上海市闵行中学2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

上海市闵行中学2021-2022学年高二上期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 空间中两条直线的位置关系有___________.

【答案】平行、相交、异面

【解析】

【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.

【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.

故答案为：平行、相交、异面.

2. 直线的倾斜角为______．

【答案】

【解析】

【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率计算倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，，由方程可知直线斜率，则，所以．

故答案为：.

3. 一个球的体积为，则该球的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】设球的半径为，由球的体积求出的值，再由球的表面积公式即可求解.

【详解】设球的半径为，由题意可得：，所以

解得：，

所以该球的表面积为,

故答案为：.

4. 已知椭圆上一点到一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离是__________．

【答案】8

【解析】

【分析】直接利用椭圆的定义求出点到一个焦点的距离.

【详解】因为已知椭圆上一点到一个焦点的距离为2，

设点到另一个焦点的距离为m，

按照椭圆的定义，m+2=10，

解得：m=8.

故答案为：8

5. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．

【答案】

【解析】

【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．

【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,

∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．

故答案为2π．

【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.

6. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是______.

【答案】8

【解析】

【详解】试题分析：的右焦点为，所以

考点：本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.

点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.

7. 直线与圆交于、两点，则______．

【答案】

【解析】

【分析】求圆心到直线距离，利用几何法求弦长.

【详解】圆的圆心到直线的距离，

又圆的半径，则．

故答案为：

8. 二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成角的大小是____

【答案】

【解析】

【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线、分别垂直于、两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角为，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.

【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质

设异面直线、的夹角为

∵二面角为，异面直线、分别垂直于、

则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴

故答案为

【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.

9. 已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点到直线的最大距离和最小距离.

【详解】即，

所以曲线是圆心为半径为1是圆的上半部分，

如图，点是曲线上的动点，

则点到直线距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即，

点为时到直线的距离最小，最小值为．

则点到直线距离的取值范围是．

故答案为：

10. 函数的值域是______．

【答案】

【解析】

【分析】通过三角换元，转化成三角函数的值域问题.

【详解】令，则，令，

则，所以，

所以，所以，

所以函数的值域是.

故答案为：

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足．现将沿折成直二面角，若使折叠后点、距离最小，则______．

【答案】##0.6

【解析】

【分析】根据双曲线方程，结合双曲线定义及，求得，，设，在三角形中分别表示出，从而求得的三角函数表达式，当取最小值时，求得，从而得出N点的位置，求出.

【详解】在双曲线中，，则，

又，即，

又，

所以，

如图，

设，，，

则，

，

所以

，

当时，取得最小值，此时为△的角平分线，

由角平分线性质得，则，

所以，所以.

故答案为：

12. 已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）

①；②；③；④；⑤.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】对于任意，存在，使成立，即成立.①表示的是椭圆，根据椭圆关于原点中心对称判断.②表示双曲线，可取特殊点判断.③表示抛物线，根据其图象关于x轴对称判断.④根据其图形，可取特殊点判断.⑤由，可得或点，根据过原点一定有一条直线与之垂直来判断.

【详解】对于任意，存在，使成立，即.成立.

对于①，∵的图象关于原点中心对称，∴对于任意，存在，使.故为曲线；

对于②，当为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点，使.故不是曲线；

对于③，其图象关于x轴对称，的垂线一定与抛物线相交，故为曲线；

对于④，当为时，曲线上不存在点，使.故④不是曲线；

对于⑤，由可得或点，∴对于任意，存在，使.故为曲线.

故答案为:①③⑤.

【点睛】本题主要考查了各种曲线的几何性质，还考查了特殊与一般的思想，属于中档题.

二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）

13. 在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中线面角的定义即可求解.

【详解】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0，

当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为，故直线与平面所成角的取值范围是,

故选：D

14. 在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，

此时，“直线与双曲线相切”不成立

反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”

所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件

故选：．

15. 正方体中，M为的中点，P在底面内运动，且满足，则P的轨迹为

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

【答案】A

【解析】

【分析】

先确定，再在平面内以为原点建立平面直角坐标系，求出的轨迹方程，即可得到结论．

【详解】

由易知

又为的中点，则，

，

在平面内以为原点建立平面直角坐标系，设，，

由得

在底面内运动，

轨迹为圆的一部分

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.

