专题04 圆周运动-高考物理计算题专项突破

专题04 圆周运动

一、描述圆周运动的物理量及公式：

①平均线速度：；（平均速度）

②平均角速度：；

③转速、周期、频率关系：；

④，，；

二、匀速圆周运动的有关公式：

①向心力：；

②向心加速度：；

在解有关圆周运动的计算题时，首先要审清题目，确定研究对象，同时确定圆周运动的轨道平面，然后对题目中的几何关系、物体的运动情况和物体的受力情况（画示意图）进行分析，从而确定圆周运动的圆心、半径，物体运动的线速度、角速度，以及向心力的来源。最后根据牛顿运动定律或者圆周运动的相关知识列出方程求解即可。

1.火车转弯问题
　　在转弯处，若向心力完全由重力G和支持力的合力来提供，则铁轨不受轮缘的挤压，此时行车最安全。R为转弯半径，为斜面的倾角，  ，  所以。
（1）当时，即，重力与支持力的合力不足以提供向心力，则外轨对轮缘有侧向压力。

（2）当时，即，重力与支持力的合力大于所需向心力，则内轨对轮缘有侧向压力。

（3）当时，，火车转弯时不受内、外轨对轮缘的侧向压力，火车行驶最安全。

2.汽车过拱桥
如汽车过拱桥桥顶时向心力完全由重力提供（支持力为零），则据向心力公式得： （R为圆周半径），故汽车是否受拱桥桥顶作用力的临界条件为：，此时汽车与拱桥桥顶无作用力。

3.圆周运动中常考的临界问题

（1）水平面内圆周运动的临界问题，例如圆锥摆、转盘上的物体、火车和汽车转弯等，首先应明确向心力的来源，然后分析临界状态，通过动力学方程，，，来求解。

（2）竖直面内圆周运动的临界问题，首先要判断是轻绳模型还是轻杆模型，再针对轻绳模型或者轻杆模型进行受力分析，从而确定临界点，①轻绳最高点：，此时。②轻杆模型中轻杆最高点：时，，时，。

4.轻绳模型分析

（1）过最高点的临界条件：由可得，此时对应的最低点速度；

（2）绳不松，球不脱轨的条件：或；

（3）最低点球所受弹力：；，此时为向上的拉力或者支持力；

（4）最高点球所受弹力：过最高点时，，；绳、轨道对球的弹力，为向下的拉力或者压力。

5.轻杆模型分析

（1）过最高点的临界条件：，此时对应的最低点；

（2）球不脱轨的条件：始终不脱轨；

（3）最低点球所受弹力：，，此时为向上的拉力或者支持力；

（4）最高点球所受弹力：

①当时，，为向上的支持力；

②当时，，为向上的支持力，随的增大而减小；

③当时，；

④当时，，为向下的拉力或压力，随的增大而增大。
 

典例1：（2022·辽宁·高考真题）2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。

（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度时，滑过的距离，求加速度的大小；

（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为，滑行速率分别为，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。

【答案】（1）；（2），甲

【规范答题】（1）根据速度位移公式有

代入数据可得

（2）根据向心加速度的表达式

可得甲、乙的向心加速度之比为

甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为

代入数据可得甲、乙运动的时间为

，

因，所以甲先出弯道。

典例2：（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角=37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（）

（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；

（2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式；

（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。

【答案】（1）7N；（2）  （）；（3），，

【规范答题】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理

经过C点时

解得

（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时

解得

而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定理

可解得

则要保证小球能到F点，，带入可得

（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……

解得

   n=1,3,5, ……

又因为

，

当时，，当时，，当时，，满足要求。

即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度的值可能为，， 。

典例3：（2022·安徽省肥西中学模拟）如图，长为L的轻杆两端，各固定一个质量分别为m和2m小球AB（均可视为质点），轻杆绕距B球处的光滑转轴O，在竖直平面内沿顺时针方向自由转动。当杆转至图中水平位置时，A球的速度为v0。不计空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）A球运动到最低点时速度大小；

