图可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos＜m→，n→＞|=42×8=22， 故二面角B-PA-D的余弦值为22．;【解析】 (1)先根据余弦定理，建立方程解得AB=2，再由勾股定理证明AB⊥AC，AB⊥AP，从而得AB⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明； (2)建系，将二面角的平面角转化成两半平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解． 此题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法解二面角，向量夹角公式的应用，属中档题．23.【答案】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD， 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD， ∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1． （2）解：以D为坐标原点，DA→、DC→、D→D1的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）． ∴AC→=(-4k，6k，0)，A→B1=(0，3k，1)，A→A1=(0，0，1)． 设平面AB1C的一个法向量为n→=（x，y，z），则n→.AC→=-4kx+6ky=0n→.AB1=3ky+z=0，取y=2，则z=-6k，x=3．∴n→=(3，2，-6k)． 设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜A→A1，n→＞|=|A→A1.n→||A→A1||n→|=6k36k2+13=67，解得k=1，故所求k=1． （3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案． 写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=72k2+26k，0＜k≤51836k2+36k，k＞518;【解析】 (1)取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．(2)通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；(3)由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案 新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f(k). 此题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．