16. 已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.

【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，

该抛物线的准线方程为，设，

由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，

如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，

，且，

所以，令，则，

所以，由，

而，

得，取得最小值，则的最小值为．

故选：B．

【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17. 如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米:

（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；

（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板?

【答案】（1）64立方米（2）80平方米

【解析】

【分析】（1）已知底面边长及高，根据正四棱锥的体积公式求解

（2）根据题意，求正四棱锥的侧面积，已知各侧面三角形的底边，再求得三角形底边上高即可，再代入面积公式求解.

【详解】（1）正方形•.

∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米.

（2）

取底面的中心，的中点，连结，，.

则平面，，

∴，，

∴，

∴.

∴侧面积.

∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板.

【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积和侧面积的求法，还考查了抽象概括的能力，属于基础题.

18. 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1).

(2).

【解析】

【详解】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，求出，D，M四点的坐标写出对于的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求解即可；（2）先根据坐标系求出平面的法向量，然后写出向量，在根据向量夹角公式即可求解.

详解：

在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．

因为，，，

所以，，        

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．  

(2)，设平面的一个法向量为．

则，得，取，得，，

故平面的一个法向量为．                 

于是，

所以直线与平面所成角的正弦值为． 

点睛：考查线线角，线面角对于好建空间坐标系的立体几何题则首选向量做法，直接根据向量求解解题思路会比较简单，但要注意坐标的准确性和向量夹角公式的熟悉，属于基础题.

19. 已知方程所表示的曲线为E，点，直线．

（1）当直线与曲线只有一个公共点时，求的值；

（2）若，求曲线上的动点到点的距离的最小值．

【答案】（1）或；

（2）

【解析】

【分析】（1）直线与曲线联立后的方程只有一个解；

（2）设，把根据二次函数求最值.

【小问1详解】

由得，

由题意得此方程只有一个实数解，

所以或，

所以或；

【小问2详解】

若，则曲线，设，

则

，所以当时，.

20. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线的右顶点为，求的面积.

【答案】(1)；(2)2；(3)

【解析】

【分析】

（1）由题意设双曲线，把已知点的坐标代入求得，则双曲线方程可求；

（2）设，，，，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得的中点坐标，代入圆的方程即可求得值；

（3）双曲线的右顶点为，当时，可得，，利用行列式计算面积，即可得答案．

【详解】(1)设，

∵过点，∴，

∴，即；

(2)设，，，，

联立，得①．

，则的中点坐标为，

代入圆，得，解得；

(3)∵，当时，①式即，

∴，，

∴.

【点睛】本题考查双曲线方程的求法、直线与圆、直线与双曲线位置关系、三阶行列式的应用，考查计算能力，是中档题．

21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过作互相垂直两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．

【答案】（1）

（2）证明见解析，定点

（3）．

【解析】

【分析】(1)根据几何位置关系可得，再根据椭圆定义求解；

(2)利用韦达定理表示出坐标，从而表示出的直线方程即可求解；

(3)利用韦达定理表示出弦长，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.

【小问1详解】

取点，则有，所以四边形是平行四边形，

所以，因为，所以，

所以动点的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以，，

所以，所以动点轨迹方程为．

【小问2详解】

当垂直于轴时，的中点，

直线为轴，与椭圆，无交点，不合题意，

当直线不垂直于轴时，不妨设直线的方程为，

，，

由，得，

所以△，

所以，，

所以，

所以，

因，以代替，得，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在轴上，

令，则，

所以，

所以直线恒过定点，

当时，，，

所以直线恒过定点，

综上所述，直线恒过定点．

【小问3详解】

由（2）得，，

所以

，

同理可得，

所以四边形的面积，

令，则，

所以，

因为，所以，

当，即时，，所以，

所以四边形的面积最小值为．