（2）如果A球的速度v0=，那么，当A球运动到最低点时，转轴对杆的弹力大小。

【答案】（1）v0；（2）3mg

【规范答题】（1）在A小球下降的运动中，系统重力势能的减少量为

由能量守恒可得

解得A球运动到最低点时速度大小为

（2）当A球在最低点时，由牛顿第二定律可得

解得

FA方向向上。

A、B共轴，转动角速度相同，由，可得此时B球速度为

又

v0=

当B球在最高点时，由牛顿第二定律可得

解得

由计算结果可知FB方向向上，由牛顿第三定律可知A和B对轻杆的弹力均竖直向下，则转轴对杆的弹力大小为

典例4：（2022·江苏泰州·模拟）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为g）。求

（1）赛车行驶的最大速率；

（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。

【答案】（1）；（2）

【规范答题】（1）根据题意，由牛顿定律有

解得最大速率为

（2）根据题意，由公式可得，赛车在上直道的时间为

小圆弧弯道的时间为

大圆弧弯道的时间为

则赛车绕赛道一圈的最短时间

1．（2022·辽宁·模拟）2022年北京冬奥会的成功举办让人们对滑雪这个项目越来越关注。如图所示，质量为60kg的滑雪运动员由静止开始从轨道顶端A点滑下，直轨道AB长L＝100m，加速度a=2m/s2，轨道的B端与半径R=10m的圆弧轨道相接，运动员从B端到圆弧轨道最低点的过程速率不变，g=10m/s2，求：

（1）到达B点的速度；

（2）运动员在最低点对圆弧轨道的压力。

【答案】（1）20m/s；（2）3000N，方向竖直向下

【规范答题】（1）根据运动学公式可得运动员到达B点的速度为

（2）设运动员在最低点受到轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有

解得

根据牛顿第三定律可知运动员在最低点对圆弧轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下。

2．（2022·海南·模拟）如图所示，水平圆盘直径AB与C点同线，在C点正上方h处有一可视为质点的小球沿与圆盘直径AB平行的方向以一定的初速度水平抛出，O点为圆盘圆心，已知圆盘半径为R，B、C两点间的距离为R，D为圆周边缘上一点，且OD与AB垂直，重力加速度为g，不计空气阻力。

（1）求当圆盘固定时，要使小球落在圆盘上，求速度大小范围；

（2）若圆盘绕圆心O点由图示位置沿逆时针做匀速侧周运动，经过一段时间后，小球恰好与圆盘在D点相遇，求圆盘转动线速度大小的可能值。

【答案】（1）R；（2））R、3）

【规范答题】（1）小球做平抛运动，根据

解得小球做平抛运动的时间

当小球落在B点时，初速度最小，则最小速度为

当小球落在A点时，初速度最大，则最大速度为

所以圆盘固定时，要使小球落在圆盘上，速度大小范围为

（2）根据

根据圆周运动的周期性，可知相遇时D点转过的角度为

线速度大小为

联立解得

）R、3）

3．（2022·浙江·模拟）如图所示，同一竖直平面内有三段半径均为R的光滑圆弧轨道，质量为m的物体从OA圆弧某处静止释放，经过A出后小球沿第二段BC圆弧轨道运动，经过粗糙水平面CD后，小球从D进入第三段圆弧后最终从E点飞出。已知C、D是圆弧轨道最低点，A、B是圆弧轨道最高点，物体与粗糙水平面间的动摩擦因数，求：

（1）物体从斜面下滑的角度满足什么条件，物体才不会从B点脱离轨道。

（2）如果物体从O点静止下滑，下滑到轨道D处，物体对轨道的压力。

（3）在上一问中，物体从E点飞出后，当物体到达最高点时，最高点与D点的水平距离s。

【答案】（1）；（2）5mg；（3）2.328R

【规范答题】（1）在轨道B点的最低速度满足

根据动能定理

解得

所以应该满足条件

（2）根据动能定理，从O点到D点，可得

根据向心力公式

解得

（3）从D点到E点，由动能定理可知

而在E点，水平速度和竖直速度分别为

当到达最高点时，满足

解得水平位移为

故距离D点的水平距离为

4．（2022·福建省福州第一中学模拟）抛石机是古代战场的破城重器（如图甲），可筒化为图乙所示。将石块放在长臂A端的半球形凹槽，在短臂B端挂上重物，将A端拉至地面然后突然释放，石块过最高点P时就被水平抛出。已知转轴O到地面的距离h=5m，OA=L=15m，质量m=60kg可视为质点的石块从P点抛出后的水平射程为80m，不计空气阻力和所有摩擦，取g=10m/s2，求：

（1）石块落地时速度的大小；

（2）石块到达P时对凹槽压力的大小及方向。

【答案】（1）；（2）5800N，方向竖直向上

【规范答题】（1）依题意，石块从P点抛出后做平抛运动，则有

求得石块从P点抛出到到达地面所用时间为

从P点抛出时的速度大小为

则落地时的速度大小为

（2）石块到达P时，根据牛顿第二定律有

代入数据求得，凹槽对石块的弹力为

说明凹槽对石块的弹力方向与重力方向相同，即竖直向下，根据牛顿第三定律可知，石块对凹槽压力的大小为5800N，方向竖直向上。

5．（2022·青海·模拟）如图所示，光滑水平桌面上有一小球，小球的质量m=1.0kg，小球初始位置a点距桌子右边缘处A点的距离x=0.5m；在桌子右侧竖直面内有一光滑不完整圆轨道，其圆心O和水平桌面在同一水平线上，且AOC在同一直线上，C点是水平线AO延长线与轨道的交点，B为轨道的一个端口，OB与竖直线夹角为37°，A点与B点的高度差为h=0.2m，现用恒力F水平向右拉小球，小球从静止开始运动，小球运动到桌子边缘处A点时撤去F，此后小球恰好从B点无任何碰撞进入圆轨道，已知重力加速度g=10m/s2，求：（计算结果均保留两位小数）

