专题05 全国初中数学竞赛分类汇编卷（一） 有理数综合（简单）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题5 有理数综合（简单）

1．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2016次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（　　）

A．﹣1007 B．﹣1008 C．﹣1006 D．1007

【解答】解：一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达﹣1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2，第四次接着向左爬行了4个单位长度到达﹣2，依此类推，第2012次到达﹣1006，第2013次到达1007，第2014次到达﹣1007，第2015次到达1008，第2016次到达﹣1008，

则蚂蚁最后在数轴上﹣1008位置，

故选：B．

2．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且c﹣2a＝7，那么数轴的原点应是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

【解答】解：根据题意，知c﹣a＝4，即c＝a+4，

将c＝a+4代入c﹣2a＝7，得：a+4﹣2a＝7，

解得：a＝﹣3，

∴A点表示的数是﹣3，

则B点表示原点．

故选：B．

3．不相等的实数a，b，c在数轴上分别对应点A，B，C，若|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，则（　　）

A．B在A，C两点的右边 B．B在A，C两点的左边 

C．B在A，C两点之间 D．以上都有可能

【解答】解：根据题意得：AB+BC＝AC，

∴点B在A，C两点之间，

故选：C．

4．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+2b+3c+4d的最大值是 　﹣11　．

【解答】解：∵a+b＝c①，b+c＝d②，c+d＝a③，

由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，

∴b+d＝0④，

∵b+c＝d②；

由④+②，得2b+c＝b+d＝0，

∴c＝﹣2b⑤；

由①⑤，得a＝c﹣b＝﹣3b，⑥

由④⑤⑥，得a+2b+3c+4d＝﹣11b，

∵b是正整数，其最小值为1，

∴a+2b+3c+4d的最大值是﹣11．

故答案为：﹣11．

5．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，b的形式，又可以表示为0，，a的形式，且|x|＝3，求（a+b）2022+（ab）2021﹣（a+b﹣ab）+x2的值为 　7　．

【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，b的形式，又可以表示为0，，a的形式，且|x|＝3，

∴a+b＝0，b，a＝1，x＝3或﹣3，即x2＝9，

解得：a＝1，b＝﹣1，

则原式＝0﹣1﹣（0+1）+9＝7．

故答案为：7．

6．如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c＝0，那么的所有可能的值为　0　．

【解答】解：∵a+b+c＝0，且a，b，c是非零有理数，

∴a，b，c中有一个为负数或两个为负数，

当a，b，c中有一个为负数时，原式＝1+1﹣1﹣1＝0；

当a，b，c中有两个为负数时，原式＝1﹣1﹣1+1＝0，

故答案为：0

7．如图，数轴上标有2n+1个点，它们对应的整数是﹣n，﹣（n﹣1），…，﹣2，﹣1，0，1，2，…，n﹣2，n﹣1，n．为了确保从这些点中可以任取2006个，而且其中任何两个点之间的距离都不等于4，求n的最小值．

【解答】解：假设已取出2006个符合要求的点，显然对于任意整数k，以下结论成立：

k和k+4对应的点不可能同时被取出；

k+1和k+5对应的点不可能同时被取出；

k+2和k+6对应的点不可能同时被取出；

k+3和k+7对应的点不可能同时被取出．

也就是说，任意8个连续整数对应的点中被取出的点不超过4个．

若n＝2004，则数轴上标出的点有2004×2+1＝4009（个）由于4009＝501×8+1，

因此，当取出若干个点后，如果这些点符合题意，则这些点的个数不超过501×4+1＝2005与题意矛盾．

若n＝2005，按以下方式取点即可：取出形如8k+4，8k+5，8k+6，8k+7（k为整数，﹣251≤k≤249）的数和2004、2005两个数，这些数有501×4+2＝2006（个）且显然这些数符合题意．

综上所述，n的最小值是2005．

8．当|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，请求出|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的最小值和最大值．

【解答】解：由题意得：当|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，2≤x≤3，

当x＝2时，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|是最大值，

|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝1﹣|2﹣1|＝0，

当x＝3时，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|是最小值，

|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝1﹣|3﹣1|＝﹣1，

所以|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的最小值是﹣1，最大值是0．

9．观察下列等式：．

将以上三个等式两边分别相加，得．

（1）猜想并写出：　　．

（2）已知|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，试求：的值．

（3）探究并计算：

【解答】解：（1）；

故答案为；

（2）∵|ab﹣2|与（b﹣1）2互为相反数，

∴|ab﹣2|+（b﹣1）2＝0，

∴ab﹣2＝0，b﹣1＝0，解得a＝2，b＝1，

＝1

＝1

；

（3）原式（）

（1）

（1）

．

10．计算机硬盘容量，KB，MB，GB；1MB＝210KB，1GB＝210MB

（1）1GB为多少KB？

（2）如图所示是一名计算机D盘属性图的一部分，从中可以求出该硬盘D的容量为多少字节？合多少GB？（字节用科学记数法表示，保留三位有效数字）

【解答】解：（1）∵1MB＝210KB，1GB＝210MB，

∴1GB＝210MB＝210•210KB＝220KB．

（2）硬盘D的容量为10 086 826 855+10 093 173 145＝20 180 000 000≈2.018×1010≈2.02×1010字节，

合9.40+9.41＝18.81GB．

11．已知数轴上有A，B，C三点，分别代表﹣24，﹣10，10，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒．

（1）问多少秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位？

（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点同时相向而行，问甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（3）在（1）（2）的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回．问甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）设x秒后，甲到A，B，C的距离和为40个单位．

B点距A，C两点的距离为14+20＝34＜40，

A点距B、C两点的距离为14+34＝48＞40，

C点距A、B的距离为34+20＝54＞40，

故甲应位于AB或BC之间．

①AB之间时：4x+（14﹣4x）+（14﹣4x+20）＝40，x＝2s；

②BC之间时：4x+（4x﹣14）+（34﹣4x）＝40，x＝5s，

（2）设xs后甲与乙相遇

4x+6x＝34，

解得：x＝3.4s，

4×3.4＝13.6，﹣24+13.6＝﹣10.4

（3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，

B点距A，C两点的距离为14+20＝34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34＝48＞40，C点距A、B的距离为34+20＝54＞40，故甲应为于AB或BC之间．

①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）＝40

解得y＝2；

②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）＝40，

解得y＝5．

①甲从A向右运动2秒时返回，设y秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同．

甲表示的数为：﹣24+4×2﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×2﹣6y，

依据题意得：﹣24+4×2﹣4y＝10﹣6×2﹣6y，

解得：y＝7，

相遇点表示的数为：﹣24+4×2﹣4y＝﹣44（或：10﹣6×2﹣6y＝﹣44），

②甲从A向右运动5秒时返回，设y秒后与乙相遇．

甲表示的数为：﹣24+4×5﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×5﹣6y，

依据题意得：﹣24+4×5﹣4y＝10﹣6×5﹣6y，

解得：y＝﹣8（不合题意舍去），

即甲从A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为﹣44．