2023淮北高三下学期一模数学试题含解析

淮北市2023届高三第一次模拟考试

数学试题卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合和，则集合的元素个数为（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4．

2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是，则（    ）

A．  B．  C．  D．

3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）

A．三棱锥   B．四棱锥   C．三棱柱   D．组合体

4．已知则（    ）

A．  B．   C．   D．

5．在平面直角坐标系中，点，在椭圆上，且直线OA，OB的斜率之积，则（    ）

A．1    B．3    C．2    D．

6．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边．若，则点P所在的圆弧是（    ）

A．    B．  C．   D．

7．如图，对于曲线所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B恒有成立，则称角为曲线的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点O的“确界角”．已知曲线（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（    ）

A．    B．  C．   D．

8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥    B．A与D互斥但不对立

C．C与D互斥    D．A与C相互独立

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知D是的边BC上的一点（不包含顶点），且，其中，则（    ）

A．     B．

C．    D．

10．已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．曲线在点处切线的斜率为

D．是奇函数

11．已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（    ）

A．若A点横坐标为8，则

B．若，则的最小值为6

C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点

D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是

12．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A、B、C、D，其面积记为，，，，则下列结论正确的有（    ）

A．  B．

C．   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的常数项为______．（用数字作答）

14．已知直四棱柱的底面是菱形，，棱长均为4，，的中点分别为P、Q，则三棱锥的体积为______．

15．设若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是______．

16．已知双曲线过点，则其方程为______；设，分别为双曲线C的左右焦点，D为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，．

（1）求角B的大小

（2）若，求的面积．

18．（本题满分12分）已知数列满足，，．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，为数列的前n项和，求．

19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．

（Ⅰ）求证：面面ABCD；

（Ⅱ）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．

20．（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

（Ⅱ）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）

21．（本题满分12分）已知椭圆，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

（Ⅱ）若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，．

（ⅰ）若l过F，求的值；

（ⅱ）若l不过原点，求的最大值．

22．（本题满分12分）已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，令

（ⅰ）证明：当时，；

（ⅱ）若数列满足：，，证明：．

淮北市2023届高三一模数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13．240；   14．；   15．   16．，

12．

解：设，最大正方形边长为1，小正方形A、B、C、D的边长分别为a，b，c，d

则，，，

所以，故C正确

，故B正确

所以选BC．

16．解①由双曲线过点，所以，所以方程为

②如图：

设的内切圆与，，分别切于H，D，G，

所以，，，

所以，

又，所以，，

又，，所以G与重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，

设直线AB的倾斜角为，则，，

当时，，

当时，由题知，，，．

因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，

∴，且，，

综上所述，

故①答案为：；

三、解答题

17．（本题满分10分）

解：（1）由

得，即，则，所以．

（2）注意到，，，由

得，即．

又，所以．则．

所以．

18．（本题满分12分）

（1）注意到，则，即．

所以是以为首项，以3为公比的等比数列．

（2）由（1）知，故．

所以．

故，两同乘以3，错位

，两式相减得

所以，

19．（本题满分12分）

（1）证明：在中，因，

所以，即，又，PB，AB相交，

所以面PAB，所以面面ABCD得证

（2）假设存在点Q，使得平面平面PAD．

如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

，，，，

设是平面PAD的法向量，则，取

设，其中．

则

连接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故

取与同向的单位向量．

设是平面BEQF的法向量，

则，取．

由平面平面PAD，知，有，解得．

故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面PAD．

另，用几何法也可：

由题意及（1）得，取E为PA中点，则

所以面BEQF，故平面平面PAD

在中，，E为中点，进而求解。

请阅卷老师相应给分!

20．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，∴，，∴

（Ⅱ）由己知可得，得可能取值为0，1，2

∴，，，

∴的分布列为

∴

（Ⅲ）

理由：∵，∴，∴

21．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由己知点M是以AO为直径的圆上的点

∴，又∵，，∴，

∴，又∵点M在椭圆上，∴，整理得，∴

（Ⅱ）设，，

（ⅰ）由，，∴椭圆的方程为：

在中，∴直线l的斜率为，

∴直线l的方程为，与椭圆方程联立得

整理得：，∴，，∴

（ⅱ）设直线l的方程为，与椭圆方程联立得

消去x整理得：，当得，

∴，，

∴

∴当且仅当时，有最大值，此时最大值是

22．（本题满分12分）

解：（1）由题意得：

当时，恒成立，得在上单调递增：

当时，时，此时单调递增，

时，此时单调递减，

综上得：当时，在上单调递增，

当时，在单调递减，在上单调递增。

（2）（ⅰ）当时，，

欲证，往证，即证，

记，，得，故在上单调递减，

得，．故当时，成立．

（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，

故当，得，进而，依次得，．

欲证，即证．

下面先证关系，即证，．

即，整理得即证：

记，，得

又，所以在上单调递增，有，

所以在上单调递增，得，

故当，时，有，所以，．

故

又，得，所以

所以得证．