（1）小球进入B点时速度大小。

（2）水平拉力F的大小。

（3）小球在C点对轨道的压力。

【答案】（1）3.33m/s；（2）7.11N；（3）28.44N，水平向右

【规范答题】（1）小球从A到B过程做平抛运动，可得

在B点时的竖直分速度为

据速度偏角公式可得

联立解得

（2）在B点有

小球在桌面上滑行过程，据动能定理可得

联立解得

（3）从A点到C点过程，据动能定理可知，合外力做功为零，故C点速度大小等于v0，在C点据牛顿第二定律可得

其中

联立解得

由牛顿第三定律可知，小球在C点对轨道的压力大小为28.4N，方向水平向右。

6．（2022·江苏省木渎高级中学模拟）如图，半径的两圆柱体A和B，转动轴互相平行且在同一水平面内，轴心间的距离为s＝3.2m。两圆柱体A和B均被电动机带动以＝6rad/s的角速度同方向转动，质量均匀分布的长木板无初速地水平放置在A和B上，其重心恰好在B的正上方。从木板开始运动计时，圆柱体转动两周，木板恰好不受摩擦力的作用，且仍沿水平方向运动。设木板与两圆柱体间的动摩擦因数相同。重力加速度g＝10.0m/s2，取。求：

（1）圆柱体A、B与木板间的动摩擦因数；

（2）从开始运动到重心恰在A的正上方所需的时间。

【答案】（1）0.1；（2）2.6s

【规范答题】（1）依题意，当木板的速度等于圆柱体轮缘的线速度时，木板不受摩擦力，有

匀加速过程中滑动摩擦力提供加速度

解得

（2）木板在两圆柱体间加速过程所通过的位移为s1，有

解得

因，所以木板在两圆柱体间的运动先是作匀加速直线运动，后作匀速直线运动，可见从开始运动到重心恰在A的上方所需的时间应是两运动过程时间之和

7．（2022·浙江·模拟）目前，乒乓球运动员都使用发球机来练球。现建立如下简化模型，如图所示，水平乒乓球球台离地高度H=0.75 m，总长L=3.2 m，置于居中位置的球网高h=0.15 m，发球机装在左侧球台的左边缘中点，发球过程简化为：球从C点出发后（C点与球台等高），通过半径R=0.2 m的圆弧管道，在最高点D点水平且平行于球台中轴线发出（定义该速度为发球速度），D点在球台上方且与球台左边缘的水平距离l=0.1 m。可视为质点的乒乓球质量m=0.003 kg，运动中所受空气阻力不计，与球台的碰撞视为弹性碰撞，即碰撞后速度大小不变，碰后方向与碰前方向关于竖直线对称。发球规则为：乒乓球必须在左侧球台碰撞一次（仅限一次），跨网后能与右侧球台碰撞即视为发球成功。

（1）若发球速度为v=5 m/s，求乒乓球对D点轨道压力的大小和方向；

（2）求发球机成功发球的速度范围；

（3）现定义有效回球时间：球第一次碰撞右侧球台后至再次碰撞球台的时间间隔为有效回球时间，若第一次碰撞右侧球台后不再第二次碰撞球台，球第一次碰撞右侧球台后至球运动到球台平面以下离球台竖直高度差为0.25 m前的时间间隔为有效回球时间。则以（2）问中的最小速度和最大速度发球的有效回球时间各为多少？

【答案】（1）0.345 N，方向竖直向上；（2）；；（3）最小速度发球：t'=0.4s；以最大速度发球：

【规范答题】（1）设轨道对球的压力为F，方向向下

解得

F=0.345N

则球对轨道的压力为0.345 N，方向竖直向上；

（2）球发出后至落到球台做平抛运动，竖直位移为R=0.2 m，由

解得

t=0.2s

易得，平抛运动前0.1 s和后0.1 s的竖直位移分别为0.05 m和0.15 m，结合网高0. 15 m，经过分析可得

图一和图二分别是能够过网的最小速度和最大速度的对应情景。

易得：以图中最小速度发球。经过0. 5 s，球到达球网。

解得

显然球能够在右侧球台碰撞。此即最小成功发球速度；

同理：以图中最大速度发球，经过0. 3 s，球到达球网。

解得

易得球过网后再经过0. 3 s落到右侧球台上距离右边缘0.1 m处，故此最大速度即成功发球的最大速度。

 （3）以最小速度发球：

经分析可得：球可以在右侧球台碰撞两次，故有效回球时间为t'=0.4s

以最大速度发球：

经分析可得：球在右侧球台只能碰撞一次。故有效回球时间为球的上升时段和球的下落时段之和，显然球的上升时间为t1=0.2 s，求得球下落的竖直位移为0.45m

解得

所以有效回球时间为

8．（2022·辽宁沈阳·三模）过山车是惊险的游乐设施，在轨道的底部需要具有极大的速度。一位同学欲利用弹射装置获得足够大速度并制作了模型装置如图。倾角为37°的光滑轨道CD固定在地面上，半径为的光滑圆轨道与倾斜轨道相切于D点，轻质弹簧原长为，下端固定于C点，原长状态时上端A在圆形轨道圆心O点的正下方。现把质量分别为m和3m的P、Q滑块（可视为质点）沿轨道向上顺次放置，从A点由静止释放（未画出），两滑块运动到A、C中点B时速度再次为0，此时将滑块Q撤走，滑块P被弹簧推出，冲上圆形轨道，重力加速度为g。求：

（1）弹簧再次恢复原长时，滑块P的速度大小；

（2）滑块P运动到最高点时对圆轨道的压力。

【答案】（1）；（2）1.7mg，方向竖直向上

【规范答题】（1）从A点开始到再次回到A点的过程，由能量关系可知

解得

（2）滑块P运动从A点到最高点时，由动能定理

在最高点时

解得

根据牛顿第三定律可知滑块对圆轨道的压力

方向竖直向上。

9．（2022·浙江温州·三模）如图所示，一粗糙矩形水平板ABCD与一光滑半圆柱面CDEF相切于CD边，C、D、E、F位于同一竖直面内。沿圆柱面EF边固定一竖直挡板，物块垂直撞击挡板前后，速度方向相反、大小不变。可从A点沿水平面朝各个方向发射质量m=0.2kg的小物块（可视为质点）。已知两轨道面沿CD方向足够长，水平板AC边长L=1m，半圆柱面的圆弧半径R=0.1m，物块与水平板间的动摩擦因数。

（1）若小物块从A点以初速度沿AC方向发射，求物块运动至半圆柱轨道最高点E时（撞击挡板前），对轨道的压力大小：

（2）若小物块从A点以初速度v沿AC方向发射，为保证物块能进入半圆柱轨道且在半圆柱面内不脱轨，求其初速度v大小的取值范围：

（3）若撤去EF处的竖直挡板，令物块初速度，方向与AC边成角（未知）沿板发射。若小物块能从EF边飞出，求飞出后落地点到CD边距离d的取值范围。

【答案】（1）4N；（2）或；（3）

【规范答题】（1）由动能定理

对点

由牛顿第三定律

（2）由恰好至的过程

由恰好至圆心等高处

若恰好通过最高点

由过程

初速度大小范围

或

（3）若物块沿AC方向发射，距离最大

得

竖直方向

水平方向

物块运动至圆周最高点时，垂直EF边的分速度的最小值

垂直于CD方向

距离的取值范围

10．（2022·北京·和平街第一中学模拟）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，而跳台滑雪是冬奥会的主要比赛项目之一。如图为一简化的跳台滑雪的雪道示意图，助滑坡由AB和BC组成，AB是倾角为的斜坡，BC是半径为的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切于C，，CD为竖直跳台（高度可忽略不计），DE是倾角为的着陆坡。运动员连同滑雪装备总质量为70kg，从A点由静止滑下，通过C点水平飞出，飞行一段时间后落到着陆坡DE上的E点。运动员运动到C点时的速度大小是20m/s，CE间的竖直高度h=45m。不计空气阻力，，。求：

（1）运动员到达滑道上的C点时受到的支持力大小和加速度大小；

（2）运动员在空中飞行多长时间时离着陆坡最远；

（3）运动员在E点着陆前瞬时速度大小。

【答案】（1）2100N；；（2）1.5s；（3）

【规范答题】（1）在C点，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律

运动员受到的支持力大小

运动员的加速度大小

（2）运动员好C点后做平抛运动，当速度方向平行于着陆坡DE时，离着陆坡DE最远，则有

解得

（3）运动员经C点做平抛运动

在竖直方向

，

运动员在E点着陆前瞬时速度大小

解得

。